Weierstrass’ Satz über die Extremalwerte

Warum wird in so vielen Optimierungsproblemen beinahe selbstverständlich angenommen, dass „ein Maximum existiert“ oder dass „es stets ein Minimum“ auf einem bestimmten Intervall gibt, obwohl in Wirklichkeit nichts erzwingt, dass dies eintreten muss? Der Weierstrass’sche Satz ist das fehlende Stück dieses Puzzles: Er garantiert, dass eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall definierte stetige Funktion nicht nur beschränkt ist, sondern ihre Extremwerte tatsächlich annimmt. In diesem Beitrag überprüfen wir seine Formulierung, konstruieren ausführlich einen strengen Beweis, der auf punktweiser Stetigkeit, Kompaktheit und dem Supremumsaxiom basiert, und erläutern seine moderne Interpretation im Rahmen stetiger Funktionen auf kompakten Mengen. Die Idee besteht darin, dass du am Ende den Satz nicht nur als eine Aussage erinnerst, sondern verstehst, warum er wahr ist und warum er immer wieder in der Analysis, in der Optimierung und in angewandten Modellen auftaucht.

Lernziele

1. Das Verständnis des Weierstrass’schen Satzes.
   Die Voraussetzungen des Satzes (stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [a,b]) sowie seine Hauptaussagen: Beschränktheit und Existenz von Maximum und Minimum, präzise identifizieren.
2. Den Weierstrass’schen Satz im Sinne der Kompaktheit interpretieren.
   Das Ergebnis in moderner Sprache formulieren: Stetige Funktionen bilden kompakte Mengen auf Mengen ab, auf denen Extremwerte angenommen werden, wodurch der Fall [a,b] mit dem allgemeinen Rahmen der reellen Analysis verknüpft wird.
3. Den Weierstrass’schen Satz mit Optimierungsproblemen in Beziehung setzen.
   Die Rolle des Satzes als theoretische Grundlage für die Existenz von Maxima und Minima in vielen Optimierungsproblemen einer Variablen erkennen, sowohl in theoretischen als auch in angewandten Kontexten.

INHALTSVERZEICHNIS:
Einleitung
Formulierung des Weierstrass’schen Satzes
Beweis
Schritt 1: Punktweise Stetigkeit auf [a,b]
Schritt 2: Offene Überdeckung, die mit der Stetigkeit verbunden ist
Schritt 3: Kompaktheit von [a,b] und endliche Teilüberdeckung
Schritt 4: Konstruktion eines \delta, das nicht von x_0 abhängt (gleichmäßige Stetigkeit)
Schritt 5: Von gleichmäßiger Stetigkeit zur Beschränktheit von f auf [a,b]
Schritt 6: Existenz von Maximum und Minimum
Interpretation im Sinne der Kompaktheit und Schlussfolgerung

Einleitung

Der Weierstrass’sche Satz über die Extremalwerte gehört zu jenen Resultaten, die zwar gewöhnlich in den ersten Kapiteln der reellen Analysis erscheinen, in Wirklichkeit jedoch einen großen Teil der angewandten Mathematik stillschweigend tragen. Immer dann, wenn in Physik, Wirtschaft oder Statistik davon die Rede ist, eine Größe unter bestimmten Nebenbedingungen zu „maximieren“ oder zu „minimieren“, verwenden wir im Hintergrund eine Idee, die eng mit derjenigen verknüpft ist, welche dieser Satz garantiert: Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall definierte stetige Funktion ist nicht nur beschränkt, sondern nimmt ihre Extremalwerte tatsächlich an.

Intuitiv mag es „offensichtlich“ erscheinen, dass, wenn wir eine stetige Kurve über einem Segment [a,b] zeichnen, es dann einen höchsten und einen tiefsten Punkt geben muss. Dennoch genügt es, kleine Änderungen in den Voraussetzungen vorzunehmen, damit diese Intuition spektakulär scheitert: Wenn wir das Intervall öffnen, wenn die Funktion nicht mehr stetig ist oder wenn der Definitionsbereich unbeschränkt ist, können die Maxima und Minima schlichtweg verschwinden. Der Weierstrass’sche Satz bringt Ordnung in diese Intuition und sagt uns präzise, wann wir uns auf sie verlassen können und warum.

Aus theoretischer Sicht ist dieser Satz die erste ernsthafte Begegnung mit der Idee der Kompaktheit: In moderner Sprache besagt er, dass eine stetige Funktion kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbildet. Aus praktischer Sicht übersetzt sich dies in die Existenz von Lösungen für viele Optimierungsprobleme in einer Dimension und wird ein entscheidender Baustein für spätere Resultate wie den Mittelwertsatz und letztlich für ein ruhiges Verständnis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung sein.

In diesem Abschnitt formulieren wir den Weierstrass’schen Satz und entwickeln ausführlich seinen Beweis, wobei wir uns auf die Stetigkeit in [a,b] und das Supremumsaxiom stützen. Die Idee ist, dass dir dieser Text als solide Referenz dient: sowohl zum Studium des Ergebnisses selbst als auch als Grundlage, zu der du zurückkehren kannst, wann immer du ihn zum Beweis anderer Sätze oder zur strengen Rechtfertigung der Existenz von Maxima und Minima in konkreten Problemen benötigst.

Formulierung des Weierstrass’schen Satzes

Jede definierte Funktion f und stetig auf [a,b], ist beschränkt und besitzt Minimal- und Maximalwerte, m und M, sodass für x\in[a,b] gilt: f(x)\in[m,M].

Beweis

Wir wollen zeigen, dass wenn f:[a,b]\to\mathbb{R} auf dem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [a,b] stetig ist, dann ist f beschränkt und nimmt auf [a,b] sowohl einen Maximal- als auch einen Minimalwert an. Den Beweis unterteilen wir in zwei Hauptteile:

• Zunächst zeigen wir, dass die Stetigkeit von f auf [a,b] impliziert, dass f gleichmäßig stetig ist, und daraus folgern wir, dass sie beschränkt ist.
• Anschließend beweisen wir mithilfe des Supremumsaxioms, dass f auf dem Intervall ihre Maximal- und Minimalwerte annimmt.

Schritt 1: Punktweise Stetigkeit auf [a,b]

Nach Voraussetzung ist f in jedem Punkt x_0\in[a,b] stetig. Nach der Definition der Stetigkeit mittels \epsilon und \delta bedeutet dies:

\displaystyle (\forall x_0\in[a,b])(\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta(x_0)\gt 0) \big(|x-x_0|\lt\delta(x_0)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon\big).

An dieser Stelle kann die Zahl \delta(x_0) vom Punkt x_0 abhängen. Unser unmittelbares Ziel wird es sein, aus diesen \delta(x_0) eine einzige Zahl \delta zu konstruieren, die nicht von x_0 abhängt und gleichzeitig für alle Punkte des Intervalls funktioniert.

Schritt 2: Offene Überdeckung, die mit der Stetigkeit verbunden ist

Wir fixieren ein beliebiges \epsilon\gt 0. Für jedes x_0\in[a,b] erlaubt uns die Stetigkeit von f, eine Zahl \delta(x_0)\gt 0 so zu wählen, dass

\displaystyle |x-x_0|\lt\delta(x_0)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\frac{\epsilon}{2}.

Auf Grundlage dieser Werte definieren wir für jedes x_0\in[a,b] ein offenes Intervall

\displaystyle I_{x_0}=\left(x_0-\frac{\delta(x_0)}{2},\,x_0+\frac{\delta(x_0)}{2}\right).

Jedes I_{x_0} ist eine offene Menge in \mathbb{R}, und zudem bildet die Familie

\displaystyle \{I_{x_0}\}_{x_0\in[a,b]}

eine offene Überdeckung von [a,b]. Denn zu jedem beliebigen Punkt y\in[a,b] genügt es, x_0=y zu setzen; aufgrund der Konstruktion gilt y\in I_y. Somit gehört jeder Punkt des Intervalls zu mindestens einer der offenen Mengen I_{x_0}.

Diese Familie offener Mengen ist im Allgemeinen unendlich (es gibt eine für jedes x_0\in[a,b]). Hier kommt nun die Kompaktheit von [a,b] ins Spiel.

Schritt 3: Kompaktheit von [a,b] und endliche Teilüberdeckung

Nach dem Satz von Heine–Borel ist eine Teilmenge von \mathbb{R} genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Das Intervall [a,b] ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. Nach der Definition der Kompaktheit bedeutet dies:

Aus jeder offenen Überdeckung von [a,b] (auch wenn sie unendlich viele Mengen enthält) lässt sich eine endliche Teilüberdeckung auswählen.

