5 تناظرات المنطق الاقتراحي
الملخص:
على مدار هذه الحصة، سنستكشف كيف يتحد النفي المزدوج، القياس الافتراضي، الضد التبادلي للتضمين، النظريات الاستدلالية وتعريفات الروابط لتشكيل تناظرات المنطق الاقتراحي. من خلال تفسيرات واضحة وبسيطة، ستتعلم كيفية إتقان التكافؤات وتطبيقها في تحدياتك المنطقية الخاصة.
تشمل التناظرات التي تم تناولها في الحصة: \downarrow-تناظر، \vee-تناظر، \wedge-تناظر، \leftrightarrow-تناظر و\veebar-تناظر. بالإضافة إلى ذلك، يتم تسليط الضوء على التفاعلات بين التفسيرات وكيفية اعتماد كل منها على سابقه لتبسيط الاستدلالات المستقبلية. لن توفر لك هذه الحصة معرفة عميقة بالمنطق الاقتراحي فحسب، بل ستعلمك أيضًا كيفية استخدام التفسيرات السابقة لتحسين عملية التعلم الخاصة بك.
أهداف التعلم:
بنهاية هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على
- تذكر المفاهيم الأساسية للمنطق الاقتراحي، مثل القياس الافتراضي والنفي المزدوج.
- التعرف على 5 تناظرات المنطق الاقتراحي.
- فهم عملية إثبات تكافؤ التناظرات.
- تطبيق الافتراض، نظرية الاستدلال ومعكوسها في التفسيرات.
- ربط تعريفات الروابط المنطقية بالتناظرات.
- تقدير أهمية إجراء التفسيرات مرة واحدة وإعادة استخدامها في التفسيرات المستقبلية.
- تطوير مهارات تحليلية ونقدية عند إجراء التفسيرات المنطقية.
فهرس المحتويات
\vee – تناظر
\downarrow – تناظر
\wedge – تناظر
\leftrightarrow – تناظر
\veebar – تناظر
الملاحظات النهائية
نتيجة مباشرة للقياس الافتراضي، النفي المزدوج والضد التبادلي للتضمين، النظريات الاستدلالية وتعريفات الروابط هي التناظرات الخمسة للمنطق الاقتراحي التي سنراجعها لاحقًا.
| (\alpha \downarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\downarrow \alpha) | \downarrow-تناظر |
| (\alpha \vee \beta) \dashv\vdash (\beta\vee \alpha) | \vee-تناظر |
| (\alpha \wedge \beta) \dashv\vdash (\beta\wedge \alpha) | \wedge-تناظر |
| (\alpha \leftrightarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\leftrightarrow \alpha) | \leftrightarrow-تناظر |
| (\alpha \veebar \beta) \dashv\vdash (\beta\veebar\alpha) | \veebar-تناظر |
إثباتات هذه التكافؤات ليست كلها بديهية، لكن على عكس بعض التفسيرات التي رأيناها بالفعل، فهي بسيطة جدًا. في ما يلي عرض لإثبات كل منها في اتجاه واحد؛ الإثبات في الاتجاه العكسي هو عمليًا مماثل ويترك كتمرين للقارئ لتنفيذه.
\vee-تناظر
| (1) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\alpha \vee\beta) | ; فرضية |
| (2) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \alpha \rightarrow \beta) | ; لأن (\alpha \vee \beta) := (\neg \alpha \rightarrow \beta) |
| (3) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \alpha) | ; CPI(2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash ( \beta \vee \alpha)} | ; لأن ( \beta \vee \alpha) := (\neg\beta\rightarrow\alpha) |
الاستدلال في الاتجاه العكسي يتم بالحصول على بعض التعديلات القليلة بدءًا من الفرضية \{(\beta\vee\alpha)\}\vdash (\beta\vee\alpha)
\downarrow-تناظر
| (1) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash \neg(\alpha \downarrow \beta) | ; فرضية |
| (2) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\alpha \vee \beta) | ; من (1) لأن (\alpha\vee\beta) := \neg(\alpha \downarrow \beta) |
| (3) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\beta \vee \alpha) | ; \vee-تناظر |
| (4) | \vdash (\neg(\alpha \downarrow \beta) \rightarrow (\beta \vee \alpha)) | ; TD(3) |
| (5) | \vdash (\neg(\beta \vee \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; CPI(4) |
| (6) | \vdash ((\beta \downarrow \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; من (5) لأن (\beta\vee\alpha) := \neg(\beta \downarrow \alpha) |
| (7) | \boxed{\{(\beta \downarrow \alpha) \} \vdash (\alpha \downarrow \beta)} | ; RTD(6) |
أخيرًا، الاستدلال في الاتجاه العكسي يتم بالحصول على الفرضية \{\neg(\beta\downarrow\alpha)\}\vdash \neg(\beta\downarrow\alpha)
\wedge-تناظر
| (1) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\alpha \wedge \beta) | ; فرضية |
| (2) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) | ; من (1) لأن (\alpha \wedge \beta) := (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) |
| (3) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) | ; \downarrow-تناظر (2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash ( \beta \wedge \alpha)} | ; من (3) لأن (\beta \wedge \alpha) := (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) |
مثل السابق، الاستدلال في الاتجاه العكسي يتم بالحصول على الفرضية \{( \beta \wedge \alpha)\}\vdash ( \beta \wedge \alpha)
\leftrightarrow-تناظر
| (1) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; فرضية |
| (2) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) | ; من (1) لأن (\alpha \leftrightarrow \beta) := ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\beta \rightarrow \alpha)) |
| (3) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta) ) | ; \wedge-تناظر(2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha)} | ; من (3) لأن (\beta \leftrightarrow \alpha) := ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) |
مثل السابق، لكن الفرضية تبدأ من \{( \beta \leftrightarrow \alpha)\}\vdash ( \beta\leftrightarrow \alpha)
\veebar-تناظر
| (1) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; فرضية |
| (2) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ( \beta \leftrightarrow \alpha) | ; \leftrightarrow-تناظر(1) |
| (3) | \vdash ((\alpha \leftrightarrow \beta) \rightarrow ( \beta \leftrightarrow \alpha)) | ; TD(2) |
| (4) | \vdash (\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha) \rightarrow \neg (\alpha \leftrightarrow \beta)) | ; CPI(3) |
| (5) | \{\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; RTD(4) |
| (6) | \boxed{\{ ( \beta \veebar \alpha)\} \vdash (\alpha \veebar \beta)} | ; من (5) لأن ( \beta \veebar \alpha) := \neg\beta \leftrightarrow \alpha) و(\alpha \veebar \beta) := \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) |
مثل جميع الحالات الأخرى، يكفي اختبار الفرضية في الاتجاه العكسي \{(\beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha) للحصول على الاستدلال في ذلك الاتجاه.
الملاحظات النهائية
جانب يجب أن ينتبه إليه القارئ هو الترتيب الذي تم اختياره لإثبات هذه التناظرات الخمسة للمنطق الاقتراحي. لاحظ أن كل إثبات تم إعداده بحيث يستخدم بعض الإثباتات السابقة. هذا يعكس النهج الذي يجب اتباعه عند إجراء الإثباتات: يتم إجراء الإثباتات مرة واحدة فقط (ولن تتكرر أبدًا!); بعد ذلك، يجب أن تركز هدفك على استخدام الإثباتات السابقة لتبسيط الاستدلالات المستقبلية.