Ein Einfaches Marktmodell:
Grundlegende Begriffe und Annahmen

Zusammenfassung:
Diese Lektion führt in das „Einfache Marktmodell“ ein, einen Ansatz, der das Erlernen zentraler Anlagekonzepte erleichtert. Es kombiniert risikofreie Vermögenswerte (Anleihen mit bekanntem Ertrag) und risikobehaftete Vermögenswerte (Aktien mit unsicherem Ertrag). Wir werden sehen, wie diese Vermögenswerte in einem Portfolio kombiniert werden können, das bei richtiger Verwaltung eine höhere Rendite als Bankzinsen ermöglicht und dabei Wachstum und Sicherheit ausbalanciert. Außerdem lernen wir, wie man die Rendite dieser Vermögenswerte in einer vereinfachten Zeitskala (Gegenwart und Zukunft) berechnet, und analysieren Marktannahmen wie Preiszufälligkeit und Solvenz, um fundierte Entscheidungen über Investitionen und Risiken zu treffen.

Lernziele:
Am Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein,

• die Merkmale eines Einfachen Marktmodells sowie von risikobehafteten und risikofreien Vermögenswerten im Rahmen von Investitionsentscheidungen zu erkennen.
• den Unterschied zwischen risikobehafteten und risikofreien Vermögenswerten zu verstehen und zu erkennen, wie jeder das Risiko und die Rendite eines Portfolios beeinflusst.
• Formeln anzuwenden, um die Investitionsrendite von risikobehafteten und risikofreien Vermögenswerten anhand von Anfangs- und Endpreisen zu berechnen.
• die Konstruktion von Portfolios, die risikobehaftete und risikofreie Vermögenswerte kombinieren, zu analysieren, um die Rendite zu optimieren und gleichzeitig das Risiko im einfachen Marktmodell zu steuern.
• die Auswirkungen von Marktszenarien auf den Wert und die Rendite eines Portfolios zu bewerten, wobei Preisschwankungen berücksichtigt werden.
• Wahrscheinlichkeiten anzuwenden, um die erwartete Rendite unter unsicheren Marktbedingungen zu berechnen und mögliche finanzielle Ergebnisse zu bestimmen.

INHALTSVERZEICHNIS
Einführung
Begriffe und Theoretische Annahmen
Risikobehaftete und Risikofreie Vermögenswerte
Zeitachse im Modell
Rendite einer Investition
Konstruktion und Bewertung eines Portfolios
Grundannahmen des Modells
Gelöste Aufgaben
Vorgeschlagene Übungen

Einführung

Stell dir vor, du hast gerade eine Prämie bei der Arbeit erhalten und eine beträchtliche Summe auf der Bank gespart. Doch beim Blick auf die aktuellen Zinssätze und die Auswirkungen der Inflation machst du dir Sorgen, dass die Kaufkraft deiner Ersparnisse mit der Zeit sinken könnte. Du möchtest, dass dein Geld nicht nur erhalten bleibt, sondern auch wächst.

Du hast gehört, dass Investitionen in Aktien und Anleihen eine gute Möglichkeit sein können, dein Geld zu vermehren. Du weißt, dass einige Vermögenswerte, wie Anleihen, sicher sind, während andere, wie Aktien, höhere Renditen bieten, aber auch mehr Risiko mit sich bringen. Du fragst dich, ob du beide Arten von Vermögenswerten in einer Strategie kombinieren kannst, die es dir erlaubt, mehr als die Bankzinsen zu verdienen, ohne ein übermäßiges Risiko einzugehen.

Du beschließt, dich näher zu informieren, und stößt auf einen Ansatz namens „Einfaches Marktmodell“, der das Erlernen der grundlegenden Konzepte zu risikobehafteten und risikofreien Vermögenswerten, Renditen und Portfolioaufbau erleichtert. Dieses Modell ist ideal für Einsteiger, da es die Finanzanalyse vereinfacht, indem es sich auf zwei Zeitpunkte konzentriert: die Gegenwart und einen zukünftigen Moment.

