5 Symmetrien der Aussagenlogik
Zusammenfassung:
In diesem Kurs untersuchen wir, wie die doppelte Negation, der hypothetische Syllogismus, das Kontrapositiv der Implikation, die Deduktionstheoreme und die Definitionen der Junktoren zusammenwirken, um die Symmetrien der Aussagenlogik zu bilden. Mit klaren und einfachen Beweisen lernst du, die Äquivalenzen zu beherrschen und sie auf eigene logische Herausforderungen anzuwenden.
Die im Kurs behandelten Symmetrien umfassen: \downarrow-Symmetrie, \vee-Symmetrie, \wedge-Symmetrie, \leftrightarrow-Symmetrie und \veebar-Symmetrie. Darüber hinaus werden die Wechselwirkungen zwischen den Beweisen hervorgehoben und wie jeder auf dem vorhergehenden aufbaut, um zukünftige Ableitungen zu vereinfachen. Dieser Kurs vermittelt dir nicht nur ein tiefes Verständnis der Aussagenlogik, sondern lehrt dich auch, frühere Beweise zur Optimierung deines Lernprozesses zu nutzen.
Lernziele:
Am Ende dieses Kurses wird der Studierende in der Lage sein:
- Grundbegriffe der Aussagenlogik wie den hypothetischen Syllogismus und die doppelte Negation zu erinnern.
- Die 5 Symmetrien der Aussagenlogik zu erkennen.
- Den Beweisprozess der Symmetrieäquivalenzen zu verstehen.
- Voraussetzung, Deduktionstheorem und dessen Umkehrung in Beweisen anzuwenden.
- Die Definitionen logischer Junktoren mit den Symmetrien in Beziehung zu setzen.
- Die Bedeutung zu würdigen, Beweise nur einmal zu führen und sie für zukünftige Beweise wiederzuverwenden.
- Analytische und kritische Fähigkeiten beim Führen logischer Beweise zu entwickeln.
INHALTSVERZEICHNIS
\vee – SYMMETRIE
\downarrow – SYMMETRIE
\wedge – SYMMETRIE
\leftrightarrow – SYMMETRIE
\veebar – SYMMETRIE
ABSCHLIESSENDE BEMERKUNGEN
Eine direkte Folge des hypothetischen Syllogismus, der doppelten Negation und des Kontrapositivs der Implikation, der Deduktionstheoreme und der Definitionen der Junktoren sind die 5 Symmetrien der Aussagenlogik, die wir im Folgenden untersuchen werden.
| (\alpha \downarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\downarrow \alpha) | \downarrow-Symmetrie |
| (\alpha \vee \beta) \dashv\vdash (\beta\vee \alpha) | \vee-Symmetrie |
| (\alpha \wedge \beta) \dashv\vdash (\beta\wedge \alpha) | \wedge-Symmetrie |
| (\alpha \leftrightarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\leftrightarrow \alpha) | \leftrightarrow-Symmetrie |
| (\alpha \veebar \beta) \dashv\vdash (\beta\veebar\alpha) | \veebar-Symmetrie |
Die Beweise dieser Äquivalenzen sind nicht völlig trivial, aber im Vergleich zu einigen Beweisen, die wir bereits gesehen haben, sind sie recht einfach. Im Folgenden wird der Beweis jeder Äquivalenz in eine Richtung dargestellt; der Beweis in umgekehrter Richtung ist nahezu identisch und bleibt dem Leser als Übung überlassen.
