تعلم 4 تقنيات استنتاج أساسية

نشر على بواسطة giorgio.reveco
تعلم 4 تقنيات استنتاج أساسية

تعلم 4 تقنيات استنتاج أساسية

ملخص:
في هذه الحصة يتم وصف 4 تقنيات استنتاج منطق القضايا لإثراء حساب القضايا البدائي الذي تم تقديمه حتى الآن. يتم تقديم قاعدة الافتراض وتوافقها مع قاعدة التدرج، وكذلك القياس الافتراضي وطريقتين للحصول على هذه القاعدة الاستنتاجية. كما يتم شرح مكافئات النفي المزدوج والمقابل العكسي للإدراك.

أهداف التعلم:
في نهاية هذه الحصة سيكون الطالب قادراً على

  1. تذكر هيكل الاستدلال والأمثلة البسيطة.
  2. فهم قاعدة الافتراض وعلاقتها بنظرية الاستنتاج.
  3. فهم قاعدة القياس الافتراضي وعلاقتها بنمط التثبيت.
  4. تطبيق نظرية الاستنتاج في منطق القضايا.
  5. تطبيق قاعدة التدرج في استنتاج التعبيرات.
  6. فهم مكافئات النفي المزدوج والمقابل العكسي للإدراك في منطق القضايا.
  7. معرفة إثباتات تقنيات الاستنتاج والقدرة على تطبيقها في الممارسة.

فهرس المحتويات
قاعدة الافتراض (PRE)
القياس الافتراضي (SH)
مكافئات النفي المزدوج (DN)
مكافئات المقابل العكسي للإدراك (CPI)


لقد رأينا بالفعل هيكل الاستدلال والأمثلة البسيطة. الآن سنختبر هذه المعرفة باستخدام 4 تقنيات استنتاج من منطق القضايا. من خلال هذا لن نرى فقط أن هذه الأشياء تعمل، بل سنبدأ أيضًا في إعطاء بعض الثراء للإجراءات التي ستخرج من الحالة البدائية التي قدمناها حتى الآن.

إذا كانت \alpha، \beta و\gamma تعبيرات من حساب القضايا، فمن الممكن استنتاج التقنيات التالية من الأسس:




قاعدة الافتراض (Pre)

قاعدة الاستنتاج الأبسط من بين جميعها هي قاعدة الافتراض. يتم الحصول عليها مباشرة عند تطبيق عكس نظرية الاستنتاج على النظرية \vdash(\alpha\rightarrow\alpha). إذا بدا لك هذا كأنه لغة غامضة، فكل ما تحتاج إلى معرفته هو هنا.

\{\alpha\}\vdash \alpha

مجتمعة مع قاعدة التدرج، ستتيح لك إضافة تعبيرات ملائمة ضمن استنتاجاتك.




القياس الافتراضي (SH)

القياس الافتراضي، أو الانتقال الضمني، هو نوع من تطور نمط التثبيت. صياغته كما يلي:

\{(\alpha\rightarrow\beta), (\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash (\alpha\rightarrow\gamma)

هناك عدة طرق للحصول على هذه القاعدة الاستنتاجية، سنرى اثنتين منها قريباً.

إذا استدللنا من تعبيرات، سيكون من السهل بناء الاستدلال التالي:

(1)\alpha; مسلمة
(2)(\alpha \rightarrow \beta); مسلمة
(3)(\beta\rightarrow \gamma); مسلمة
(4)\beta; MP(1,2)
(5)\gamma; MP(4,3)

لذا \{\alpha,(\alpha\rightarrow\beta),(\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash\gamma

أخيراً، بتطبيق نظرية الاستنتاج على هذا التعبير الأخير، نحصل على:

\{(\alpha\rightarrow\beta),(\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash(\alpha\rightarrow \gamma)

طريقة أخرى للحصول على إثبات هذه القاعدة هي الاستدلال من خلال الاستنتاجات، بناءً على الافتراض والتدرج. لاحظ الاستدلال التالي من خلال الاستنتاجات:

(1)\{\alpha, (\alpha\rightarrow \beta), (\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash \alpha ; افتراض وتدرج
(2)\{\alpha, (\alpha\rightarrow \beta), (\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash (\alpha\rightarrow \beta) ; افتراض وتدرج
(3)\{\alpha, (\alpha\rightarrow \beta), (\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash (\beta\rightarrow\gamma) ; افتراض وتدرج
(4)\{\alpha, (\alpha\rightarrow \beta), (\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash \beta ; MP(1,2)
(5)\{\alpha, (\alpha\rightarrow \beta), (\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash \gamma ; MP(4,3)
(6)\{(\alpha\rightarrow \beta), (\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash (\alpha \rightarrow \gamma) ; TD(5)

يجب أن تلاحظ هنا أن كلا الاستدلالين متطابقان، فقط تم تطويرهما بأساليب مختلفة. في الممارسة العملية، يمكنك التبديل بين كلا الأسلوبين حسب ما هو أكثر راحة لك.




