Gleichung der Ellipsen und Kreise

Zusammenfassung:
In dieser Unterrichtseinheit wird die Herleitung der Gleichung von Ellipsen aus ihrer geometrischen Definition erklärt, die besagt, dass die Summe der Abstände eines beliebigen Punktes der Ellipse zu zwei festen Brennpunkten konstant ist. Durch eine detaillierte algebraische Entwicklung wird die allgemeine Gleichung der Ellipsen und ihre kanonische Form abgeleitet sowie die Verbindung zwischen Ellipsen und Kreisen dargestellt. Es wird gezeigt, dass ein Kreis ein Sonderfall der Ellipse ist, wenn die Halbachsen gleich sind.

Lernziele:
Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird der/die Studierende in der Lage sein,

Die Gleichung der Ellipsen aus ihrer geometrischen Definition herzuleiten.
Die allgemeine Form und die kanonische Form der Gleichung der Ellipsen zu erkennen.

INHALTSVERZEICHNIS
Geometrische Formulierung
Herleitung der Ellipsengleichung
Allgemeine Gleichung der Ellipsen
Kanonische Gleichung der Ellipsen
Reduktion zur Kreisgleichung

Geometrische Formulierung

Um die Gleichung zu erhalten, die eine Ellipse beschreibt, müssen wir – wie bei den Parabeln – über deren geometrische Bedeutung nachdenken. Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, deren Summe der Abstände zu zwei festen Punkten, den sogenannten Brennpunkten, stets gleich ist.

Das heißt, es gilt:

$d(f_1,p) + d(f_2,p) = konstant$

Herleitung der Ellipsengleichung

Ausgehend von der geometrischen Definition der Ellipsen können wir einen algebraischen Ausdruck herleiten, der sie beschreibt. Um dies zu vereinfachen, treffen wir jedoch einige Annahmen. Wir nehmen – ohne allgemeine Gültigkeit zu verlieren – an, dass die Brennpunkte die Positionen $f_1 =(-c,0)$ und $f_2 =(c,0)$ haben. Dann gilt für einen beliebigen Punkt $p=(x,y)$ , der zur Ellipse gehört:

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$

Dabei ist $a\in\mathbb{R}$ eine feste Konstante. Daraus können wir folgende Überlegung ableiten:

(1)	$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$	; Geometrische Definition der Ellipse
	$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
(2)	$(x-c)^2 + \cancel{y^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + \cancel{y^2}$	; Quadrieren von (1)
	$(x-c)^2 = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2$
	$\cancel{x^2} -2xc + \cancel{c^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \cancel{x^2} +2xc + \cancel{c^2}$
	$-2xc = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} +2xc$
	$4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 4a^2 +4xc = 4(a^2 + xc)$
	$a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + xc$
(3)	$a^2 [(x+c)^2 + y^2] = (a^2 + xc)^2$	; Quadrieren von (2)
	$a^2 [x^2 + 2xc + c2 + y^2] = a^4 +2a^2xc + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + \cancel{2xca^2} + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + \cancel{2a^2xc} + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + x^2c^2$
	$x^2 (a^2 - c^2) + a^2 y^2 = a^4 - a^2 c^2 =a^2(a^2-c^2)$
	$\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{a^2-c^2} = 1$
(4)	$0\lt a^2 - c^2 =: b^2$	; Die durch $b^2$ dargestellte Zahl ist positiv, was aus der Abbildung ersichtlich ist.
(5)	${\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{b^2} = 1}$	; Aus (3) und (4)
	$\boxed{\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1}$

Dies ist letztlich das, was wir als „Gleichung der Ellipsen“ bezeichnen.

Allgemeine Gleichung der Ellipsen

Die soeben erhaltene Gleichung kann durch Translationstransformationen in ihre allgemeine Form überführt werden, indem man die Ersetzungen $x\longmapsto (x-h)$ und $y\longmapsto (y-k)$ vornimmt. Dadurch gelangen wir zur allgemeinen Form der Ellipsengleichung:

$\boxed{\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1}$

Dies ist eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Punkt $(h,k)$

Kanonische Gleichung der Ellipsen

Durch Anwendung von Algebra auf diese Form erhält man die kanonische Gleichung der Ellipsen:

(1)	$\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; allgemeine Gleichung der Ellipsen
	$b^2 (x-h)^2 + a^2(y-k)^2 = a^2 b^2$	; Alles mit $a^2b^2$ multiplizieren
	$b^2 [x^2-2xh+h^2] + a^2[y^2-2yk + k^2] = a^2 b^2$	; Quadrate entwickeln
	$b^2 x^2-2hb^2 x + h^2b^2 + a^2 y^2-2ka^2y + k^2a^2 = a^2 b^2$	; Klammern auflösen
	$b^2 x^2- 2hb^2 x + a^2 y^2-2ka^2y +(h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2) = 0$	; Konstante Terme zusammenfassen

In diesem letzten Ausdruck können wir die Ersetzungen $A:=b^2,$ $B:=-2hb^2,$ $C:=a^2,$ $D:=-2ka^2$ und $E:=h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2$ vornehmen. So sehen wir, dass Ellipsen durch Gleichungen der Form beschrieben werden können:

$Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$

Dies ist das, was wir als „kanonische Gleichung der Ellipsen“ bezeichnen.

Aus diesen Entwicklungen lassen sich einige Bedingungen für die Konstanten der kanonischen Gleichung ableiten. Die wichtigste ist, dass $A$ und $B$ dasselbe Vorzeichen haben müssen – andernfalls handelt es sich nicht mehr um eine Ellipse, sondern um eine Hyperbel. Es gibt noch weitere Bedingungen für die Konstanten in der kanonischen Darstellung, aber deren Betrachtung ist an dieser Stelle nicht effizient. Wir werden sie im Detail besprechen, wenn wir die Charakterisierung von Ellipsen und Hyperbeln behandeln.

Reduktion zur Kreisgleichung

Ein Punkt, den wir betrachten werden, wenn wir über die Charakterisierung der Ellipsen sprechen, ist, dass die Konstanten $a$ und $b$ in der allgemeinen Gleichung den Halbachsen der Ellipse entsprechen. Wenn wir beide Halbachsen gleichsetzen, also $a=b=r$ , dann verwandelt sich die Ellipse in einen Kreis mit dem Radius $r$ .

Allgemeine Gleichung der Kreise

Auf diese Weise ergibt sich die allgemeine Gleichung der Kreise als:

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

Kanonische Gleichung der Kreise

In ähnlicher Weise erhält man die kanonische Gleichung der Kreise: