عرض تقنيات المنطق الكلاسيكي

ملخص
في هذه الحصة، نقدم عدة تقنيات للمنطق الكلاسيكي لإدخال وإزالة الاقترانات والانفصالات، بالإضافة إلى قانون الثالث المستبعد وقانون التناقض، المعروف أيضًا بمبدأ الانفجار. بالإضافة إلى ذلك، نشرح تقنية الإثبات بالحالات وتقنية التقليل إلى العبث، وكلاهما مفيد جدًا في البراهين الرياضية والمنطقية بشكل عام. يتم تقديم كل تقنية بشكل رسمي ويتم توفير برهان خطوة بخطوة لفهمها. إذا كنت ترغب في التعمق في المنطق القضايا وتطوير مهاراتك في إثبات النظريات، فستكون هذه الحصة مفيدة للغاية.

أهداف التعلم:

فهم الأساس وراء تقنيات إدخال وإزالة الاقترانات والانفصالات.
فهم خاصية الثالث المستبعد أو البديهية (TAU) في المنطق الكلاسيكي.
فهم قانون التناقض (CON) أو مبدأ الانفجار في المنطق الكلاسيكي.
فهم تقنية إزالة الانفصالات (∨-إزالة) في المنطق الكلاسيكي.
فهم تقنية الإثبات بالحالات (CAS) في المنطق الكلاسيكي.
فهم تقنية التقليل إلى العبث (absurdo) في المنطق الكلاسيكي.
تطبيق معرفة التقنيات المختلفة للمنطق الكلاسيكي لحل المشكلات والبراهين المعقدة.

الفهرس
إدخال وإزالة الاقترانات والانفصالات
∨-الإدخال
∨-الإزالة
∧-الإدخال
∧-الإزالة
تقنيات التناقض والبديهيات
قانون الثالث المستبعد أو البديهية (TAU)
قانون التناقض أو مبدأ الانفجار
∨-الإزالة3
الإثبات بالحالات (CAS)
التقليل إلى العبث (ABSURDO)

إدخال وإزالة الاقترانات والانفصالات

أحد تقنيات المنطق الكلاسيكي هي إدخال وإزالة الوصلات والفصلات. على الرغم من أن هذه التقنيات يتم تنفيذها بطريقة أكثر أو أقل بديهية، فإن تبريرها ليس تافهًا تمامًا، ولكن يمكن الحصول عليها من قواعد المنطق القضايا التي أثبتناها بالفعل في الدروس السابقة. بشكل رسمي، تقنيات إدخال وإزالة الوصلات والفصلات هي كما يلي:

∨-الإدخال	$\{\alpha \} \vdash (\alpha \vee \beta)$
∨-الإزالة	$\{(\alpha\vee\beta), \neg\alpha \} \vdash\beta$
∧-الإدخال	$\{\alpha.\beta \} \vdash(\alpha \wedge \beta)$
∧-الإزالة	$\{(\alpha \wedge \beta) \} \vdash \alpha$

ودليلها من المنطق القضايا هو كما يلي:

∨-الإدخال

(1)	$\{\alpha\} \vdash \alpha$	; افتراض
(2)	$\{\alpha\} \vdash( \alpha \rightarrow (\neg \beta \rightarrow \alpha))$	; A1, أحادية
(3)	$\{\alpha\} \vdash (\neg \beta \rightarrow \alpha)$	; MP(1,2)
(4)	$\boxed{\{\alpha\} \vdash (\beta \vee \alpha)}$	; $\rightarrow$ -تعريف(3)

∨-الإزالة

(1)	$\{(\alpha \vee \beta), \neg\alpha\}\vdash (\alpha \vee\beta)$	; افتراض
(2)	$\{(\alpha \vee \beta), \neg\alpha\}\vdash \neg\alpha$	; افتراض
(3)	$\{(\alpha \vee \beta), \neg\alpha\}\vdash (\neg \alpha \rightarrow \beta)$	; $\rightarrow$ -تعريف (1)
(4)	$\boxed{\{(\alpha \vee \beta), \neg\alpha\}\vdash \beta}$	; MP(2,3)

∧-الإدخال

(1)	$\{(\neg\alpha \vee \neg \beta), \neg\neg\beta\} \vdash \neg\alpha$	; $\vee$ -إزالة
(2)	$\{\neg\neg\beta\} \vdash ((\neg\alpha \vee \neg \beta) \rightarrow \neg\alpha)$	; TD(1)
(3)	$\{\neg\neg\beta\} \vdash (\neg \neg\alpha \rightarrow \neg (\neg\alpha \vee \neg \beta))$	; CPI(2))
(4)	$\vdash (\neg\neg\beta \rightarrow (\neg \neg\alpha \rightarrow \neg (\neg\alpha \vee \neg \beta)))$	; TD(3)
(5)	$\{\alpha, \beta \} \vdash (\neg\neg\beta \rightarrow (\neg \neg\alpha \rightarrow \neg (\neg\alpha \vee \neg \beta)))$	; أحادية x2 (4)
(6)	$\{\alpha, \beta \} \vdash \beta$	; افتراض
(7)	$\{\alpha, \beta \} \vdash \neg\neg\beta$	; DN(6)
(8)	$\{\alpha, \beta \} \vdash (\neg \neg\alpha \rightarrow \neg (\neg\alpha \vee \neg \beta))$	; MP(7,5)
(9)	$\{\alpha, \beta \} \vdash \alpha$	; افتراض
(10)	$\{\alpha, \beta \} \vdash \neg\neg\alpha$	; DN(9)
(11)	$\{\alpha, \beta \} \vdash \neg (\neg\alpha \vee \neg \beta)$	; MP(10,8)
(12)	$\boxed{\{\alpha, \beta \} \vdash (\alpha \wedge \beta)}$	; $\wedge$ -تعريف(11)

