مبرهنة فايرشتراس للقيم القصوى
لماذا يُفترض في العديد من مسائل الأمثلة أن «القيمة العظمى موجودة» أو أن «هناك دائمًا قيمة صغرى» على فترة ما، في حين أنّه لا يوجد ما يفرض حدوث ذلك بالضرورة؟ تُعد مبرهنة فايرشتراس القطعة المفقودة في هذا اللغز، إذ تضمن أنّ الدالة المتصلة المعرفة على فترة مغلقة ومحدودة ليست محصورة فحسب، بل تبلغ فعليًا قيمها القصوى. في هذه التدوينة نستعرض نص المبرهنة، ونبني بتفصيل برهانًا rigorًا يعتمد على الاستمرارية الموضعية، والاتضّام، ومسلمة supremum، كما نعلّق على تفسيرها الحديث في سياق الدوال المتصلة على المجموعات المدمجة. الفكرة هي أنّك عند الانتهاء لن تتذكر المبرهنة كجملة فقط، بل ستفهم لماذا هي صحيحة ولماذا تظهر مرارًا في التحليل، وفي الأمثلة، وفي النماذج التطبيقية.
أهداف التعلم
- فهم نص مبرهنة فايرشتراس.
تحديد فرضيات المبرهنة بدقة (دالة متصلة على فترة مغلقة ومحدودة [a,b]) واستنتاجاتها الرئيسة: الانحصار ووجود القيم العظمى والصغرى. - تفسير مبرهنة فايرشتراس من منظور الاتضّام.
صياغة النتيجة بلغة حديثة: الدوال المتصلة ترسل المجموعات المدمجة إلى مجموعات تُبلَغ فيها القيم القصوى، بما يربط حالة [a,b] بالإطار العام للتحليل الحقيقي. - ربط مبرهنة فايرشتراس بمسائل الأمثلة.
التعرف إلى دور المبرهنة كأساس نظري لوجود القيم العظمى والصغرى في العديد من مسائل الأمثلة في متغير واحد، سواء في السياقات النظرية أو التطبيقية.
فهرس المحتويات:
المقدمة
نص مبرهنة فايرشتراس
البرهان
الخطوة 1: الاستمرارية الموضعية على [a,b]
الخطوة 2: الغطاء المفتوح المرتبط بالاستمرارية
الخطوة 3: اتضّام [a,b] ووجود غطاء فرعي منتهٍ
الخطوة 4: بناء \delta لا يعتمد على x_0 (الاستمرارية المنتظمة)
الخطوة 5: من الاستمرارية المنتظمة إلى انحصار f على [a,b]
الخطوة 6: وجود القيم العظمى والصغرى
تفسير من منظور الاتضّام وخاتمة
المقدمة
تُعد مبرهنة فايرشتراس للقيم القصوى واحدة من النتائج التي، على الرغم من ظهورها عادةً في الوحدات الأولى من التحليل الحقيقي، فإنها تدعم بصمت جزءًا كبيرًا من الرياضيات التطبيقية. ففي كل مرة نتحدث فيها في الفيزياء أو الاقتصاد أو الإحصاء عن «تعظيم» أو «تصغير» كمية ما خاضعة لقيود معينة، نكون في الحقيقة نستعمل فكرة قريبة جدًا من المضمون الذي تضمنه هذه المبرهنة: وهي أنّ الدالة المتصلة المعرفة على فترة مغلقة ومحدودة ليست محصورة فحسب، بل تبلغ فعليًا قيمها القصوى.
قد يبدو من الناحية الحدسية «بديهيًا» أنه إذا رسمنا منحنى متصلًا على قطعة [a,b]، فإنه يجب أن يوجد نقطة أعلى وأخرى أدنى. ومع ذلك، يكفي إجراء تغييرات طفيفة في الفرضيات حتى ينهار هذا الحدس انهيارًا كاملًا: فإذا فتحنا الفترة، أو فقدت الدالة الاستمرارية، أو لم يكن المجال محدودًا، يمكن للقيم العظمى والصغرى أن تختفي ببساطة. تقوم مبرهنة فايرشتراس بترتيب هذا الحدس وتخبرنا بدقة متى يمكن الاعتماد عليه ولماذا.
من منظور نظري، تُعد هذه المبرهنة أول مواجهة جدية مع فكرة الاتضّام: فبلغة حديثة، ما تقوله هو أن الدالة المتصلة تحول المجموعات المدمجة إلى مجموعات مدمجة. ومن منظور عملي، يترجم ذلك إلى وجود حلول للعديد من مسائل الأمثلة في بعد واحد، كما ستكون عنصرًا أساسيًا في نتائج لاحقة مثل مبرهنة القيمة المتوسطة، وفي نهاية المطاف لفهم متمهل لـ «المبرهنة الأساسية في الحساب».
في هذا القسم سنعرض نص مبرهنة فايرشتراس وسنطوّر برهانها بتفصيل، مستندين إلى مفهوم الاستمرارية على [a,b] وإلى مسلمة supremum. الهدف هو أن يكون هذا النص مرجعًا راسخًا: سواء لدراسة النتيجة بحد ذاتها، أو للعودة إليها كلما احتجت لاستخدامها عند برهنة مبرهنات أخرى أو عند تبرير وجود القيم العظمى والصغرى في مسائل محددة.
نص مبرهنة فايرشتراس
كل دالة f معرفة ومتصلة على [a,b], هي دالة محصورة ولها قيمتا صغرى وعظمى، m وM، بحيث إذا كانت x\in[a,b]، فإن f(x)\in[m,M]. |
البرهان
لنبرهن أنه إذا كانت f:[a,b]\to\mathbb{R} دالة متصلة على الفترة المغلقة والمحدودة [a,b]، فإن f دالة محصورة وتبلغ قيمة عظمى وقيمة صغرى على [a,b]. سنقسم البرهان إلى جزأين كبيرين:
- أولًا، سنبيّن أن استمرارية f على [a,b] تستلزم أن تكون مستمرة بانتظام، ومن ذلك سنستنتج أنها محصورة.
- ثم، وباستخدام مسلمة supremum، سنبرهن أن f تبلغ قيمها العظمى والصغرى على الفترة.
الخطوة 1: الاستمرارية الموضعية على [a,b]
وفقًا للفرض، فإن f متصلة عند كل نقطة x_0\in[a,b]. وتعني الاستمرارية بحسب تعريف \epsilon و\delta ما يلي:
\displaystyle (\forall x_0\in[a,b])(\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta(x_0)\gt 0) \big(|x-x_0|\lt\delta(x_0)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon\big).
في هذه المرحلة، قد يعتمد العدد \delta(x_0) على النقطة x_0. هدفنا المباشر هو أن نبني، انطلاقًا من هذه المقادير \delta(x_0)، عددًا واحدًا \delta لا يعتمد على x_0 ويصلح لجميع نقاط الفترة في آن واحد.
الخطوة 2: الغطاء المفتوح المرتبط بالاستمرارية
لنثبت \epsilon\gt 0 كيفما كان. ولكل x_0\in[a,b]، تسمح لنا استمرارية f باختيار عدد \delta(x_0)\gt 0 بحيث
\displaystyle |x-x_0|\lt\delta(x_0)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\frac{\epsilon}{2}.
انطلاقًا من هذه القيم نعرّف، لكل x_0\in[a,b]، فترة مفتوحة
\displaystyle I_{x_0}=\left(x_0-\frac{\delta(x_0)}{2},\,x_0+\frac{\delta(x_0)}{2}\right).
كل I_{x_0} هو مجموعة مفتوحة في \mathbb{R}، كما أن العائلة
\displaystyle \{I_{x_0}\}_{x_0\in[a,b]}
تشكل غطاءً مفتوحًا للفترة [a,b]. فبمجرد اختيار أي نقطة y\in[a,b]، يكفي أخذ x_0=y؛ وبمقتضى البناء، يكون y\in I_y. وهكذا، فإن كل نقطة من الفترة تنتمي إلى واحد على الأقل من المجموعات المفتوحة I_{x_0}.
هذه العائلة من المجموعات المفتوحة هي، في العموم، لانهائية (لكون هناك مجموعة لكل x_0\in[a,b]). وهنا يظهر دور اتضّام [a,b].
الخطوة 3: اتضّام [a,b] ووجود غطاء فرعي منتهٍ
نعلم من مبرهنة هاينه–بوريل أن أي مجموعة جزئية من \mathbb{R} تكون مدمجة إذا وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة. وبما أن الفترة [a,b] مغلقة ومحدودة، فهي إذن مدمجة. وبحسب تعريف الاتضّام، يعني ذلك:
إنه من كل غطاء مفتوح للفترة [a,b] (حتى وإن كان يضم عددًا غير منتهٍ من المجموعات) يمكن استخراج غطاء فرعي منتهٍ.
وعند تطبيق هذه الخاصية على الغطاء المفتوح \{I_{x_0}\}_{x_0\in[a,b]}، نحصل على وجود نقاط x_1,\dots,x_N\in[a,b] بحيث الفترات المقابلة
\displaystyle I_{x_1},\, I_{x_2},\,\dots,\,I_{x_N}
لا تزال تغطي كامل الفترة:
\displaystyle [a,b]\subset I_{x_1}\cup I_{x_2}\cup\cdots\cup I_{x_N}.
