القيَم العظمى والصغرى لدالة

أين تقع النقطة «الأفضل» لدالة: القيمة العظمى التي تسعى إلى بلوغها أم القيمة الصغرى التي تحتاج إلى تجنبها؟ هذا السؤال، الذي يظهر في التحسين والفيزياء والاقتصاد والهندسة، يُعد أحد أهم تطبيقات حساب التفاضل. وهنا تكمن القوة: إن مبرهنة فايرشتراس تضمن لك أنه إذا كانت $f$ متصلة وتعمل على فترة مغلقة ومحدودة، فإن القيم القصوى المطلقة موجودة. ومن هنا يصبح العمل عمليًا: تعلّم كيفية كشف القيم القصوى المحلية باستخدام النقاط الحرجة ( $f'(x)=0$ أو غير موجودة) والاستفادة من أدوات مثل مبرهنتي رول والقيمة المتوسطة لتحويل بحث «أعمى» إلى منهج واضح، قابل للتحقق وفعّال.

أهداف التعلّم:

تنفيذ إجراء كامل لإيجاد القيم القصوى المطلقة على $[a,b]$ : تقييم $f$ عند النقاط الحرجة الداخلية وعند طرفي الفترة، ثم مقارنة القيم لتحديد القيمتين العظمى والصغرى المطلقتين.
مقارنة قيمة شرطٍ لازم مقابل شرطٍ كافٍ: إدراك أن « $f'(x_0)=0$ » لا يضمن وجود قيمة قصوى محلية، وتحديد الأدلة الإضافية المناسبة (مقارنة القيم، تحليل الإشارات، السلوك المحلي) في كل حالة.
تحديد الإستراتيجية الأكثر كفاءة وفق نوع المسألة: القيم القصوى المطلقة على فترات مدمجة (فايرشتراس + تقييم منتهٍ) مقابل القيم القصوى المحلية عند نقاط داخلية (نقاط حرجة + تحليل محلي)، مع تبرير الاختيار.

فهرس المحتويات:
القيم العظمى والصغرى، القيم القصوى المطلقة والمحلية
معيار المشتقة الأولى
مبرهنة رول
مبرهنة القيمة المتوسطة التفاضلية
فترات التزايد والتناقص

إن مبرهنة فايرشتراس تضمن لنا أنه إذا كانت دالة حقيقية معرّفة ومتّصلة على مجموعة مغلقة ومحدودة من $\mathbb{R}$ ، فإنها تبلغ بالضرورة قيمتين عظمى وصغرى (قيمًا قصوى مطلقة). إن البحث عن القيم العظمى والصغرى لدالة هو ما يُعرف بـ مسألة تحسين، وتكفل مبرهنة فايرشتراس وجود حلول بمعنى القيم القصوى المطلقة، ما دامت الدالة متصلة وكان المجال مدمجًا. وبعد ضمان الوجود، لا يبقى إلا تطوير إستراتيجيات تتيح إيجاد تلك الحلول.

القيم العظمى والصغرى، القيم القصوى المطلقة والمحلية

قبل البدء في استعراض الاستراتيجيات الخاصة بالبحث عن القيم العظمى والصغرى، دعونا نحدد بوضوح ما الذي نريد البحث عنه.

تعريف:
لتكن $f$ دالة مجالها $D$ . نقول إن $f$ تحقق قيمة عظمى مطلقة عند نقطة $x_0\in D$ إذا:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

وتحقق قيمة صغرى مطلقة عند $x_0$ إذا:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

وبصورة مماثلة تُعرَّف القيم القصوى المحلية (بالنسبة إلى المجال).

تعريف:
لتكن $f$ دالة مجالها $D$ ، ولتكن $x_0\in D$ . نقول إن $f$ تحقق قيمة عظمى محلية عند $x_0$ إذا:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

وتحقق قيمة صغرى محلية عند $x_0$ إذا:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

انطلاقًا من ذلك يمكننا صياغة النتيجة التالية:

نظرية:

لتكن $x_0$ نقطة داخلية في فترة مدمجة $I$ . إذا كانت $f$ تحقق قيمة عظمى أو صغرى محلية عند $x_0$ وكانت $f^\prime(x_0)$ موجودة، فإن $f^\prime(x_0)=0$ .

برهان:
لنفترض أن $f$ تحقق قيمة عظمى محلية عند $x_0$ . عندئذ يوجد $h_0 \gt 0$ بحيث، لكل $h$ يحقق $|h|\lt h_0$ ومع $x_0+h\in I$ ، يتحقق:

$f(x_0 + h)\leq f(x_0)$

وهو ما يكافئ:

$f(x_0 + h) - f(x_0)\leq 0$

لننظر الآن في حالتين:

إذا كان $h>0$ ، فإن:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\leq 0$
وإذا كان $h\lt 0$ ، فإن:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\geq 0$

إذا كانت $f^\prime(x_0)$ موجودة، فإن نهاية خارج القسمة عندما $h\to 0$ تكون موجودة ويجب أن تكون متوافقة مع كلتا المتباينتين، مما يفرض أن:

$\displaystyle f^\prime(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0$

وهو ما كان مطلوبًا إثباته.

ينبغي ملاحظة أن هذا البرهان صالح أيضًا للقيم الصغرى المحلية. في هذه الحالة نبدأ بـ: $f(x_0+h)\ge f(x_0)$ من أجل $|h|$ صغير بما فيه الكفاية.

معيار المشتقة الأولى

النتيجة التي استعرضناها للتو يمكن تلخيصها في الدلالة التالية:

$\left\{\begin{matrix}f \text{ تبلغ}\\ \text{قيمة قصوى محلية عند }x_0 \end{matrix}\right\} \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle f^\prime(x_0) = 0 \\ \\ \vee \\ \\ \text{المشتقة غير موجودة عند }x_0 \end{matrix}\right\}$

ومع أن العكس لهذه الدلالة غير صحيح بوجه عام، فإنه مفيد جدًا عند تضييق نطاق البحث عن القيم القصوى المحلية. وبناءً على ذلك تُعرَّف النقاط الحرجة للمشتقة الأولى.

تعريف:
يقال إن $x_0$ هو نقطة حرجة للمشتقة الأولى إذا كان $f^\prime(x_0)=0$ أو إذا كانت $f^\prime(x_0)$ غير موجودة.

تُعد النقاط الحرجة للمشتقة الأولى مهمة لأن كل نقطة تبلغ عندها الدالة قيمة قصوى (محلية أو مطلقة) يجب أن تنتمي إلى مجموعة النقاط الحرجة:

$\left\{\begin{matrix}\text{نقاط تبلغ}\\ \text{قيمًا قصوى مطلقة}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{نقاط تبلغ}\\ \text{قيمًا قصوى محلية}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{النقاط الحرجة}\\ \text{للمشتقة الأولى}\end{matrix}\right\}$

هذا هو ما نسمّيه معيار المشتقة الأولى، بوصفه شرطًا لازمًا لوجود القيم القصوى المحلية عند النقاط الداخلية.

مبرهنة رول

لقد رأينا بالفعل أن تحديد النقاط الحرجة للمشتقة الأولى يُعد أمرًا أساسيًا في البحث عن القيم القصوى المحلية. وبناءً على ذلك، يصبح من الطبيعي دراسة الشروط التي يمكن في ظلها ضمان وجود مثل هذه النقاط الحرجة. ويأتي أحد أوجه التقدم في هذا الاتجاه من خلال مبرهنة رول.

نظرية:
لتكن $f$ دالة معرّفة ومتّصلة على $[a,b]$ ، وقابلة للاشتقاق على $]a,b[$ . إذا كان $f(a)=f(b)$ ، فإنه يوجد $c\in]a,b[$ بحيث $f^\prime(c)=0$ .

برهان:
سنحلّل احتمالين:

إذا تحقق لكل $x\in]a,b[$ أن $f(x)=f(a)=f(b)$ ، فإن $f$ تكون دالة ثابتة، وبالتالي $f^\prime(x)=0$ لكل $x\in]a,b[$ . وعلى وجه الخصوص، يوجد $c\in]a,b[$ بحيث $f^\prime(c)=0$ .
إذا وُجد $x\in]a,b[$ بحيث $f(x)\neq f(a)=f(b)$ ، فإن $f$ ليست دالة ثابتة. وبما أن $f$ متصلة على $[a,b]$ ، فإنها، وفقًا لمبرهنة فايرشتراس، تبلغ قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة على $[a,b]$ .
بالإضافة إلى ذلك، وبما أن $f(a)=f(b)$ و $f$ ليست ثابتة، فلا بد أن يقع أحد هذين القيمتين القصويتين على الأقل في الداخل $]a,b[$ .
وعليه، إذا كان $c\in]a,b[$ نقطة داخلية تبلغ عندها $f$ قيمة قصوى محلية، وبما أن $f$ قابلة للاشتقاق على $]a,b[$ ، فإن $f^\prime(c)$ موجودة، وبحسب النظرية السابقة نستنتج أن $f^\prime(c)=0$ .

مبرهنة القيمة المتوسطة التفاضلية

نتيجة أخرى تُعد نتيجة مباشرة لما استعرضناه للتو، وتوفّر معلومات مفيدة لدراسة الدوال، هي مبرهنة القيمة المتوسطة في حساب التفاضل.

نظرية:
لتكن $f$ دالة معرّفة ومتّصلة على $[a,b]$ ، وقابلة للاشتقاق على $]a,b[$ . عندئذ يوجد $c\in]a,b[$ بحيث:

$f^\prime(c) =\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

برهان:
لتكن $F$ الدالة المعرّفة بـ:

$F(x) = f(x) - \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)$

هذه الدالة متصلة على $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على $]a,b[$ لأن $f$ كذلك. إضافة إلى ذلك، لدينا $F(a)=F(b)$ ، ومن ثم يمكننا استخدام مبرهنة رول للاستنتاج بوجود نقطة $c\in]a,b[$ بحيث $F^\prime(c)=0$ .

والآن، باشتقاق $F$ نحصل على:

$F^\prime(x) = f^\prime(x) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

وبالتقييم عند $c$ واستخدام $F^\prime(c)=0$ :

$0=F^\prime(c) = f^\prime(c) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

وبالتالي:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

وهو ما كان مطلوبًا إثباته.

فترات التزايد والتناقص

نظرية:

إذا كانت $f$ دالة بحيث $(\forall x\in ]a,b[)\left(0\lt f^\prime(x)\right)$ ، فإن $f$ تكون متزايدة تمامًا على $]a,b[$ .
إذا كانت $f$ دالة بحيث $(\forall x\in ]a,b[)\left(f^\prime(x)\lt 0\right)$ ، فإن $f$ تكون متناقصة تمامًا على $]a,b[$ .

برهان:
لتكن $x_1,x_2\in ]a,b[$ بحيث $x_1 \lt x_2$ . وبما أن $f$ قابلة للاشتقاق على $]a,b[$ ، يمكننا تطبيق مبرهنة القيمة المتوسطة على $f$ على الفترة $[x_1,x_2]\subset ]a,b[$ . وبناءً على ذلك، توجد نقطة $c\in]x_1,x_2[$ بحيث:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

ومن هذا نحصل على:

إذا كان $f^\prime(c) \gt 0$ ، فإن $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \gt 0$ .
وعليه، تكون $f$ متزايدة.
وإذا كان $f^\prime(c) \lt 0$ ، فإن $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \lt 0$ .
وعليه، تكون $f$ متناقصة.

إن دراسة القيم العظمى والصغرى لا تعني مجرد «حساب مشتقات»، بل تعني تعلّم كيفية تحويل بحث غير محدد إلى إجراء منهجي يقوم على ضمانات ومعايير واضحة. تخبرك مبرهنة فايرشتراس متى يمكنك الوثوق بوجود القيمة المثلى على فترة مدمجة، في حين يزوّدك معيار المشتقة الأولى ومبرهنتا رول والقيمة المتوسطة بالخريطة اللازمة لتحديد المرشحين وتبرير الاستنتاجات: أين يمكن للدالة أن تبلغ قيمة قصوى، ومتى تكون تلك الحالة شرطًا لازمًا فقط، وكيف يكشف إشارة $f'$ عن التزايد والتناقص. وإذا أتقنت هذه السلسلة من الأفكار، فإنك تنتقل من الاكتفاء بقراءة الرسوم البيانية بالحدس إلى حل مسائل التحسين بحجج قابلة للتحقق، وهو بالضبط الفارق بين «أعتقد أن أفضل نقطة هنا» و«أعرف لماذا يجب أن تكون هنا».