∧-الإزالة

(1)	$\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\alpha \wedge \beta)$	; افتراض
(2)	$\{\neg \alpha\} \vdash (\neg \alpha \vee \neg\beta)$	; $\vee$ -الإدخال
(3)	$\vdash (\neg \alpha \rightarrow (\neg \alpha \vee \neg\beta))$	; TD(2)
(4)	$\vdash (\neg(\neg \alpha \vee \neg\beta) \rightarrow \alpha)$	; CPI(3))
(5)	$\vdash ( ( \alpha \wedge \beta) \rightarrow \alpha)$	; $\wedge$ -تعريف(4)
(6)	$\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash ( ( \alpha \wedge \beta) \rightarrow \alpha)$	; أحادية(5)
(7)	$\boxed{\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash \alpha}$	; MP(1,6)

تقنيات التناقض والبديهيات

قانون الثالث المستبعد أو البديهية (tau)

خاصية أخرى بارزة للمنطق الكلاسيكي هي خاصية الثالث المستبعد (tertium non datur). ينص على أنه إذا كان هناك بيانتان، حيث ينفي أحدهما الآخر، فيجب أن تكون إحداهما صحيحة بالضرورة؛ أو بعبارة أخرى، فإن اقتران بيانين أحدهما ينفي الآخر يشكل بالضرورة بديهية. بشكل رسمي، يُعبر عن ذلك بالكتابة:

$\vdash (\neg\alpha \vee\alpha)$

ودليلها سهل الحصول عليه.

(1)	$\{\alpha\}\vdash \alpha$	; افتراض
(2)	$\vdash (\alpha \rightarrow \alpha)$	; TD(1)
(3)	$\boxed{\vdash (\neg \alpha \vee \alpha)}$	; من (2) لأن $(\alpha \rightarrow \beta) := (\neg \alpha \vee \beta)$

طريقة أخرى لإعلان مبدأ الثالث المستبعد هي عبر قانون عدم التناقض، الذي ينص على أن البيان لا يمكن أن يكون صحيحًا وخاطئًا في نفس الوقت ويتم التعبير عنه رسميًا عبر:

$\vdash \neg(\neg\alpha \wedge \alpha)$

هذه الخاصية لا تحتاج إلى إثبات، ليس لأنها بديهية بحد ذاتها، ولكن لأنها تُستمد مباشرة من تطبيق تعريف الاقتران على مبدأ الثالث المستبعد.

قانون التناقض أو مبدأ الانفجار

خاصية أخرى معروفة للمنطق الكلاسيكي هي مبدأ الانفجار، الذي يُعلن عادة من خلال العبارة “من مقدمات متناقضة يمكن استنتاج أي شيء”. يُعرض عادة بصيغتين:

$\{(\neg\alpha \wedge \alpha)\}\vdash \beta$

$\{\alpha, \neg\alpha\}\vdash \beta$

ودليل هذا القانون بسيط:

(1)	$\{\alpha ,\neg\alpha\} \vdash \neg\alpha$	; افتراض
(2)	$\{\alpha ,\neg\alpha\} \vdash (\neg\alpha \vee \beta)$	; $\vee$ -الإدخال
(3)	$\{\alpha ,\neg\alpha\} \vdash (\alpha \rightarrow \beta)$	; $\rightarrow$ -تعريف(2)
(4)	$\{\alpha ,\neg\alpha\} \vdash \alpha$	; افتراض
(5)	$\boxed{\{\alpha ,\neg\alpha\} \vdash \beta}$	; MP(4,3)

∨-الإزالة3

يمكن كتابة قواعد المنطق بطريقتين مختلفتين. إحدى الصيغ التي نعرفها بالفعل هي $\{\alpha,(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash \beta$ . الأخرى أقل شهرة:

$\{\alpha\}\vdash\beta \; \wedge \; \vdash \alpha \; \Longrightarrow \; \vdash \beta$

بتركيزنا على هذه الصيغة الثانية، يمكننا تصور توسع لهذه القاعدة نسميه ∨-الإزالة3، لأنه يشبه التبسيط الناتج عن انفصال. هذه القاعدة تقول إنه إذا كان يمكن استنتاج $\gamma$ من $\alpha$ و $\beta$ (كليهما معًا) و $\alpha$ و $\beta$ بينهما انفصال، فإن $\gamma$ هو نظرية. هذا يمكن تلخيصه رسميًا كما يلي:

$\{\alpha\}\vdash\gamma\; \wedge \; \{\beta\}\vdash\gamma \; \wedge \; \vdash (\alpha \vee \beta)$ $\Longrightarrow$ $\vdash \gamma$

ودليل هذه التقنية من المنطق الكلاسيكي هو كما يلي:

(1)	$\boxed{\alpha \vdash \gamma}$	; افتراض
(2)	$\boxed{\beta \vdash \gamma}$	; افتراض
(3)	$\boxed{\vdash (\alpha \vee \beta)}$	; افتراض
(4)	$\vdash (\alpha \rightarrow \gamma)$	; TD(1)
(5)	$\vdash (\beta \rightarrow \gamma)$	; TD(2)
(6)	$\vdash (\neg \gamma \rightarrow \neg \alpha)$	; CPI(4)
(7)	$\vdash (\neg \gamma \rightarrow \neg \beta)$	; CPI(5)
(8)	$\{\neg \gamma \}\vdash \neg \alpha$	; RTD(6)
(9)	$\{\neg \gamma\}\vdash \neg \beta$	; RTD(7)
(10)	$\{\neg \gamma\}\vdash (\neg \alpha \wedge \neg \beta)$	; $\wedge$ -الإدخال(8,9)
(11)	$\vdash (\neg \gamma \rightarrow (\neg \alpha \wedge \neg \beta))$	; TD(10)
(12)	$\vdash (\neg(\neg \alpha \wedge \neg \beta)\rightarrow \gamma )$	; CPI(11)
(13)	$(A \wedge B) := \neg(\neg A \vee \neg B)$	; $\wedge$ – تعريف
(14)	$\neg(A \wedge B) := \neg\neg(\neg A \vee \neg B)$	; نفي الجانبين في (13)
(15)	$\neg(\neg\alpha \wedge \neg\beta) := \neg\neg(\neg\neg\alpha \vee \neg\neg\beta)$	; استبدال $A:=\neg\alpha$ و $B:=\neg\beta$ في (14)
(16)	$\neg(\neg\alpha \wedge \neg\beta) \dashv \vdash (\alpha \vee \beta)$	; DN(15)
(17)	$\vdash ((\alpha \vee \beta) \rightarrow \neg(\neg\alpha \wedge \neg\beta) )$	; TD(16)
(17)	$\vdash ((\alpha \vee \beta) \rightarrow \gamma )$	; SH(17,12)
(18)	$\boxed{ \vdash \gamma}$	; MP(3,17)

الإثبات بالحالات (cas)

إحدى تقنيات المنطق الكلاسيكي هي الإثبات بالحالات. إذا كان يمكن استنتاج تعبير $\beta$ من تعبير آخر $\alpha$ ومن نفيه، فإن التعبير $\beta$ يكون بالضرورة نظرية. يتم تمثيل ذلك بشكل رسمي كما يلي: $\alpha \vdash \beta \; \wedge \; \neg\alpha \vdash \beta$ $\Longrightarrow$ $\vdash \beta$ . ودليلها هو كما يلي:

$\begin{array}{rll} (1) & \alpha \vdash \beta &; افتراض\\ (2) & \neg \alpha \vdash \beta &; افتراض \\ (3) & \vdash \alpha \vee \neg\alpha &; TAU \\ (4) & \vdash \beta &; \vee-إزالة3(1,2,3) \end{array}$

التقليل إلى العبث (absurdo)

أحد أكثر تقنيات المنطق الكلاسيكي استخدامًا في البراهين، خاصة في الرياضيات، هي تقنية التقليل إلى العبث. هذا يعني أنه إذا تم استنتاج تناقض (تعبير ونفيه) من تعبير $\alpha$ ، فإن نفي $\alpha$ يكون بديهية. يتم التعبير عن ذلك بشكل رسمي كما يلي: $\{\alpha\}\vdash \beta \; \wedge \; \{\alpha\}\vdash \neg\beta$ $\Longrightarrow$ $\vdash \neg\alpha$ . ودليلها هو كما يلي:

(1)	$\boxed{\{\alpha\}\vdash \beta}$	; افتراض
(2)	$\boxed{\{\alpha\}\vdash \neg\beta}$	; افتراض
(3)	$\vdash (\alpha \rightarrow \beta)$	; TD(1)
(4)	$\vdash (\alpha \rightarrow \neg\beta)$	; TD(2)
(5)	$\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha)$	; CPI(3)
(6)	$\vdash (\beta \rightarrow \neg \alpha)$	; CPI(4)
(7)	$\{\neg \beta \}\vdash \neg \alpha$	; RTD(5)
(8)	$\{\beta \}\vdash \neg \alpha$	; RTD(6)
(9)	$\boxed{\vdash \neg \alpha}$	; CAS(7,8)