مكافئات النفي المزدوج (DN)

مكافئات النفي المزدوج تعيد إنتاج الفكرة البديهية بأن النفي المزدوج لادعاء ما يعادل نفس الادعاء. هذا، مكتوب بشكل رمزي، سيكون بالشكل

\alpha\dashv\vdash\neg\neg\alpha

دعونا الآن نرى إثباتاً:

(1) \vdash (\neg\neg \alpha \rightarrow (\neg\neg\neg\neg \alpha \rightarrow\neg\neg\alpha)); A1
(2)\vdash ((\neg\neg\neg\neg\alpha \rightarrow \neg\neg\alpha)\rightarrow(\neg\alpha \rightarrow \neg\neg\neg\alpha)); A3
(3)\vdash ((\neg\alpha \rightarrow \neg\neg\neg\alpha)\rightarrow(\neg\neg\alpha \rightarrow \alpha)); A3
(4)\vdash ((\neg\neg\neg\neg\alpha \rightarrow \neg\neg\alpha)\rightarrow(\neg\neg\alpha \rightarrow \alpha)); SH(2,3)
(5)\{\neg\neg \alpha \} \vdash (\neg\neg\neg\neg \alpha \rightarrow\neg\neg\alpha); RTD(1)
(6)\{\neg\neg \alpha \} \vdash ((\neg\neg\neg\neg\alpha \rightarrow \neg\neg\alpha)\rightarrow(\neg\neg\alpha \rightarrow \alpha)); تدرج(4)
(7)\{\neg\neg \alpha \} \vdash (\neg\neg\alpha \rightarrow \alpha); MP(5,6)
(8)\{\neg\neg \alpha \} \vdash \alpha; RTD(7)

لذا\{\neg\neg \alpha \} \vdash \alpha

لإثبات العكس يمكننا استخدام هذا الذي أثبتناه للتو من خلال إعادة تكييفه عبر استبدال بسيط، للحصول على ما يلي:

\{\neg\neg \neg \alpha \} \vdash \neg \alpha

ومن هنا نبني الإثبات في الاتجاه الآخر:

(1)\{\neg\neg \neg \alpha \} \vdash \neg \alpha ; ما أثبتناه للتو
(2)\vdash(\neg\neg \neg \alpha\rightarrow \neg \alpha) ; TD(1)
(3)\vdash((\neg\neg \neg \alpha\rightarrow \neg \alpha) \rightarrow(\alpha \rightarrow\neg\neg\alpha)) ; A3
(4)\vdash(\alpha \rightarrow\neg\neg\alpha) ; MP(2,3)
(5)\{\alpha\}\vdash\neg\neg\alpha ; RTD(4)

لذا \{\alpha \} \vdash \neg\neg \alpha

أخيراً، من هذين الإثباتين نحصل على \alpha \dashv\vdash \neg\neg \alpha .




مكافئات المقابل العكسي للإدراك (CpI)

هذا يتوافق مع المكافئات التالية

(\alpha \rightarrow \beta) \dashv\vdash (\neg\beta \rightarrow \neg\alpha)

(\neg\alpha\rightarrow\beta)\dashv\vdash (\neg\beta\rightarrow\alpha)

(\alpha\rightarrow\neg\beta) \dashv\vdash (\beta\rightarrow\neg\alpha)

يتم إثبات هذه العلاقة الأولى بالطريقة التالية:

من جانب واحد، يتم الحصول عليها مباشرة من المسلمة الثالثة

(1)\vdash ((\neg\beta\rightarrow \neg\alpha) \rightarrow (\alpha \rightarrow\beta)); A3
(2)\{(\neg\beta\rightarrow \neg\alpha)\}\vdash (\alpha \rightarrow \beta); RTD(1)

لذا \{(\neg\beta\rightarrow \neg\alpha)\}\vdash (\alpha \rightarrow \beta)

وفي الاتجاه الآخر، يمكن الحصول على الإثبات من الاستدلال التالي:

(1)\neg\neg\alpha \dashv \vdash \alpha; DN
(2)\vdash (\neg\neg \alpha \rightarrow \alpha); TD(1)
(3)\neg\neg\beta \dashv \vdash \beta; DN
(4)\vdash (\beta \rightarrow \neg\neg \beta); TD(3)
(5)\{(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg\neg \alpha \rightarrow \alpha); تدرج(2)
(6)\{(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\alpha \rightarrow \beta); Pre
(7)\{(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg\neg \alpha \rightarrow\beta); SH(5,6)
(8) \{(\alpha \rightarrow \beta)\} \vdash (\beta \rightarrow \neg\neg \beta); تدرج(4)
(9)\{(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg\neg \alpha \rightarrow \neg\neg \beta); SH(7,8)
(10)\vdash (\neg\neg \alpha \rightarrow \neg\neg \beta) \rightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha ); A3
(11)\{(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash ((\neg\neg \alpha \rightarrow \neg\neg \beta) \rightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )); تدرج(10)
(11)\{(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha ); SH(10;11)

لذا \{(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )

لذا، من الاستدلالين السابقين نحصل على

(\alpha \rightarrow \beta) \dashv \vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )

لإثبات الثانية يمكننا القيام بالاستدلالين التاليين:

(1)\beta \dashv\vdash \neg\neg\beta; DN
(2)\neg\neg\neg\alpha \dashv \vdash \neg\alpha; DN
(3)\vdash (\beta \rightarrow \neg\neg\beta); TD(1)
(4)\vdash (\neg\neg\neg\alpha \rightarrow \neg\alpha); TD(2)
(5)\{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg\alpha \rightarrow \beta); Pre
(6)\{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\beta \rightarrow \neg\neg\beta); تدرج(3)
(7)\{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg\neg\neg\alpha \rightarrow \neg\alpha); تدرج(4)
(8)\{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg\alpha \rightarrow \neg\neg\beta); SH(5,6)
(9)\{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg\neg\neg\alpha \rightarrow \neg\neg\beta); SH(7,8)
(10)\vdash (\neg\neg\neg\alpha \rightarrow \neg\neg\beta) \rightarrow (\neg\beta \rightarrow \neg\neg\alpha); A3
(11)\{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash ((\neg\neg\neg\alpha \rightarrow \neg\neg\beta) \rightarrow (\neg\beta \rightarrow \neg\neg\alpha)); تدرج(10)
(12)\{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg\beta \rightarrow \neg\neg\alpha); MP(9,11)
(13)\neg\neg \alpha \dashv \vdash \alpha; DN
(14) \vdash (\neg\neg \alpha\rightarrow \alpha); TD(13)
(15)\{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\} \vdash (\neg\neg \alpha\rightarrow \alpha); تدرج(14)
(16)\{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\} \vdash(\neg\beta \rightarrow \alpha); SH(12,15)

لذا \{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\} \vdash(\neg\beta \rightarrow \alpha)

الآن يتبقى إثبات العكس. يمكننا القيام بذلك من خلال الاستدلال التالي:

(1)\alpha \dashv \vdash \neg\neg\alpha; DN
(2)\vdash (\alpha \rightarrow \neg\neg\alpha); TD(1)
(3)\{(\neg\beta\rightarrow\alpha)\}\vdash (\neg\beta\rightarrow\alpha); Pre
(4)\{(\neg\beta\rightarrow\alpha)\}\vdash (\alpha \rightarrow \neg\neg\alpha); تدرج(2)
(5)\{(\neg\beta\rightarrow\alpha)\}\vdash (\neg\beta\rightarrow\neg\neg\alpha); SH(3,4)
(6)\vdash (\neg\beta\rightarrow\neg\neg\alpha)\rightarrow (\neg\alpha \rightarrow \beta) ; A3
(7)\{(\neg\beta\rightarrow\alpha)\}\vdash ((\neg\beta\rightarrow\neg\neg\alpha)\rightarrow (\neg\alpha \rightarrow \beta)) ; تدرج(6)
(8)\{(\neg\beta\rightarrow\alpha)\}\vdash (\neg\alpha \rightarrow \beta) ; MP(5,7)

لذا \{(\neg\beta\rightarrow\alpha)\}\vdash (\neg\alpha \rightarrow \beta)

أخيراً، من هذين الاستدلالين نستنتج أن (\neg\beta\rightarrow\alpha) \dashv \vdash (\neg\alpha \rightarrow \beta) ، وهو ما أردنا إثباته.

المكافئة الأخيرة ستبقى كتمرين. لإثباتها يمكنك الاسترشاد بالاستدلالين اللذين قدمتهما بالفعل. هذه هي أفضل طريقة موجودة لإتقان تقنيات الاستنتاج.

Views: 1

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *