Lernziele:

1. Verstehen, was mathematische Logik ist und ihre Hauptanwendungen erkennen.
2. Verstehen, worin der Unterschied zwischen Logik und einer Wahrheitstheorie besteht.
3. Verstehen, warum in der Logik eine formale Sprache verwendet wird und wie diese eine präzise und rigorose Darstellung und Analyse von Argumenten und Schlussfolgerungen ermöglicht.
4. Verstehen, worin der Unterschied zwischen natürlichen und formalen Sprachen besteht.

Was ist Mathematische Logik?

Die mathematische Logik ist ein Zweig der Logik, der sich mit dem Studium der grundlegenden Prinzipien des mathematischen Denkens und Argumentierens beschäftigt. Sie dient dazu, die Gültigkeit von Schlussfolgerungen zu analysieren und zu bewerten, und entwickelt formale Methoden, die für die Durchführung mathematischer Beweisführungen nützlich sind. Die mathematische Logik findet auch Anwendung in anderen Bereichen wie der Informatik und der Wissenschaftsphilosophie und bildet die Grundlage für die Entwicklung formaler Sprachsysteme und automatischer Deduktionsverfahren.

Logik ist keine Wahrheitstheorie

Es ist stets wichtig zu betonen, dass die Logik keine Theorie über die Wahrheit ist; im Sinne dessen, dass sie nicht die Diskussion führt, die zu einer Definition von Wahrheit oder Falschheit gelangt. Stattdessen wird – unter der Annahme, dass bestimmte Ausdrücke a priori Wahrheitswerte haben – untersucht, wie sie miteinander in Beziehung stehen oder wie sie voneinander abgeleitet werden können.

Logik erfordert eine geeignete Sprache

Bevor man Logik betreibt, ist es notwendig, über eine geeignete Sprache zu verfügen, um sie auszuführen. Diese Sprache, die wir „formale Sprache“ nennen, besitzt die nötigen Eigenschaften, um gültige Schlussfolgerungen zu ermöglichen; das heißt, ein Mechanismus, der es erlaubt, wahre Ausdrücke aus der Wahrheit anderer abzuleiten oder zu erzeugen.

Warum braucht die Logik eine formale Sprache?

Die Logik benötigt eine formale Sprache, weil diese speziell dafür konzipiert ist, Argumente und Schlussfolgerungen klar und präzise auszudrücken. Durch die Verwendung einer formalen Sprache ist es möglich, den Inhalt von Argumenten und Überlegungen rigoros und exakt darzustellen, was eine Analyse und Bewertung ihrer Gültigkeit und Konsistenz ermöglicht.

Die formale Sprache basiert auf strengen und systematischen Regeln und Konventionen zur Darstellung von Konzepten und deren Beziehungen. Mit einer formalen Sprache lassen sich logische Begriffe und Argumente präziser und rigoroser darstellen, wodurch Mehrdeutigkeiten und Fehler im Denken vermieden werden. Einer der Hauptgründe für die Entwicklung solcher Sprachen ist das Ziel, die Ungenauigkeiten und Paradoxien zu vermeiden, die in der Alltagssprache auftreten: Man opfert die Flexibilität und Ausdrucksvielfalt der natürlichen Sprache zugunsten der Präzision einer formalen Sprache.

Natürliche Sprachen und formale Sprachen

Natürliche Sprachen sind jene Sprachen, die Menschen zur mündlichen oder schriftlichen Kommunikation verwenden. Beispiele für natürliche Sprachen sind Spanisch, Englisch, Französisch, Chinesisch, Arabisch und viele andere.

Natürliche Sprachen sind komplexe Kommunikationssysteme, die auf einem Satz von Regeln und Konventionen basieren, welche es ermöglichen, Ideen, Gedanken und Gefühle klar und präzise auszudrücken. Diese Sprachen bestehen aus einer Menge von Symbolen (wie Buchstaben, Wörtern und Sätzen), die zur Bedeutungsvermittlung und Informationsübertragung verwendet werden.

Im Gegensatz zu formalen Sprachen, die speziell entwickelt wurden, um Argumente und Schlussfolgerungen klar und präzise auszudrücken, sind natürliche Sprachen flexibler und anpassungsfähiger und werden in vielfältigen Situationen und Kontexten verwendet.

In der mathematischen Logik wird die Verwendung formaler Sprachen gegenüber der natürlichen Sprache bevorzugt, hauptsächlich weil die Flexibilität und Ausdruckskraft, die für natürliche Sprachen charakteristisch sind – obwohl sie im expressiven Bereich ihre größte Stärke darstellen – gleichzeitig ihre größte Schwäche in Bezug auf Präzision sind: Ihr Reichtum an Ausdrucksmöglichkeiten und der Mangel an Strenge führen zu einer Vielzahl von Paradoxien, die in der Logik besser vermieden werden. Daher wird die gesamte Ausdruckskraft natürlicher Sprachen zugunsten der Präzision einer formalen Sprache geopfert.

