مقدمة في المعادلات التفاضلية العادية

تقدّم هذه الحصة استكشافًا تفصيليًا للأفكار الأساسية التي تحكم هذه المعادلات وتطبيقاتها في مجالات متعددة. بدءًا من تحليل لطبيعة التغير المستمر في العالم من حولنا، يتم عرض مفاهيم أساسية مثل الدوال والمشتقات وعلاقتها بالتغير المستمر والمتقطع. يتم تقديم التمييز بين المعادلات التفاضلية الجزئية (EDP) والعادية (EDO)، مع التركيز على دراسة المعادلات التفاضلية العادية. يتم توضيح المفاهيم من خلال أمثلة عملية مثل تبريد فنجان من القهوة، قوانين نيوتن ونماذج السكان. ستُتاح للطلاب الفرصة للتعرف على المعادلات التفاضلية التي تحكم الظواهر الطبيعية والفيزيائية، واكتشاف كيفية تمثيلها رياضيًا وفهم بعض التقنيات لدراسة حلولها. ستشكّل هذه المعرفة الأولية أساسًا لدراسات أكثر تقدمًا في المعادلات التفاضلية وتطبيقاتها في العلوم والهندسة.

أهداف التعلم:
عند الانتهاء من هذه الحصة سيكون الطالب قادرًا على:

فهم المفاهيم الأساسية المتعلقة بالمعادلات التفاضلية، مثل طبيعة التغير، الدوال، المشتقات والفروق بين المعادلات التفاضلية الجزئية (EDP) والعادية (EDO)

الفهرس
المعادلات التفاضلية وطبيعة الأشياء
التغير المستمر
الدوال، المشتقات وتغيراتها
المعادلات العادية والجزئية
أمثلة على المعادلات التفاضلية العادية
تبريد فنجان من القهوة
قوانين نيوتن
نموذج السكان

المعادلات التفاضلية وطبيعة الأشياء

التغير المستمر

في الطبيعة، كل شيء في تغير مستمر. حتى الأشياء التي تبدو وكأنها لا تتغير أبدًا، مثل لمعان الشمس، فإنها تتغير إذا ما تمت ملاحظتها على المقياس الزمني المناسب. كل شيء يتغير: لمعان النجوم، درجة حرارة القهوة في الفنجان، موقع الجسم، وحجم السكان هي بعض الأمثلة، وغالبًا ما تكون معدلات هذا التغير مرتبطة بحالة ما يتغير أثناء حدوث هذا التغير.

طريقة بديهية لفهم التغير هي مراقبة كيفية تغير الأشياء مع مرور الزمن. التغير الذي يحدث مع الزمن هو ما نطلق عليه اسم “التطور”، وكل ما يمكننا ملاحظته هو في تطور دائم. ولكن التطور ليس الشكل الوحيد للتغير؛ فعلى سبيل المثال، رغم أن ارتفاعنا عن مستوى سطح البحر قد يتغير مع مرور الوقت، فمن المرجح أكثر أن يتغير وفقًا لموقعنا (أو إحداثياتنا الجغرافية).

الدوال، المشتقات وتغيراتها

بمصطلحات أكثر عمومية، يمكن أن تتغير دالة لعدة متغيرات $f(x_1,x_2, \cdots, x_n)$ إذا تغير أحد متغيراتها، ويمكن أن يكون هذا التغير مستمرًا أو متقطعًا. بالنسبة لدالة متعددة المتغيرات، يمكن دراسة التغير المستمر من خلال المشتقات الجزئية:

$\displaystyle \frac{\partial f(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} = \lim_{\Delta x_1 \to 0} \frac{ f(x_1 + \Delta x_1, \cdots, x_n) - f(x_1, \cdots, x_n)}{\Delta x_1}$

إذا كانت الدالة ذات متغير واحد فقط، نستخدم المشتقة العادية:

$\displaystyle \frac{df(x)}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

إذا كان التغير متقطعًا بدلاً من أن يكون مستمرًا، يتم ببساطة تجاهل حساب النهاية الموجودة في المشتقات.

المعادلات العادية والجزئية

المعادلة التي تتضمن دالة ومشتقاتها المختلفة تُعرف باسم معادلة تفاضلية. إذا كانت هذه المشتقات جزئية أو عادية، تُسمى على التوالي معادلات تفاضلية جزئية (EDP) أو معادلات تفاضلية عادية (EDO). في هذا الوقت، سنركّز على دراسة المعادلات التفاضلية العادية وسنستعرض بعض الأمثلة التي تظهر فيها.

