Gleichung und Zustandsfunktion
Die Thermodynamik zeigt uns, wie man den Zustand eines Systems durch Konzepte wie Zustandsfunktionen und Zustandsgleichungen beschreibt und verbindet. Wie hängen Eigenschaften wie Druck, Temperatur und die ideale Gasgleichung zusammen? Dieser Inhalt wird dich anleiten, die mathematischen und physikalischen Regeln zu verstehen, die die Gleichgewichte des Universums bestimmen, deine Intuition herausfordern und deine Perspektive erweitern.
Lernziele:
Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein,
- das Konzept der Zustandsfunktion und deren Beziehung zum thermischen Gleichgewicht in thermodynamischen Systemen zu beschreiben.
- zwischen Zustandsfunktionen und Größen, die keine Zustandsfunktionen sind, zu unterscheiden und konkrete Beispiele beider Kategorien zu identifizieren.
- zu analysieren, wie Zustandsgleichungen, wie die ideale Gasgleichung, die Zustandsfunktionen in Systemen im Gleichgewicht verbinden.
INHALTSVERZEICHNIS:
Die Zustandsfunktion und die Systeme und das thermische Gleichgewicht
Die Gleichung und die Zustandsvariablen
Mathematischer Begriff der Zustandsfunktion
Die ideale Gasgleichung ist eine Zustandsgleichung
Eines der Schlüsselkonzepte der klassischen Thermodynamik ist das der Zustandsgleichungen und Zustandsfunktionen. Durch diese werden wir, wie der Name schon sagt, in der Lage sein, den Zustand der Systeme im thermodynamischen Gleichgewicht zu beschreiben.
Die Zustandsfunktion, die Systeme und das thermische Gleichgewicht
In der Thermodynamik wird ein System definiert als der Teil des Universums, der für die Untersuchung ausgewählt wird, und in der Nähe des Systems befindet sich die Umgebung. Erinnern wir uns daran, dass sich ein System im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung befindet, wenn seine makroskopischen Observablen (z. B. Druck, Temperatur) über die Zeit unverändert bleiben. So sagen wir zum Beispiel, wenn wir ein Gas in einem Behälter betrachten und dessen Temperatur über die Zeit stabil bleibt, dass sich das Gas im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, und diese Gesamtheit makroskopischer Observablen ist das, was seinen Zustand bestimmt. Im Gegensatz dazu, wenn plötzlich eine große Wärmemenge an einer Stelle des Behälters zugeführt wird, dann befindet sich das Gas zumindest für eine gewisse Zeit in einem anderen Zustand als dem thermischen Gleichgewicht, und sein Zustand wird sich mit der Zeit verändern.
Die Gleichung und die Zustandsvariablen
Wenn sich ein System im thermischen Gleichgewicht befindet, können wir zwei Arten von Größen unterscheiden: Einige hängen von der Art und Weise ab, wie das System dieses Gleichgewicht erreicht hat, und andere sind unabhängig von diesem Prozess. Die letzteren werden als Zustandsfunktionen (manchmal auch Zustandsvariablen genannt) bezeichnet. Eine Zustandsfunktion ist jede physikalische Größe, die für jeden Gleichgewichtszustand des Systems einen eindeutig bestimmten Wert hat. Im thermischen Gleichgewicht hängen diese Variablen somit nicht von der Zeit ab. Einige Beispiele sind:
- der Druck
- die Temperatur
- das Volumen
- die innere Energie
Beispiele für Größen, die keine Zustandsfunktionen sind, umfassen die Position des soundsovielten Teilchens des Systems, die Arbeit und die insgesamt auf das System übertragene Wärme. Letzteres lässt sich intuitiv verstehen, wenn man beobachtet, dass deine Hände dieselbe Temperatur (und somit denselben Zustand) durch zwei verschiedene Prozesse erreichen können: entweder durch das Aufbringen einer bestimmten Menge Arbeit, indem du sie aneinander reibst, oder durch Wärmezufuhr, indem du die Hände in warmes Wasser tauchst.
Mathematische Vorstellung der Zustandsfunktion
Mit diesen intuitiven Ideen fehlt uns für ein vollständigeres Verständnis nur noch eine stärker mathematische Entwicklung der Bedeutung hinter einer Zustandsfunktion. Betrachten wir ein System, das durch einen Vektor von Parametern beschrieben wird \vec{x}=(x_1, x_2, x_3, \cdots), und sei f(\vec{x}) eine Zustandsfunktion. Wenn dann das System der Parameter von einem Anfangswert \vec{x}_i zu einem Endwert \vec{x}_f übergeht, dann ist die Variation der Funktion f
\Delta f = \displaystyle \int_{\vec{x}_i}^{\vec{x}_f}df = f(\vec{x}_f) - f(\vec{x}_i)
Wenn die Dinge auf diese Weise verlaufen, dann hängt die Variation der Zustandsfunktion nur von den Anfangs- und Endwerten von \vec{x} ab. Dies tritt auf, wenn die Größe df ein exaktes Differential ist. Alle Zustandsfunktionen besitzen exakte Differentiale; und umgekehrt kann eine Größe, deren Differential nicht exakt ist, keine Zustandsfunktion sein.
Die ideale Gasgleichung ist eine Zustandsgleichung
Im Allgemeinen ist es immer möglich, zumindest näherungsweise, eine Zustandsgleichung zu finden, die die Zustandsfunktionen verbindet. Ein Beispiel ist die Zustandsgleichung der idealen Gase f(P,V,T)=0, die die Form annimmt
f(P,V,T) = PV - nRT = 0