وبذلك نكون قد انتقلنا من عائلة لانهائية من الفترات المفتوحة إلى غطاء فرعي يتكون من عدد منتهٍ من الفترات، من دون أن نفقد خاصية تغطية الفترة [a,b].
الخطوة 4: بناء \delta لا يعتمد على x_0 (الاستمرارية المنتظمة)
انطلاقًا من الغطاء الفرعي المنتهي نعرّف العدد
\displaystyle \delta=\min\left\{\frac{\delta(x_1)}{2},\frac{\delta(x_2)}{2},\dots,\frac{\delta(x_N)}{2}\right\}.
وبما أن هذا الحدّ الأدنى مأخوذ من مجموعة منتهية من الأعداد الموجبة، فإنه يتحقق أن \delta\gt 0. وسنرى أن هذا العدد \delta يصلح لـكل نقطة x_0\in[a,b]، أي إنه لا يعتمد على اختيار x_0.
لنأخذ الآن:
- نقطة كيفما كانت x_0\in[a,b]،
- ونقطة x\in[a,b] تحقق |x-x_0|\lt\delta.
وبما أن الفترات I_{x_1},\dots,I_{x_N} تغطي الفترة [a,b]، فإن النقطة x_0 تنتمي إلى واحدة منها على الأقل، لنقل I_{x_j} من أجل بعض j\in\{1,\dots,N\}. وبحسب تعريف I_{x_j}، يعني ذلك أن
\displaystyle |x_0-x_j|\lt\frac{\delta(x_j)}{2}.
وبالإضافة إلى ذلك، وبحسب تعريف \delta لدينا \delta\le\frac{\delta(x_j)}{2}، ومن ثمّ فإن من |x-x_0|\lt\delta نستنتج
\displaystyle |x-x_0|\lt\frac{\delta(x_j)}{2}.
وباستخدام عدم المساواة المثلثية، نحصل على
\displaystyle |x-x_j|\le |x-x_0|+|x_0-x_j| \lt \frac{\delta(x_j)}{2}+\frac{\delta(x_j)}{2} =\delta(x_j).
وبسبب اختيار \delta(x_j) (استمرارية f عند x_j للقيمة \epsilon/2)، فإن المتباينتين |x_0-x_j|\lt\delta(x_j) و|x-x_j|\lt\delta(x_j) تضمنان
\displaystyle |f(x_0)-f(x_j)|\lt\frac{\epsilon}{2} \quad\text{و}\quad |f(x)-f(x_j)|\lt\frac{\epsilon}{2}.
وباستخدام عدم المساواة المثلثية مرة أخرى، نحصل على
\displaystyle |f(x)-f(x_0)| \le |f(x)-f(x_j)| + |f(x_j)-f(x_0)| \lt \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} =\epsilon.
وبما أن x_0 وx كانا اختياريين، نكون قد برهنا أنه من أجل \epsilon المثبت في البداية يوجد \delta\gt 0 مستقل عن x_0 بحيث
\displaystyle (\forall x_0\in[a,b])(\forall x\in[a,b]) \big(|x-x_0|\lt\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon\big).
وإذا أعدنا تسمية x_0 بـy، يمكن كتابة ذلك على النحو التالي:
\displaystyle (\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta\gt 0)(\forall x,y\in[a,b]) \big(|x-y|\lt\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt\epsilon\big),
وهذا هو بالضبط تعريف الاستمرارية المنتظمة للدالة f على [a,b]. وفيما يلي، سنحتاج فقط إلى تطبيق هذه النتيجة في حالة \epsilon=1.
الخطوة 5: من الاستمرارية المنتظمة إلى انحصار f على [a,b]
لنطبّق الآن الاستمرارية المنتظمة مع \epsilon=1. يوجد عدد \delta_1\gt 0 بحيث لكل x,y\in[a,b] يتحقق
\displaystyle |x-y|\lt\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt 1.
نقسّم الآن الفترة [a,b] إلى عدد منتهٍ من الفترات الجزئية التي طول كل منها أصغر من \delta_1. أي نختار عددًا صحيحًا n ونقاطًا
\displaystyle a = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n = b
بحيث لكل k=0,1,\dots,n-1 يكون
\displaystyle x_{k+1}-x_k\lt\delta_1.
ننظر الآن في المجموعة المنتهية من القيم
\displaystyle \{f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_{n-1})\}.
