نظرية بايز والاحتمال المركب

ملخص
في هذه الحصة، تم تناول مفهومان أساسيان في الاحتمال: الاحتمال الشرطي والاحتمال المركب. تم التأكيد على الفرق بين $P(A|B)$ و $P(B|A)$ . تنص نظرية الاحتمال المركب على أن احتمال وقوع الحدث $A$ يمكن التعبير عنه كمجموع الاحتمالات الشرطية $P(A|B_i)$ مضروبة في احتمالات الأحداث $B_i$ . بعد ذلك، تم تقديم نظرية بايز، التي تسمح بحساب الاحتمال الشرطي $P(B_k|A)$ باستخدام الاحتمال الشرطي $P(A|B_k)$ ، الاحتمال $P(B_k)$ ومجموع الاحتمالات الشرطية $P(A|B_i)$ مضروبة في احتمالات الأحداث $B_i$ . هذه المفاهيم أساسية لفهم وتطبيق الاحتمال الشرطي في سياقات متنوعة، وتوفر نظرية بايز أداة قوية لتحديث الاحتمالات بناءً على معلومات جديدة.

أهداف التعلم:
بنهاية هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على:

فهم مفهوم الاحتمال الشرطي والتمييز بين $P(A|B)$ و $P(B|A)$ .
حساب احتمال وقوع حدث باستخدام الاحتمالات المركبة.
إثبات قاعدة بايز.

فهرس المحتويات
الاحتمال المركب والاحتمال الشرطي
نظرية بايز

في الحصة السابقة، قمنا بمراجعة مفهوم الاحتمال الشرطي وأوضحنا أيضًا أنه لا يجب الخلط بين احتمال شرطي من النوع $P(A|B)$ و $P(B|A).$ على الرغم من أن الشرطية قد تكون مربكة في اللغة اليومية، إلا أنها في الرياضيات مفهومان مختلفان تمامًا ولكنهما مرتبطان. تصف هذه العلاقة نظرية بايز، التي تستند إلى مفهوم الاحتمال المركب في صياغتها.

الاحتمال المركب والاحتمال الشرطي

النظرية: إذا كان $A$ حدثًا و $B_1, B_2, \cdots, B_n$ يشكلون مجموعة من الأحداث المنفصلة بحيث $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega,$ فإن:

$\boxed{P(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)}$

هذه الطريقة في كتابة احتمال الحدث $A$ هي ما نسميه الاحتمال المركب لـ $A.$

إثبات:

$(1)$	$A$ هو حدث	; افتراض
$(2)$	$\displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega$	; افتراض
$(3)$	$B_1, \cdots, B_n$ جميعها منفصلة عن بعضها البعض	; افتراض
$(4)$	$(A\cap B_i)\cap(A\cap B_j) = \varnothing,$ حيث $i\neq j$ و $i,j\in \{1,2,3,\cdots n\}$	; من (1,2,3)
$(5)$	$\displaystyle \bigcup_{i=1}^n \left(A \cap B_i \right) = A$	; من (1,2,3)
$(6)$	$\displaystyle P(A) = P\left( \bigcup_{i=1}^n \left(A \cap B_i \right) \right) = \sum_{i=1}^n P\left( A \cap B_i \right)$	; من (4,5)
$(7)$	$P(A\|B_i) = \dfrac{P(A\cap B_i)}{P(B_i)}$	; تعريف الاحتمال الشرطي
	$P(A\cap B_i) = P(A\|B_i) P(B_i)$
$(8)$	$\boxed{\displaystyle P(A) = \sum_{i=1}^n P(A\|B_i) P(B_i)}$	; من (6,7)

نظرية بايز

في نفس سياق النظرية السابقة، لدينا النظرية التالية:

النظرية:

$P(B_k|A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}$

إثبات: إذا كان $A$ حدثًا أيًا كان و $B_1, B_2, \cdots, B_n$ هي مجموعة من الأحداث المنفصلة بحيث $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega,$ وفقًا للنظرية السابقة عن الاحتمال المركب، لدينا:

$P(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)$

الآن، باستخدام حقيقة أن $P(X\cap Y) = P(X|Y)P(Y),$ إذا استبدلنا $Y=A$ و $X=B_k,$ سنصل إلى

$P(A) = \dfrac{P(B_k \cap A)}{P(B_k|A)}$

من ناحية أخرى، لدينا

$P(A|B_k) = \dfrac{P(A\cap B_k)}{P(B_k)}$

من هنا نستنتج أن

$P(B_k \cap A) = P(A|B_k)P(B_k)$

الآن، إذا استبدلنا الجزء الأخضر داخل الجزء الأزرق، سنحصل على

$P(A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(B_k|A)}$

وهذا ما يعادل القول

$\boxed{P(B_k|A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}= \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)} }$

هذا هو ما أردنا إثباته.

نظرية بايز والاحتمال المركب

الاحتمال المركب والاحتمال الشرطي

نظرية بايز

اترك تعليقاً