أمثلة على المعادلات التفاضلية العادية

تبريد فنجان من القهوة

معدل تبريد فنجان من القهوة يتناسب طرديًا مع الفرق في درجة الحرارة بين البيئة المحيطة والقهوة. إذا كانت درجة حرارة الهواء $T_a$ ثابتة، ودرجة حرارة القهوة هي دالة في الزمن $T_c=T_c(t),$ يمكننا إيجاد معادلة تفاضلية تتيح لنا تحديد درجة حرارة القهوة في كل لحظة. في البداية، لدينا:

$\displaystyle \frac{dT_c(t)}{dt} = -\alpha^2(T_c(t) - T_a)$

حيث $\alpha$ هو ثابت التناسب، $T_a \lt T_c(t)$ والإشارة السالبة تدل على أن درجة حرارة القهوة آخذة في الانخفاض. لاحقًا، سنرى أن لهذه المعادلة حلاً من الشكل:

$T_c(t) = T_a + Be^{-\alpha^2 t}$

حيث $B$ هو ثابت يجب تحديده.

قوانين نيوتن

القانون الثاني لنيوتن هو في جوهره معادلة تفاضلية عادية، حيث أن في التعبير $F=ma$ (القوة تساوي الكتلة في التسارع)، يكون التسارع $a=d^2x(t)/dt^2,$ هو المشتقة الثانية الزمنية لموضع الجسم. من خلال هذا القانون، يمكننا إيجاد علاقات تصف حركة الأجسام، وهي في الحقيقة معادلات تفاضلية. مثال بسيط هو دراسة النوابض: إذا كان لدينا نابض موصول بجدار ثابت من جهة وكتلة من الجهة الأخرى في وضع التوازن، ثم قمنا بإزاحة الكتلة مسافة $x$ عن هذا الوضع، فإن الكتلة ستشعر بقوة استرجاعية حسب قانون هوك $F=-kx$ . بعد ذلك، ووفقًا للقانون الثاني لنيوتن، سيكون لدينا:

$\displaystyle -kx(t) = m\frac{d^2x(t)}{dt^2}$

لاحقًا سنتحقق أن حل هذه المعادلة يكون على الشكل:

$\displaystyle x(t) = A\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t + \phi \right)$

حيث $A$ و $\phi$ هما ثابتان يتم تحديدهما بواسطة الظروف الابتدائية للمسألة.

نموذج السكان

معدل النمو لكل فرد في السكان يساوي الفرق بين معدلات الولادات والوفيات، أي:

$\displaystyle \frac{1}{x(t)} \frac{dx(t)}{dt} = N - M$

إذا بقي معدل الولادات $N$ ثابتًا مع مرور الوقت وكانت الوفيات تتناسب طرديًا مع عدد السكان، أي $M=\alpha^2 x(t),$ فإن المعادلة السابقة تصبح على الشكل:

$\displaystyle \frac{dx(t)}{dt} = x(t) (N - \alpha^2 x(t))$

وهذا ما يُعرف باسم “معادلة النمو اللوجستي للسكان”. انطلاقًا من هذه المعادلة، يمكن بناء تعميم لعدة مجموعات سكانية $x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t)$ تتنافس فيما بينها على الوجود، على الشكل التالي:

$\displaystyle \frac{dx_i(t)}{dt} = x_i(t) \left(N_i - \displaystyle \sum_{j=1}^n\alpha^2_{ij} x_j(t) \right)$

مع $i\in\{1,\cdots, n\}$ . وهذا ما يُعرف باسم معادلات لوتكا-فولتيرا.

الخاتمة

على مدار هذه المقدمة في المعادلات التفاضلية العادية، استكشفنا كيف يمكن للرياضيات أن تصف بدقة وأناقة التغيرات التي تحدث في العالم الطبيعي. من تبريد فنجان من القهوة إلى حركة نابض أو نمو مجموعة سكانية، تتيح لنا المعادلات التفاضلية العادية ترجمة الديناميكيات المعقدة إلى علاقات رياضية قابلة للفهم والتحليل.

إن فهم بنية هذه المعادلات ومعناها يفتح الباب أمام العديد من التخصصات مثل الفيزياء، الأحياء، الاقتصاد والهندسة. توفر هذه الحصة الأساس المفاهيمي الضروري للانطلاق في دراسات أكثر تقدمًا، حيث سيتم التعمق في تقنيات الحل، التحليل النوعي، والأساليب العددية. ولكن الأهم من ذلك هو تطوير حدس أولي حول كيف يتيح لنا “لغة التغير” — أي المعادلات التفاضلية — وصف وفهم وتوقع سلوك الأنظمة الديناميكية.

في الحصص القادمة، سنواصل تطوير أدوات أكثر قوة وتطبيقها في سياقات جديدة. المعادلات التفاضلية لا تقدم لنا فقط وسيلة لتحليل الواقع، بل أيضًا لتخيل كيف يمكن أن يتطور تحت ظروف مختلفة.