Definitionsmenge, Wertebereich und Graph – Vorgeschlagene und Gelöste Aufgaben
Zusammenfassung:
In dieser Unterrichtseinheit üben wir, wie man die Definitionsmenge, den Wertebereich und den Graphen algebraischer Funktionen anhand von Übungen und gelösten Beispielen bestimmt, wobei die Bedeutung der Praxis zur Beherrschung dieser Techniken hervorgehoben wird.
Lernziele:
Am Ende dieser Lektion wird der/die Studierende in der Lage sein:
- Verstehen, wie man die Definitionsmenge algebraischer Funktionen bestimmt.
- Erkennen des Wertebereichs verschiedener Funktionstypen.
- Darstellen des Graphen algebraischer Funktionen im kartesischen Koordinatensystem.
- Anwenden von Vereinfachungstechniken zur Lösung komplexerer Funktionen.
Wie man die Techniken beherrscht
Um die Techniken zur Bestimmung der Definitionsmenge, des Wertebereichs und des Graphen – zumindest auf diesem Niveau – zu beherrschen, ist es nicht notwendig, mehr Theorie zu wiederholen als die, die wir bereits behandelt haben. An diesem Punkt ist es besser, Übungen zu machen, und die beste Art zu üben besteht darin, zufällige Aufgaben zu erfinden. Nur so wirst du die Grenzen der bisher behandelten Techniken wirklich kennenlernen und die Intuition entwickeln, die dir ein sicheres Vorgehen ermöglicht.
Genau das werden wir im Folgenden tun: Ich werde einige zufällige Aufgaben erfinden und sie in dem Maße lösen, wie es die behandelten Techniken erlauben. Falls sie sich mit diesen Techniken nicht lösen lassen, werde ich erklären, an welchen Punkten sie scheitern und warum.
Übungsaufgaben:
Bestimme die Definitionsmenge, den Wertebereich und den Graphen der folgenden Funktionen:
- a(x) = \displaystyle \frac{x^3 - 3x^2 + 5x - 1}{x^2 + 2x - 1}
- b(x) = \displaystyle \frac{4x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 2x - 2}{2x^2 - x - 1}
- c(x) = \displaystyle \frac{x^5 + x^3 - x - 1}{x^2 - x - 1}
- d(x) = \displaystyle \frac{3x^2 - 3x - 2}{\sqrt{x^2 - 1}}
- e(x) = \displaystyle \sqrt{\frac{x^4 - x^2 - 11}{(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - x - 1}}}
- f(x) = \displaystyle \frac{(x^2 - 2x - 2)\sqrt{7x^8 - 5x^4 - 2}}{x\sqrt{5x^2 - 3x + 2}}
Lösungen der Übungsaufgaben:
Vorgeschlagene Übungen:
Die folgenden vorgeschlagenen Übungen sind den zuvor gelösten sehr ähnlich; ich habe nur die Zahlen geändert. Die Struktur ist dieselbe, daher können die vorherigen Lösungen hilfreich sein. Wenn du mit diesen Techniken noch nicht sicher bist, kannst du dich jederzeit auf Online-Tools wie WolframAlpha und GeoGebra stützen. Wenn du Schwierigkeiten mit der Algebra hast, helfen dir die folgenden Lektionen beim Wiederholen:
Wie bei den vorherigen Aufgaben musst du die Definitionsmenge, den Wertebereich und den Graphen berechnen.
- a(x) = \displaystyle \frac{-5x^3 + 9x^2 - 7x - 2}{5x^2 + 3x + 9}
- b(x) = \displaystyle \frac{-8x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 4x + 1}{3x^2 - 9x + 3}
- c(x) = \displaystyle \frac{-7x^5 + 9x^3 + 7x + 5}{-2x^2 - 8x + 6}
- d(x) = \displaystyle \frac{4x^2 - 4x - 9}{\sqrt{-3x^2 + 7}}
- e(x) = \displaystyle \sqrt{\frac{9x^4 + 2x^2 + 7}{(-8x^2 + 4)\sqrt{-6x^2 + 9x + 5}}}
- f(x) = \displaystyle \frac{(7x^2 + 6x - 1)\sqrt{9x^8 + 3x^4 + 9}}{5x\sqrt{3x^2 + 8x - 3}}
Ab diesem Punkt gilt: Wenn du weiter üben möchtest, ist es am besten, dir eigene Funktionen auszudenken und sie auszuprobieren.