Mit dieser Motivation entscheidest du dich, mehr darüber zu lernen, wie man die Rendite einer Investition berechnet und ein Portfolio aufbaut, das deine Erträge maximiert. Im weiteren Verlauf werden wir diese Konzepte eingehend untersuchen, damit du fundierte Entscheidungen treffen und deine persönlichen Finanzen besser verwalten kannst.

Da du nun bereit bist, tauchen wir ein in das theoretische Wissen, das du brauchst, um dieses Marktmodell zu verstehen und es auf deine eigenen Investitionsentscheidungen anzuwenden.

Definitionen und Theoretische Annahmen

Risikobehaftete und Risikofreie Vermögenswerte

Um das einfache Marktmodell zu verstehen, müssen wir uns zunächst mit den Konzepten von risikobehafteten Vermögenswerten und risikofreien Vermögenswerten vertraut machen. Diese beiden Arten von Vermögenswerten bilden die Grundlage der meisten Anlagestrategien.

Ein risikofreier Vermögenswert ist eine Art von Investition, deren Ertrag bekannt und sicher ist. Ein klassisches Beispiel für einen risikofreien Vermögenswert ist eine Anleihe, die von der Regierung oder einer stabilen Finanzinstitution ausgegeben wird und eine feste Zinszahlung am Ende eines Zeitraums garantiert. Solche Anleihen können als Einlagen auf einem Bankkonto oder als Schuldtitel betrachtet werden, die eine vorhersehbare und stabile Rendite bieten.

Ein risikobehafteter Vermögenswert hingegen ist ein Vermögenswert, dessen zukünftiger Preis unsicher ist und sowohl steigen als auch fallen kann. Ein gängiges Beispiel für einen risikobehafteten Vermögenswert sind Aktien von börsennotierten Unternehmen. Aktien können volatil sein, und ihr Preis hängt von vielen Faktoren ab, was ihren zukünftigen Wert unvorhersehbar macht.

Zeitachse im Modell

Im einfachen Marktmodell beschränken wir die Analyse auf nur zwei Zeitpunkte: die Gegenwart, die wir mit t = 0 bezeichnen, und einen zukünftigen Zeitpunkt, z. B. ein Jahr später, den wir mit t = 1 bezeichnen. Dieser vereinfachte Ansatz ermöglicht es, Wertveränderungen von Vermögenswerten zu analysieren, ohne in übermäßige Komplexität zu geraten.

Dieses Zwei-Zeitpunkt-Modell ist besonders nützlich für Anfänger, da es das Verständnis dafür erleichtert, wie sich die Preise von Vermögenswerten im Zeitverlauf ändern und wie sich diese Änderungen auf den Wert eines Portfolios auswirken.

Rendite einer Investition

Die Rendite ist ein Maß dafür, wie viel Wert eine Investition in einem bestimmten Zeitraum gewonnen oder verloren hat. Abhängig von der Art des Vermögenswerts kann die Berechnung der Rendite unsicher oder bestimmt sein.

Für einen risikobehafteten Vermögenswert wie eine Aktie ist die Rendite unsicher und wird unter Verwendung des Anfangs- und des zukünftigen Preises des Vermögenswerts berechnet. Wenn der Aktienkurs zum Zeitpunkt t mit S(t) bezeichnet wird, berechnet sich die Rendite der Aktie zwischen t = 0 und t = 1 wie folgt:

K_S = \dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)}

Diese Rendite, dargestellt durch K_S , ist ein Bruchteil des Anfangswerts der Aktie und kann positiv sein (wenn der Aktienkurs gestiegen ist), negativ (wenn er gefallen ist) oder null (wenn sich der Kurs nicht verändert hat).

Für einen risikofreien Vermögenswert wie eine Anleihe ist die Rendite im Voraus mit Sicherheit bekannt. Wenn wir den Preis einer Anleihe zum Zeitpunkt t mit A(t) darstellen, berechnet sich die Rendite dieser Anleihe zwischen t = 0 und t = 1 wie folgt:

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)}

Diese Rendite, K_A , ist fest und wird vom Emittenten der Anleihe garantiert. Der entscheidende Unterschied zwischen K_S und K_A liegt in der Sicherheit: Während die Rendite einer Aktie unsicher ist, ist die Rendite einer Anleihe fest und bekannt.