Wenden wir diese Eigenschaft auf die offene Überdeckung \{I_{x_0}\}_{x_0\in[a,b]} an, so folgen existierende Punkte x_1,\dots,x_N\in[a,b], sodass die entsprechenden Intervalle

\displaystyle I_{x_1},\, I_{x_2},\,\dots,\,I_{x_N}

decken weiterhin das gesamte Intervall ab:

\displaystyle [a,b]\subset I_{x_1}\cup I_{x_2}\cup\cdots\cup I_{x_N}.

Damit sind wir von einer unendlichen Familie offener Intervalle zu einer Teilüberdeckung mit nur endlich vielen Intervallen übergegangen, ohne die Eigenschaft zu verlieren, [a,b] vollständig zu überdecken.

Schritt 4: Konstruktion eines \delta, das nicht von x_0 abhängt (gleichmäßige Stetigkeit)

Aus der endlichen Teilüberdeckung definieren wir die Zahl

\displaystyle \delta=\min\left\{\frac{\delta(x_1)}{2},\frac{\delta(x_2)}{2},\dots,\frac{\delta(x_N)}{2}\right\}.

Da es sich um das Minimum endlich vieler positiver Zahlen handelt, gilt \delta\gt 0. Wir werden sehen, dass dieses \delta für jeden Punkt x_0\in[a,b] funktioniert, das heißt, es hängt nicht von der Wahl von x_0 ab.

Betrachten wir nun:

• einen beliebigen Punkt x_0\in[a,b] und
• einen Punkt x\in[a,b] mit der Eigenschaft |x-x_0|\lt\delta.

Da die Intervalle I_{x_1},\dots,I_{x_N} [a,b] überdecken, gehört der Punkt x_0 mindestens zu einem dieser Intervalle, sagen wir zu I_{x_j} für ein j\in\{1,\dots,N\}. Nach der Definition von I_{x_j} bedeutet dies:

\displaystyle |x_0-x_j|\lt\frac{\delta(x_j)}{2}.

Außerdem gilt nach der Definition von \delta die Ungleichung \delta\le\frac{\delta(x_j)}{2}, sodass aus |x-x_0|\lt\delta folgt:

\displaystyle |x-x_0|\lt\frac{\delta(x_j)}{2}.

Wenden wir die Dreiecksungleichung an,

\displaystyle |x-x_j|\le |x-x_0|+|x_0-x_j| \lt \frac{\delta(x_j)}{2}+\frac{\delta(x_j)}{2} =\delta(x_j).

Nach der Wahl von \delta(x_j) (Stetigkeit von f in x_j für den Wert \epsilon/2) implizieren die Ungleichungen |x_0-x_j|\lt\delta(x_j) und |x-x_j|\lt\delta(x_j),

\displaystyle |f(x_0)-f(x_j)|\lt\frac{\epsilon}{2} \quad\text{und}\quad |f(x)-f(x_j)|\lt\frac{\epsilon}{2}.

Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir schließlich

\displaystyle |f(x)-f(x_0)| \le |f(x)-f(x_j)| + |f(x_j)-f(x_0)| \lt \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} =\epsilon.

Da x_0 und x beliebig waren, haben wir gezeigt, dass für das zu Beginn festgelegte \epsilon ein \delta\gt 0 existiert, das unabhängig von x_0 ist und für alle Punkte gilt:

\displaystyle (\forall x_0\in[a,b])(\forall x\in[a,b]) \big(|x-x_0|\lt\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon\big).

Wenn wir nun x_0 als y bezeichnen, lässt sich dies wie folgt schreiben:

\displaystyle (\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta\gt 0)(\forall x,y\in[a,b]) \big(|x-y|\lt\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt\epsilon\big),

Dies ist genau die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit von f auf [a,b]. Im Folgenden werden wir dieses Resultat nur für den Fall \epsilon=1 anwenden.

Schritt 5: Von gleichmäßiger Stetigkeit zur Beschränktheit von f auf [a,b]

Wenden wir nun die gleichmäßige Stetigkeit mit \epsilon=1 an. Dann existiert eine Zahl \delta_1\gt 0, sodass für alle x,y\in[a,b] gilt:

\displaystyle |x-y|\lt\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt 1.

Wir teilen nun das Intervall [a,b] in endlich viele Teilintervalle auf, deren Länge kleiner als \delta_1 ist. Das heißt, wir wählen eine ganze Zahl n und Punkte

\displaystyle a = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n = b

so dass für jedes k=0,1,\dots,n-1 gilt:

\displaystyle x_{k+1}-x_k\lt\delta_1.