\vee-Symmetrie
| [/latex] | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\alpha \vee\beta) | ; Voraussetzung |
| [/latex] | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \alpha \rightarrow \beta) | ; da (\alpha \vee \beta) := (\neg \alpha \rightarrow \beta) |
| (3) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \alpha) | ; CPI(2) |
| [/latex] | \boxed{\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash ( \beta \vee \alpha)} | ; da ( \beta \vee \alpha) := (\neg\beta\rightarrow\alpha) |
Das Rückwärtsargument ergibt sich mit nur wenigen Änderungen, beginnend mit der Voraussetzung \{(\beta\vee\alpha)\}\vdash (\beta\vee\alpha)
\downarrow-Symmetrie
| [/latex] | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash \neg(\alpha \downarrow \beta) | ; Voraussetzung |
| [/latex] | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\alpha \vee \beta) | ; aus (1), da (\alpha\vee\beta) := \neg(\alpha \downarrow \beta) |
| [/latex] | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\beta \vee \alpha) | ; \vee-Symmetrie |
| [/latex] | \vdash (\neg(\alpha \downarrow \beta) \rightarrow (\beta \vee \alpha)) | ; TD(3) |
| [/latex] | \vdash (\neg(\beta \vee \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; CPI(4) |
| [/latex] | \vdash ((\beta \downarrow \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; aus (5), da (\beta\vee\alpha) := \neg(\beta \downarrow \alpha) |
| [/latex] | \boxed{\{(\beta \downarrow \alpha) \} \vdash (\alpha \downarrow \beta)} | ; RTD(6) |
Schließlich erhält man durch Rückwärtsschluss die Deduktion in umgekehrter Richtung, beginnend mit der Voraussetzung \{\neg(\beta\downarrow\alpha)\}\vdash \neg(\beta\downarrow\alpha)
\wedge-Symmetrie
| [/latex] | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\alpha \wedge \beta) | ; Voraussetzung |
| [/latex] | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) | ; aus (1), da (\alpha \wedge \beta) := (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) |
| [/latex] | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) | ; \downarrow-Symmetrie (2) |
| [/latex] | \boxed{\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash ( \beta \wedge \alpha)} | ; aus (3), da (\beta \wedge \alpha) := (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) |
Wie zuvor ergibt sich das Rückwärtsschließen mit nur wenigen Variationen, beginnend mit der Voraussetzung \{( \beta \wedge \alpha)\}\vdash ( \beta \wedge \alpha)
\leftrightarrow-Symmetrie
| [/latex] | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; Voraussetzung |
| [/latex] | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) | ; aus (1), da (\alpha \leftrightarrow \beta) := ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\beta \rightarrow \alpha)) |
| [/latex] | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta) ) | ; \wedge-Symmetrie(2) |
| [/latex] | \boxed{\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha)} | ; aus (3), da (\beta \leftrightarrow \alpha) := ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) |
Wie beim vorherigen Fall, beginnend mit der Voraussetzung \{( \beta \leftrightarrow \alpha)\}\vdash ( \beta\leftrightarrow \alpha)
\veebar-Symmetrie
| [/latex] | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; Voraussetzung |
| [/latex] | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ( \beta \leftrightarrow \alpha) | ; \leftrightarrow-Symmetrie(1) |
| [/latex] | \vdash ((\alpha \leftrightarrow \beta) \rightarrow ( \beta \leftrightarrow \alpha)) | ; TD(2) |
| [/latex] | \vdash (\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha) \rightarrow \neg (\alpha \leftrightarrow \beta)) | ; CPI(3) |
| [/latex] | \{\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; RTD(4) |
| [/latex] | \boxed{\{ ( \beta \veebar \alpha)\} \vdash (\alpha \veebar \beta)} | ; Aus (5), da ( \beta \veebar \alpha) := \neg(\beta \leftrightarrow \alpha) und (\alpha \veebar \beta) := \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) |
Wie in allen anderen Fällen genügt es, die Voraussetzung in umgekehrter Richtung \{(\beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha) zu prüfen, um die Ableitung in dieser Richtung zu erhalten.
Abschließende Bemerkungen
Ein Aspekt, auf den der Leser besonders achten sollte, ist die Reihenfolge, in der diese 5 Symmetrien der Aussagenlogik bewiesen wurden. Es ist zu beachten, dass jeder Beweis so aufgebaut ist, dass er auf einem zuvor durchgeführten Beweis aufbaut. Dies spiegelt den Ansatz wider, der bei der Durchführung von Beweisen verfolgt werden sollte: Jeder Beweis wird nur ein einziges Mal durchgeführt (und nie wieder!); danach sollte dein Ziel darin bestehen, die vorherigen Beweise zu nutzen, um zukünftige Ableitungen zu vereinfachen.