Sprachparadoxien

Sprachparadoxien sind logische Probleme, die innerhalb der Sprache entstehen und aufgrund ihrer inneren Widersprüchlichkeit schwer zu lösen sind. Diese Paradoxien bestehen oft aus Aussagen, die – wenn man sie als wahr akzeptiert – zu widersprüchlichen oder absurden Schlussfolgerungen führen.

Die natürlichen Sprachen, die wir gewöhnlich verwenden, sind mächtige Werkzeuge, die es uns ermöglichen, Ideen, Gedanken und Emotionen zu kommunizieren. Sie können aber auch irreführend und schwer zu interpretieren sein, da manche Wörter und Sätze mehrdeutig sind. Zum Beispiel haben manche Wörter mehrere verschiedene Bedeutungen, und es ist nicht immer leicht zu erkennen, welche Bedeutung der Sprecher meint. Darüber hinaus können einige Sätze je nach Kontext widersprüchlich interpretiert werden.

Sprachparadoxien werden durch formale Sprachen vermieden

Einer der Vorteile formaler Sprachen gegenüber natürlichen Sprachen besteht darin, dass sie Sprachparadoxien aufgrund ihrer Präzision und der Abwesenheit von Mehrdeutigkeiten vermeiden. Durch die Verwendung einer formalen Sprache können Regeln und Konventionen genau festgelegt werden, um falsche Interpretationen oder Widersprüche zu vermeiden. In der mathematischen Logik wird zum Beispiel eine formale Sprache namens „Sprache der Aussagenlogik“ verwendet, um Aussagen und daraus abgeleitete Argumentationen klar und präzise darzustellen. Diese Sprache legt die Regeln und Konventionen fest, die beachtet werden müssen, um bestimmte Sprachparadoxien zu vermeiden, und wird verwendet, um logische Beweise und Schlussfolgerungen streng und systematisch durchzuführen.

Neben der Sprache der Aussagenlogik existieren weitere formale Sprachen, die für komplexere Situationen entwickelt wurden und das gleiche Ziel verfolgen, wie die Sprachen der Prädikatenlogik erster und zweiter Stufe.

5 Beispiele für Sprachparadoxien

1. Das Paradoxon der Nicht-Lüge: Dieses tritt auf, wenn jemand sagt: „Alles, was gesagt wird, ist eine Lüge.“ Wenn alles, was gesagt wird, eine Lüge ist, dann ist auch die Aussage, dass alles eine Lüge ist, selbst eine Lüge und somit falsch. Wenn aber diese Aussage keine Lüge ist, dann muss etwas Wahres gesagt worden sein, wodurch die Aussage ebenfalls falsch wird. Folglich gilt: Wenn sie wahr ist, ist sie falsch – und umgekehrt.
2. Das Lügner-Paradoxon: Entsteht durch die Aussage „Ich lüge“, die eine logische Widersprüchlichkeit darstellt, egal ob sie wahr oder falsch ist. Ist sie wahr, dann lügt die Person, also ist die Aussage falsch. Ist sie falsch, dann lügt die Person nicht, also ist die Aussage wahr. Am Ende gilt auch hier: Wenn sie wahr ist, ist sie falsch – und umgekehrt.
3. Paradoxon der selbstbezüglichen Eigenschaften: Selbstbezügliche Paradoxien entstehen durch Ausdrücke, die sich auf sich selbst beziehen und damit einen Widerspruch hervorrufen, wie im Fall der Aussage: „die kleinste Zahl, die man nicht mit weniger als zwanzig Wörtern beschreiben kann.“ Diese Aussage ist selbst paradox, da sie mit weniger als zwanzig Wörtern formuliert wurde.
4. Das Paradoxon des Barbiers: Es wird wie folgt dargestellt: „In einem Dorf gibt es einen Barbier, der alle Männer im Dorf rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert sich der Barbier selbst?“ Auf den ersten Blick scheint die Aussage unproblematisch, doch was ist mit dem Barbier selbst? Klar ist, dass der Barbier ein Mann ist (sonst würde man nicht vom „Barbier“ sprechen) – und wenn er sich selbst rasiert, dann darf er sich laut Regel nicht selbst rasieren; wenn er sich nicht selbst rasiert, dann müsste er sich laut Regel selbst rasieren. Ein endloser Zirkelschluss entsteht.
5. Das Paradoxon der Existenz der leeren Menge: Dieses basiert auf der Behauptung, dass die leere Menge (also eine Menge ohne Elemente) existiert, obwohl keines der Elemente, aus denen sie besteht, existiert (weil sie ja keine hat). Somit existiert ein Objekt, das aus nicht existierenden Objekten besteht.