Zusammenstellung und Bewertung eines Portfolios

Nun, da wir das Konzept der Rendite verstanden haben, können wir risikobehaftete und risikofreie Vermögenswerte kombinieren, um ein Portfolio zu bilden. Angenommen, du entscheidest dich, ein Portfolio mit x Aktien und y Anleihen zu erstellen. Der Gesamtwert des Portfolios zu einem beliebigen Zeitpunkt t ist:

V(t) = xS(t) + yA(t)

Hier steht V(t) für den Gesamtwert des Portfolios, der sich aus dem Wert der Aktien ( xS(t) ) und dem Wert der Anleihen ( yA(t) ) zusammensetzt.

Zum Anfangszeitpunkt ( t = 0 ) ist der Wert des Portfolios bekannt, sofern wir die Anzahl der Aktien und Anleihen sowie deren aktuelle Preise kennen. Zum Zeitpunkt t = 1 kann sich jedoch der Wert der Aktien verändern, was den Gesamtwert des Portfolios unsicher macht.

Grundlegende Annahmen des Modells

Um das Modell zu vereinfachen, treffen wir einige grundlegende Annahmen, die es uns ermöglichen, die Berechnungen und Analysen überschaubar zu gestalten:

• Annahme der Zufälligkeit: Der zukünftige Aktienpreis ( S(1) ) ist eine Zufallsvariable, was bedeutet, dass er je nach unvorhersehbaren Marktbedingungen unterschiedliche Werte annehmen kann.
• Positive Preise: Alle Preise von Aktien und Anleihen sind strikt positiv, d. h. S(t) > 0 und A(t) > 0 für t = 0, 1 . Diese Annahme stellt sicher, dass die Vermögenswerte realistische Werte haben.
• Teilbarkeit und Liquidität: Vermögenswerte können in Bruchteilen gekauft werden, was es Anlegern erlaubt, ihre Portfolios ohne Einschränkungen anzupassen. Es wird außerdem angenommen, dass Vermögenswerte in jeder beliebigen Menge gekauft oder verkauft werden können.
• Solvenz: Das Gesamtvermögen eines Anlegers muss zu jedem Zeitpunkt nicht negativ sein, d. h. V(t) \geq 0 . Das bedeutet, dass man nicht mehr verlieren kann, als man investiert hat.
• Diskrete Preise: Der zukünftige Preis S(1) einer Aktie ist eine Zufallsvariable, die nur eine endliche Anzahl möglicher Werte annehmen kann. Dies erleichtert die Analyse und Modellierung des Marktes.

Mit diesen Annahmen wird das Modell handhabbarer, was es uns ermöglicht, die Renditen und Portfolio-Werte ohne zusätzliche Komplexität zu analysieren.

Bis jetzt haben wir die grundlegenden theoretischen Konzepte behandelt, die notwendig sind, um das einfache Marktmodell zu verstehen. Im nächsten Abschnitt wenden wir dieses Wissen in praktischen Übungen an, um zu sehen, wie man den Wert und die Rendite eines Portfolios unter verschiedenen Szenarien berechnet.

Gelöste Aufgaben

Übung 1: Renditeberechnung bei Anleihen (Risikofreier Vermögenswert)

Angenommen, du besitzt eine Anleihe mit einem Anfangspreis von A(0) = 100 Dollar. Am Ende eines Jahres ist der Wert der Anleihe auf A(1) = 110 Dollar gestiegen.

Frage: Wie hoch ist die Rendite dieser Anleihe-Investition?

Lösung: Da es sich bei der Anleihe um einen risikofreien Vermögenswert handelt, ist die Rendite sicher und kann mit der Formel für risikofreie Vermögenswerte berechnet werden:

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)}

Einsetzen der Werte:

K_A = \dfrac{110 - 100}{100} = \dfrac{10}{100} = 0.10

Die Rendite beträgt 10 %.