وبما أنها مجموعة منتهية من أعداد حقيقية، يمكننا تعريف
\displaystyle C = \max\{|f(x_k)| \;|\; k=0,1,\dots,n-1\}.
سنبرهن أن C+1 هو حد علوي بالقيمة المطلقة للدالة f على كامل الفترة [a,b]. فليكن x\in[a,b] نقطة كيفما كانت. عندئذ يوجد مؤشر k بحيث x\in[x_k,x_{k+1}]. وعلى وجه الخصوص، يتحقق
\displaystyle |x-x_k|\le x_{k+1}-x_k\lt\delta_1.
وبحسب الاستمرارية المنتظمة مع \epsilon=1، فإن من |x-x_k|\lt\delta_1 نستنتج أن
\displaystyle |f(x)-f(x_k)|\lt 1.
وباستخدام عدم المساواة المثلثية:
\displaystyle |f(x)|\le |f(x)-f(x_k)| + |f(x_k)| \lt 1 + |f(x_k)| \le 1 + C.
وبما أن x\in[a,b] كان اختياريًا، نستنتج أن
\displaystyle |f(x)|\le C+1 \quad \text{لكل } x\in[a,b],
أي إن الدالة f محصورة على الفترة [a,b].
الخطوة 6: وجود القيم العظمى والصغرى
نعرّف مجموعة القيم التي تأخذها الدالة على الفترة:
\displaystyle H=\{f(x)\;|\;x\in[a,b]\}\subset\mathbb{R}.
نعلم الآن أن H غير خالية (لأن [a,b] ليست كذلك) ومحصورة، وبالتالي فبحسب مسلمة supremum يوجد عددان حقيقيان
\displaystyle M=\sup H,\qquad m=\inf H.
لنبرهن أن M يتحقق كقيمة للدالة، أي إنه يوجد x_1\in[a,b] بحيث f(x_1)=M. وسنسير وفق برهان بالخلف.
لنفترض أن f(x) لا يبلغ القيمة M أبدًا، أي:
\displaystyle (\forall x\in[a,b])\big(f(x)\lt M\big).
تحت هذا الافتراض، تكون الدالة
\displaystyle g(x)=\frac{1}{M-f(x)}
مُعرّفة جيدًا وموجبة لكل x\in[a,b]، إذ إن M-f(x)\gt 0 وفق الفرض. وبما أن f متصلة وM ثابت، فإن g أيضًا متصلة. وبحسب الجزء الأول من البرهان، كل دالة متصلة على [a,b] محصورة، وبالتالي يوجد عدد N\gt 0 بحيث
\displaystyle (\forall x\in[a,b])\big(g(x)\le N\big).
وعلى وجه الخصوص، لكل x\in[a,b] يتحقق
\displaystyle \frac{1}{M-f(x)} = g(x)\le N,
وهو ما يعادل
\displaystyle M-f(x)\ge \frac{1}{N} \quad\Rightarrow\quad f(x)\le M-\frac{1}{N}.
ويعني ذلك أن كل قيم f(x) على [a,b] هي أصغر أو تساوي M-\frac{1}{N}. وعلى وجه الخصوص، فإن supremum المجموعة H يحقق
\displaystyle \sup H\le M-\frac{1}{N}\lt M,
وهو ما يناقض تعريف M بوصفه supremum لـH. وبالتالي، كان افتراضنا الأول خاطئًا، ويجب أن توجد نقطة x_1\in[a,b] تحقق
\displaystyle f(x_1)=M.
ويمكن بواسطة حجة مماثلة تمامًا، عند تطبيقها على الإinfimum m=\inf H (مثلًا عبر النظر في الدالة h(x)=-f(x))، أن نبرهن على وجود نقطة x_2\in[a,b] بحيث
\displaystyle f(x_2)=m.
تفسير من منظور الاتضّام وخاتمة
لقد برهنا أن كل دالة متصلة f:[a,b]\to\mathbb{R} هي دالة محصورة وتبلغ قيمها العظمى والصغرى على الفترة [a,b]. وفي لغة التحليل الحديثة، يُفهم هذا بأن الفترات المغلقة والمحدودة مثل [a,b] هي مجموعات مدمجة، وأن الدوال المتصلة ترسل المجموعات المدمجة إلى مجموعات مدمجة.
وعلى وجه الخصوص، إذا كان I مدمجًا وكانت f دالة متصلة على I، فإن الصورة f(I) تكون مجموعة مدمجة ضمن \mathbb{R}. وهذا يضمن أن f(I) مجموعة محصورة، وأن قيمة عظمى وقيمة صغرى تتحققان فيها فعليًا، وهو بالضبط مضمون مبرهنة فايرشتراس.