Die Mathematische oder Symbolische Logik

Die mathematische Logik, auch bekannt als symbolische Logik, ist ein Zweig der Logik, der sich mit der Verwendung von Symbolen und mathemischen Notationen zur Darstellung und Analyse von Argumenten und Ausdrücken beschäftigt. Diese Form der Logik basiert auf der Idee, dass Denken und Schlussfolgern Prozesse sind, die mathematisch modelliert, analysiert und untersucht werden können, und dass mathematische Symbole und Notationen nützlich sind, um diese Prozesse konsistent und exakt darzustellen und zu manipulieren.

Das Studium der mathematischen Logik beginnt mit der Überprüfung der Sprache, die zur Darstellung ihrer Elemente verwendet wird. So unterscheiden wir die gebräuchlichsten: die Aussagenlogik und die Prädikatenlogiken erster und zweiter Ordnung. In jeder dieser Logiken werden wiederum die Techniken des mathematischen Denkens entwickelt, die eine rigorose Beweisführung zahlreicher Ergebnisse und mathematischer Theoreme ermöglichen.

Das Studium der symbolischen Logik ist Teil eines der grundlegenden Pfeiler der Mathematik.

Die 4 Grundpfeiler der Mathematik

Die mathematische Logik ist ein wesentlicher Bestandteil der Grundlagen der Mathematik. Diese Grundlagen bestehen aus den folgenden vier Pfeilern:

1. Die Beweistheorie: Sie konzentriert sich auf die Untersuchung, wie mathematische und wissenschaftliche Argumente dargestellt und bewertet werden können. Diese Theorie basiert auf der Idee, dass Beweise rigoros, logisch und auf formalen Prinzipien beruhen müssen. Die Beweistheorie umfasst die Untersuchung verschiedener Arten von Beweisen, wie z. B. Induktions- und deduktive Beweise, und wie diese Arten von Beweisen zur Lösung mathematischer und wissenschaftlicher Probleme eingesetzt werden können. Genau das tun wir beim Studium der mathematischen Logik.
2. Die Mengenlehre: Sie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von Mengen beschäftigt, also von Sammlungen von Elementen oder Objekten. Diese Theorie untersucht, wie Mengen definiert und klassifiziert werden können und wie Operationen mit ihnen durchgeführt werden können. Die Mengenlehre ist ein grundlegender Bestandteil der modernen Mathematik und wurde zur Entwicklung und Anwendung vieler grundlegender Konzepte und Prinzipien der Mathematik verwendet.
3. Die Theorie der Berechenbarkeit: Zu ihren grundlegenden Bestandteilen gehören:
   1. Die Komplexitätstheorie: Ein Zweig der Informatik, der sich mit der Untersuchung der Komplexität von Problemen und Algorithmen beschäftigt. Diese Theorie untersucht, wie die Komplexität verschiedener Probleme und Algorithmen gemessen und verglichen werden kann und wie effizientere Algorithmen zur Lösung dieser Probleme entwickelt und eingesetzt werden können.
   2. Die Berechenbarkeitstheorie: Sie ist der Teil der Informatik, der sich mit der Frage befasst, welche Probleme und Funktionen von einem Computer gelöst oder ausgewertet werden können und welche nicht. Diese Theorie untersucht, wie berechenbare Probleme und Funktionen definiert und klassifiziert werden können und wie sie entwickelt und genutzt werden können.
4. Modelltheorie: In der Logik und Mathematik ist dies das Studium der Beziehungen zwischen formalen Theorien (Aussagen, die in einer formalen Sprache formuliert sind und dazu dienen, Aussagen über eine mathematische Struktur zu treffen) und deren Modellen (die unter diesen Strukturen erhalten bleiben). Solche mathematischen Strukturen können Gruppen, Körper, Graphen usw. sein. Die Modelltheorie ermöglicht es, rein formalen Ausdrücken eine semantische Interpretation zuzuweisen, und erlaubt zudem die Untersuchung von Problemen wie Vollständigkeit, Konsistenz und Unabhängigkeit zwischen Aussagen.

Es ist äußerst schwierig, jeden dieser Pfeiler in der Tiefe zu studieren, ohne dabei auch Aspekte der anderen zu berühren. Die Studien dieser Pfeiler sind normalerweise miteinander verwoben. Wenn wir uns fragen: Was ist mathematische Logik? – dann beantworten wir diese Frage in der Regel mit einer Kombination aus Studien, die sich zwischen diesen vier Grundpfeilern bewegen.