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Übung 2: Renditeberechnung bei Aktien (Risikobehafteter Vermögenswert)

Angenommen, du kaufst eine Aktie zum Preis von S(0) = 50 Dollar. Am Ende des Jahres kann sich der Preis der Aktie verändern. Es gibt zwei mögliche Ergebnisse:

• Wenn der Markt steigt, beträgt der Aktienpreis S(1) = 52 Dollar, mit einer Wahrscheinlichkeit von p .
• Wenn der Markt fällt, beträgt der Aktienpreis S(1) = 48 Dollar, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 - p .

Frage: In einem einfachen Marktmodell: Wie hoch ist die Rendite dieser Investition in jedem Szenario?

Lösung: Die Rendite einer Aktie ist als risikobehafteter Vermögenswert unsicher und wird mit der Formel für risikobehaftete Vermögenswerte berechnet:

K_S = \dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)}

Wir berechnen die Rendite in jedem Szenario:

• Wenn der Preis auf 52 Dollar steigt:

K_S = \dfrac{52 - 50}{50} = \dfrac{2}{50} = 0.04

Die Rendite beträgt in diesem Fall 4 %.

• Wenn der Preis auf 48 Dollar fällt:

K_S = \dfrac{48 - 50}{50} = \dfrac{-2}{50} = -0.04

Die Rendite beträgt in diesem Fall −4 %.

Je nach Marktverlauf kann die Rendite also positiv (4 %) oder negativ (−4 %) sein.

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Übung 3: Wert eines Portfolios mit risikobehafteten und risikofreien Vermögenswerten

Angenommen, du entscheidest dich, ein Portfolio zu erstellen, das 20 Aktien und 10 Anleihen enthält. Wir wissen:

• Der Preis einer Aktie zu Beginn beträgt S(0) = 50 Dollar.
• Der Preis einer Anleihe zu Beginn beträgt A(0) = 100 Dollar.

Frage: Wie hoch ist der Wert dieses Portfolios zum Zeitpunkt t = 0 ?

Lösung: Der Wert eines Portfolios zum Zeitpunkt t wird berechnet als:

V(t) = xS(t) + yA(t)

wobei x die Anzahl der Aktien und y die Anzahl der Anleihen ist.

Einsetzen der Werte:

V(0) = (20)(50) + (10)(100)

V(0) = 1000 + 1000 = 2000

Der Wert des Portfolios zum Anfangszeitpunkt t = 0 beträgt 2000 Dollar.

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Übung 4: Renditeberechnung eines gemischten Portfolios

Angenommen, die Preise der Vermögenswerte im Portfolio aus Übung 3 ändern sich zum Zeitpunkt t = 1 wie folgt:

• Wenn der Markt steigt, beträgt der Aktienpreis S(1) = 52 und der Anleihepreis A(1) = 110 .
• Wenn der Markt fällt, beträgt der Aktienpreis S(1) = 48 und der Anleihepreis A(1) = 110 .

Frage: In einem einfachen Marktmodell: Wie hoch sind der Wert und die Rendite des Portfolios in jedem Szenario?

Lösung:

Szenario 1: Der Markt steigt

V(1) = (20)(52) + (10)(110)

V(1) = 1040 + 1100 = 2140

Der Wert des Portfolios in diesem Fall beträgt 2140 Dollar.

Die Rendite des Portfolios ist:

K_V = \dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \dfrac{2140 - 2000}{2000} = \dfrac{140}{2000} = 0.07

Die Rendite beträgt 7 %.

Szenario 2: Der Markt fällt

V(1) = (20)(48) + (10)(110)

V(1) = 960 + 1100 = 2060

Der Wert des Portfolios in diesem Fall beträgt 2060 Dollar.

Die Rendite des Portfolios ist:

K_V = \dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \dfrac{2060 - 2000}{2000} = \dfrac{60}{2000} = 0.03

Die Rendite beträgt 3 %.

Zusammenfassend hängt die Rendite des Portfolios vom Marktverlauf ab. Wenn der Markt steigt, beträgt die Rendite 7 %; wenn der Markt fällt, beträgt die Rendite 3 %.