Wir betrachten nun die endliche Menge der Werte

\displaystyle \{f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_{n-1})\}.

Da es sich um eine endliche Menge reeller Zahlen handelt, können wir problemlos definieren:

\displaystyle C = \max\{|f(x_k)| \;|\; k=0,1,\dots,n-1\}.

Wir zeigen nun, dass C+1 eine obere Schranke im Absolutwert für f auf dem gesamten Intervall [a,b] ist. Sei x\in[a,b] ein beliebiger Punkt. Dann existiert ein Index k mit x\in[x_k,x_{k+1}]. Insbesondere gilt:

\displaystyle |x-x_k|\le x_{k+1}-x_k\lt\delta_1.

Nach der gleichmäßigen Stetigkeit mit \epsilon=1 folgt aus |x-x_k|\lt\delta_1, dass

\displaystyle |f(x)-f(x_k)|\lt 1.

Wenden wir nun die Dreiecksungleichung an:

\displaystyle |f(x)|\le |f(x)-f(x_k)| + |f(x_k)| \lt 1 + |f(x_k)| \le 1 + C.

Da x\in[a,b] beliebig war, erhalten wir:

\displaystyle |f(x)|\le C+1 \quad \text{für alle } x\in[a,b],

das heißt, die Funktion f ist auf [a,b] beschränkt.

Schritt 6: Existenz von Maximal- und Minimalwerten

Wir definieren die Menge der Funktionswerte auf dem Intervall:

\displaystyle H=\{f(x)\;|\;x\in[a,b]\}\subset\mathbb{R}.

Wir wissen bereits, dass H nicht leer und beschränkt ist (da [a,b] nicht leer ist), und daher existieren nach dem Supremumsaxiom reelle Zahlen

\displaystyle M=\sup H,\qquad m=\inf H.

Wir zeigen nun, dass M als Funktionswert erreicht wird, das heißt, dass ein x_1\in[a,b] existiert mit f(x_1)=M. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch.

Angenommen, f(x) erreiche den Wert M niemals, das heißt:

\displaystyle (\forall x\in[a,b])\big(f(x)\lt M\big).

Unter dieser Annahme ist die Funktion

\displaystyle g(x)=\frac{1}{M-f(x)}

wohldefiniert und positiv für jedes x\in[a,b], da nach Voraussetzung M-f(x)\gt 0. Außerdem ist g stetig, da f stetig ist und M konstant. Nach dem ersten Teil des Beweises ist jede stetige Funktion auf [a,b] beschränkt, sodass eine Zahl N\gt 0 existiert mit

\displaystyle (\forall x\in[a,b])\big(g(x)\le N\big).

Insbesondere gilt für jedes x\in[a,b]:

\displaystyle \frac{1}{M-f(x)} = g(x)\le N,

was äquivalent ist zu

\displaystyle M-f(x)\ge \frac{1}{N} \quad\Rightarrow\quad f(x)\le M-\frac{1}{N}.

Dies bedeutet, dass alle Werte von f(x) auf [a,b] kleiner oder gleich M-\frac{1}{N} sind. Insbesondere erfüllt das Supremum von H:

\displaystyle \sup H\le M-\frac{1}{N}\lt M,

was der Definition von M als Supremum von H widerspricht. Daher war unsere Annahme falsch, und es muss einen Punkt x_1\in[a,b] geben mit

\displaystyle f(x_1)=M.

Ein völlig analoges Argument, angewandt auf das Infimum m=\inf H (etwa durch Betrachtung der Funktion h(x)=-f(x)), zeigt, dass ein Punkt x_2\in[a,b] existiert mit

\displaystyle f(x_2)=m.

Interpretation im Sinne der Kompaktheit und Schlussfolgerung

Wir haben gezeigt, dass jede stetige Funktion f:[a,b]\to\mathbb{R} beschränkt ist und ihre Maximal- und Minimalwerte auf [a,b] annimmt. In der modernen Sprache der Analysis interpretiert man dies so, dass in \mathbb{R} abgeschlossene und beschränkte Intervalle wie [a,b] kompakte Mengen sind und stetige Funktionen kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbilden.

Insbesondere gilt: Wenn I kompakt ist und f auf I stetig ist, dann ist das Bild f(I) eine kompakte Teilmenge von \mathbb{R}. Dies garantiert, dass f(I) beschränkt ist und dass darin tatsächlich ein Maximal- und ein Minimalwert erreicht werden, was genau dem Inhalt des Weierstrass’schen Satzes entspricht.