Übung 5: Berechnung der gewichteten Rendite eines gemischten Portfolios

Angenommen, du entscheidest dich, ein gemischtes Portfolio mit folgender Anfangsverteilung zu erstellen:

• 50 % deiner Investition stecken in risikofreien Anleihen mit einem Anfangspreis von A(0) = 100 und einem Endpreis am Jahresende von A(1) = 105 .
• 50 % deiner Investition stecken in risikobehafteten Aktien mit einem Anfangspreis von S(0) = 50 . Der Aktienpreis zum Zeitpunkt t = 1 beträgt entweder S(1) = 55 , wenn der Markt steigt (Wahrscheinlichkeit 0,7), oder S(1) = 45 , wenn der Markt fällt (Wahrscheinlichkeit 0,3).

Frage: Wie hoch ist die erwartete Gesamtrendite des Portfolios unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit, dass der Markt steigt oder fällt?

Lösung:

1. Zuerst berechnen wir die Rendite jedes Vermögenswerttyps:

• Für die risikofreien Anleihen:

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)} = \dfrac{105 - 100}{100} = 0.05 (5 %)

• Für die Aktien in jedem Szenario:
• Wenn der Markt steigt:

K_S^{\text{up}} = \dfrac{55 - 50}{50} = 0.10 (10 %)

• Wenn der Markt fällt:

K_S^{\text{down}} = \dfrac{45 - 50}{50} = -0.10 (−10 %)

2. Wir berechnen die erwartete Rendite der Aktien unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeiten:

\text{Erwartete Rendite der Aktien} = (0.7 \times 0.10) + (0.3 \times -0.10) = 0.04 (4 %)

3. Nun berechnen wir die gewichtete Rendite des Portfolios, wobei 50 % in Anleihen und 50 % in Aktien investiert sind:

K_{\text{Portfolio}} = (0.5 \times 0.05) + (0.5 \times 0.04) = 0.045 (4,5 %)

Antwort: Die erwartete Gesamtrendite des Portfolios beträgt 4,5 %.

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Übung 6: Bewertung von Risiko und Rendite eines Portfolios mit Leerverkauf in einem einfachen Marktmodell

Angenommen, du verfolgst eine Strategie, bei der du 2000 Dollar in risikofreie Anleihen investierst, mit einer garantierten Rendite von 3 % am Jahresende. Zusätzlich leihst du dir 1000 Dollar, um Aktien leerzuverkaufen, in der Hoffnung, dass deren Preis fällt und du einen Gewinn erzielst. Der aktuelle Aktienkurs beträgt S(0) = 50 Dollar pro Aktie, und am Jahresende kann der Preis sein:

• S(1) = 40 Dollar, wenn der Markt fällt (Wahrscheinlichkeit 0,6)
• S(1) = 60 Dollar, wenn der Markt steigt (Wahrscheinlichkeit 0,4)

Frage: Wie hoch ist die erwartete Rendite des Portfolios und wie groß ist das mit dem Leerverkauf verbundene Risiko, gemessen an der Standardabweichung der Renditen?

Lösung:

Berechnung der erwarteten Rendite

Zuerst berechnen wir die Rendite der risikofreien Anleihen:

K_A = 0.03 (3 %)

Für den Leerverkauf berechnen wir den Gewinn oder Verlust in jedem Szenario:

• Wenn der Markt fällt:

Der Leerverkauf erfolgte zu 50 Dollar pro Aktie, und der Preis am Jahresende beträgt 40 Dollar. Der Gewinn pro Aktie beträgt:

50 - 40 = 10 Dollar

Wenn du dir 1000 Dollar geliehen hast, entspricht dies einem Leerverkauf von \dfrac{1000}{50} = 20 Aktien. Der Gesamtgewinn ist:

20 \times 10 = 200 Dollar

• Wenn der Markt steigt:

Der Leerverkauf erfolgte zu 50 Dollar pro Aktie, und der Preis am Jahresende beträgt 60 Dollar. Der Verlust pro Aktie beträgt:

50 - 60 = -10 Dollar

Für 20 Aktien ergibt sich ein Gesamtverlust von:

20 \times -10 = -200 Dollar

Berechnung der erwarteten Rendite des Leerverkaufs:

\text{Erwartete Rendite des Leerverkaufs} = (0.6 \times 200) + (0.4 \times -200) = 120 - 80 = 40 Dollar

Berechnung der Varianz und Standardabweichung zur Risikomessung

Nun berechnen wir zur Risikobewertung in einem einfachen Marktmodell die Varianz der Renditen des Leerverkaufs. Die Formel für die Varianz, basierend auf möglichen Ergebnissen und deren Wahrscheinlichkeiten, lautet:

\text{Varianz} = (0.6) \times (200 - 40)^2 + (0.4) \times (-200 - 40)^2 = 38400

Zum Schluss berechnen wir die Standardabweichung als Quadratwurzel der Varianz:

\text{Standardabweichung} = \sqrt{38400} \approx 196

Interpretation der Standardabweichung im Kontext der Normalverteilung

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Werte um den Mittelwert. Im Kontext einer Normalverteilung spielt die Standardabweichung eine wichtige Rolle für das Verständnis des Risikos und der Wahrscheinlichkeit bestimmter Renditen.

Zusammenhang zwischen Standardabweichung und Normalverteilung

Die Normalverteilung (auch Gaußsche Glockenkurve) ist eine symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung um ihren Mittelwert, bei der die meisten Werte nahe dem Mittelwert liegen. Viele finanzielle Renditen, wie die Erträge gut diversifizierter Portfolios, nähern sich häufig einer Normalverteilung an.

In einer Normalverteilung gilt:

• Etwa 68 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert.
• Etwa 95 % der Werte liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert.
• Etwa 99,7 % der Werte liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.

Interpretation im Kontext von Risiko und finanziellen Renditen

Wenn wir annehmen, dass die Renditen des Leerverkaufs ungefähr normalverteilt sind, ermöglicht uns die Standardabweichung von 196 Dollar, die Wahrscheinlichkeit bestimmter Renditen um den erwarteten Mittelwert abzuschätzen. Zum Beispiel:

• Mit einer Standardabweichung von 196 Dollar und einer erwarteten Rendite von 40 Dollar können wir sagen, dass 68 % der Ergebnisse im Bereich von 40 \pm 196 Dollar liegen (also zwischen −156 und 236 Dollar).
• Zur Einschätzung von extremen Risiken könnten wir Ergebnisse analysieren, die zwei oder drei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegen. In einer Normalverteilung sind solche Ereignisse (5 % oder weniger) zwar unwahrscheinlich, können aber erhebliche Auswirkungen auf das Portfolio haben.

Beschränkungen im Kontext des Leerverkaufs

Es ist wichtig zu beachten, dass die Renditen bei einem Leerverkauf möglicherweise keiner perfekten Normalverteilung folgen, da die Strategie eine Asymmetrie aufweist: Der Aktienpreis kann unbegrenzt steigen, was zu unbegrenzten Verlusten führen kann, aber nicht unter null fallen. Dies führt zu einer Verzerrung der Verteilung und erhöht die Wahrscheinlichkeit extremer Verluste mehr, als es eine Normalverteilung vermuten lässt.

Vorgeschlagene Übungen

Übung 1: Renditeberechnung bei einer Anleihe

Angenommen, du kaufst eine risikofreie Anleihe zu einem Anfangspreis von A(0) = 200 Dollar, und am Ende des Jahres steigt der Preis der Anleihe auf A(1) = 220 Dollar.

Frage: Wie hoch ist die Rendite dieser Anleiheinvestition?

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Übung 2: Rendite bei einer risikobehafteten Aktie mit probabilistischen Szenarien

Du kaufst eine Aktie zu einem Anfangspreis von S(0) = 100 Dollar. Am Ende des Jahres kann der Preis der Aktie S(1) = 110 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 oder S(1) = 90 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 betragen.

Frage: Berechne die Rendite in jedem Szenario und die erwartete Rendite dieser Investition in die Aktie.

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Übung 3: Wert eines gemischten Portfolios

Du erstellst ein Portfolio mit 15 Aktien und 5 Anleihen. Zu Beginn beträgt der Preis jeder Aktie S(0) = 30 Dollar, und der Preis jeder Anleihe beträgt A(0) = 100 Dollar.

Frage: Wie hoch ist der Gesamtwert deines Portfolios zum Zeitpunkt t = 0 ?

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Übung 4: Rendite des Portfolios in verschiedenen Marktszenarien

Für das Portfolio aus der vorherigen Übung beträgt der Aktienpreis am Jahresende S(1) = 35 , wenn der Markt steigt, oder S(1) = 25 , wenn der Markt fällt. Die risikofreie Anleihe hat in beiden Fällen einen Preis von A(1) = 105 .

Frage: Berechne den Wert und die Rendite des Portfolios in jedem Marktszenario.

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Übung 5: Auswirkung von Kursveränderungen einer Aktie auf das Portfolio

Angenommen, du besitzt ein Portfolio, das aus 10 Anleihen und 40 Aktien besteht. Der Preis jeder Anleihe beträgt zu Beginn A(0) = 90 Dollar, und der Preis jeder Aktie S(0) = 20 Dollar. Am Jahresende steigt der Aktienkurs auf S(1) = 30 und der Anleihekurs auf A(1) = 95 .

Frage: Berechne den Anfangs- und Endwert des Portfolios und bestimme die Rendite des Portfolios.

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Übung 6: Berechnung der gewichteten Rendite eines diversifizierten Portfolios in einem einfachen Marktmodell

Du investierst 60 % deines Portfolios in risikofreie Anleihen und 40 % in Aktien. Der Anfangspreis der Anleihen beträgt A(0) = 200 Dollar, und ihr Endpreis beträgt A(1) = 210 Dollar. Der Anfangspreis der Aktien beträgt S(0) = 50 , und ihr Endpreis hängt davon ab, ob der Markt steigt ( S(1) = 55 mit Wahrscheinlichkeit 0,6) oder fällt ( S(1) = 45 mit Wahrscheinlichkeit 0,4).

Frage: Berechne die erwartete Gesamtrendite des Portfolios.

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Übung 7: Risikobewertung anhand der Standardabweichung

Bei einer Leerverkaufsstrategie leihst du dir 500 Dollar, um Aktien leerzuverkaufen, die einen Anfangspreis von S(0) = 25 Dollar haben. Am Jahresende kann der Aktienkurs S(1) = 20 (Wahrscheinlichkeit 0,7) oder S(1) = 30 (Wahrscheinlichkeit 0,3) betragen.

Frage: Berechne die erwartete Rendite und die Standardabweichung dieser Leerverkaufsinvestition.

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Übung 8: Erstellung eines Portfolios mit garantierter Zielrendite

Du verfügst über 2000 Dollar und möchtest ein Portfolio mit risikofreien Anleihen ( A(0) = 100 Dollar, mit einer Rendite von 5 %) und Aktien ( S(0) = 50 Dollar) erstellen, deren erwartete Rendite 8 % beträgt.

Frage: Wie viele Anleihen und Aktien musst du kaufen, damit die erwartete Gesamtrendite des Portfolios 6 % beträgt?

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Übung 9: Analyse der Auswirkungen der Diversifikation auf das Portfolio

Du investierst 3000 Dollar in ein Portfolio, das aus Anleihen und Aktien besteht. Die Hälfte deiner Investition steckt in Anleihen ( A(0) = 150 Dollar, mit garantierter Rendite von 4 %) und die andere Hälfte in Aktien ( S(0) = 75 Dollar), deren Preis zum Zeitpunkt t = 1 entweder 90 (Wahrscheinlichkeit 0,5) oder 60 (Wahrscheinlichkeit 0,5) betragen kann.

Frage: Berechne die erwartete Rendite und die Standardabweichung des Portfolios.

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Übung 10: Auswirkung von Kursveränderungen auf das Portfolio und Solvenz

Du erstellst ein Portfolio mit 1000 Dollar, indem du 300 in Anleihen und 700 in Aktien investierst. Bei den Anleihen ist die Rendite mit 3 % festgelegt, während der Aktienkurs ( S(0) = 35 ) entweder auf 25 fallen oder auf 45 steigen kann – jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Frage: Wie hoch ist der Portfoliowert in jedem Szenario im einfachen Marktmodell? Beurteile, ob das Portfolio die Annahme der Solvenz erfüllt ( V(t) \geq 0 ).