التكاملات غير المحددة والتقنيات الأساسية للتكامل

في هذه الحصة، يتم تقديم التقنيات الأساسية لحساب التكاملات غير المحددة الأبسط، بالإضافة إلى خصائص عامل التكامل. يشمل ذلك التكاملات كثيرات الحدود، والأسية، والهايبر بولية، والمثلثية الأساسية.

أهداف التعلم:
بنهاية هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على

1. فهم عملية التكامل غير المحدد كعملية عكسية للاشتقاق.
2. حساب تكامل كثيرات الحدود والتعابير التي تشمل الدوال الأسية، والهايبر بولية، والمثلثية.
3. استخدام خصائص التكاملات لإجراء التلاعبات الجبرية التي تُسهل حسابها.

فهرس المحتويات
أهمية التكاملات غير المحددة
المشتقات العكسية، التكاملات غير المحددة، والبدائيات للدوال
التقنيات الأساسية للتكامل

أهمية التكاملات غير المحددة

التكاملات غير المحددة هي أداة أساسية في علم الحساب، ولها مجموعة واسعة من التطبيقات في العلوم الفيزيائية والرياضية. تتيح حساب الدالة البدائية لدالة معطاة، وهو ما يُستخدم بدوره لحساب المساحات تحت المنحنيات، وحجوم الأجسام، وحساب الاحتمالات، والعديد من التطبيقات الأخرى في الفيزياء والهندسة والإحصاء والاقتصاد. بالإضافة إلى ذلك، فإن التكاملات غير المحددة ضرورية لحل المعادلات التفاضلية، مما يجعلها لا غنى عنها في العديد من مجالات العلوم والتكنولوجيا.

المشتقات العكسية، التكاملات غير المحددة، والبدائيات للدوال

إذا كانت الدالة F(x) مشتقتها هي f(x) في مجال معين I، فإننا نقول إن F(x) هي بدائية لـ f(x) في هذا المجال.

من المهم أن نلاحظ أنه إذا كانت F(x) بدائية لـ f(x)، فإن F(x) + C كذلك، حيث إن C هو أي ثابت حقيقي. يُكتب هذا على النحو التالي:

\displaystyle \int f(x) dx = F(x) + C

الثابت C هو ما يُعرف بـ ثابت التكامل، ووجوده يشير إلى أن بدائية الدالة ليست دالة وحيدة، بل عائلة من الدوال: مجموعة جميع الدوال التي مشتقتها هي f(x) في المجال I.

كلمات “المشتقة العكسية”، و”البدائية”، و”التكامل غير المحدد” هي ثلاثة تعبيرات تعني الفكرة نفسها، لذا نستخدمها بالتبادل. باختصار، التكامل غير المحدد هو العملية العكسية لحساب المشتقات، ومن هذه الفكرة تنبع خصائصه الأساسية.

الخصائص الأساسية للتكاملات غير المحددة

لكي نتمكن من حساب التكاملات غير المحددة، نحتاج أولًا إلى معرفة بعض الخصائص الأساسية، والتي تُشتق مباشرة من خصائص المشتقات.

1. \displaystyle \int \dfrac{df(x)}{dx} dx = f(x) + C
   لأن التكامل غير المحدد هو العملية العكسية للاشتقاق.




2. \displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx
   حيث إن \lambda هو ثابت حقيقي. ويحدث هذا لأن:
   

   \begin{array}{rl} {} \displaystyle \int \lambda \dfrac{d\phi(x)}{dx}dx &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx}\lambda \phi(x) dx \\ \\ &= \lambda \phi(x) + C_1 \\ \\ &= \lambda(\phi(x) + C_2) \\ \\ &= \lambda \displaystyle \int \frac{d\phi(x)}{dx}dx \end{array}

   ثم باستخدام f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx} نحصل على:

   \displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x)dx




3. \displaystyle \int f(x) + g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx

   يمكن إثبات ذلك بطريقة مشابهة للسابق. لنأخذ دالتين \phi(x) و \psi(x) بحيث

   f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx} و g(x) = \dfrac{d\psi(x)}{dx}

   عندها يكون لدينا:

   \begin{array}{rl} {} \displaystyle \int f(x) + g(x) dx &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} + \dfrac{d\psi(x)}{dx} dx \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx} (\phi(x) + \psi(x)) dx \\ \\ &= \phi(x) + \psi(x) + C \\ \\ &= (\phi(x) + C_1) + (\psi(x) + C_2) \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} dx + \int \dfrac{d\psi(x)}{dx}dx \\ \\ &= \displaystyle \int f(x) dx + \int g(x) dx \end{array}

التقنيات الأساسية للتكامل

توجد تقنيات أساسية للتكامل تتيح لنا حساب بعض التكاملات غير المحددة انطلاقًا من نتائج الاشتقاق. من خلال هذه التقنيات، يمكننا الحصول على النتائج المفيدة التالية للتكامل:

تكاملات الدوال كثيرات الحدود

1. \displaystyle \int 1 dx = x + C

   لأن \dfrac{d}{dx} (x + C)= 1

2. \displaystyle \int x^q dx = \dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C, بشرط أن يكون q\neq -1

   لأن \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C\right) = x^q.

مع هذه النتائج بالإضافة إلى الخصائص الأساسية، يمكننا حساب تكامل أي كثيرة حدود دون أي صعوبة.

تكاملات الدالة الأسية واللوغاريتم

انطلاقًا من النتائج المعروفة لاشتقاق الدوال الأسية واللوغاريتمية، نحصل على النتائج الأساسية التالية:

1. \displaystyle \int e^{x}dx = e^{x} + C

   لأن \dfrac{d}{dx}\left(e^x + C\right) = e^x

2. \displaystyle \int \dfrac{1}{x} dx = ln|x| + C

   لأن \dfrac{d}{dx}\left(ln|x| + C \right) = \dfrac{1}{|x|} sig(x) = \dfrac{1}{x}

   حيث إن sig(x) هي دالة الإشارة المعرفة كما يلي:

   sig(x) = \left\{\begin{array}{} +1 &,&0\lt x \\ -1 &,& x\lt 0 \end{array}\right.

نتيجة تكامل 1/x تُمكّننا من توسيع قدرتنا على تكامل الدوال، إذ يمكننا البدء في تكامل دوال تتكون من نسبة بين كثيرات حدود.

تكاملات الدوال الهايبر بولية الأساسية

الدوال الهايبر بولية الأساسية هي:

\begin{array} {} sinh(x) &=& \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \\ cosh(x) &=& \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \end{array}

وبما أننا رأينا بالفعل كيف يعمل تكامل الدالة الأسية، فلن نواجه أي مشكلة في تكاملات الدوال sinh و cosh.

بالنسبة لـ sinh، فإن الحساب مباشر تقريبًا:

\begin{array}{rcl} {} \displaystyle \int sinh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx - \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x + e^{-x} \right) + C = cosh(x) + C \end{array}

وبالنسبة لـ cosh، فالحسابات مشابهة تقريبًا:

\begin{array} {} \displaystyle \int cosh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx + \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x - e^{-x} \right) + C = sinh(x) + C \end{array}

بالإضافة إلى هذه، توجد العديد من الدوال الهايبر بولية الأخرى التي يمكن تكاملها:

\begin{array} {} tanh(x) &=& \dfrac{sinh(x)}{cosh(x)} \\ sech(x) &=& \dfrac{1}{cosh(x)} \\ {}csch(x) &=& \dfrac{1}{sinh(x)} \\ ctgh(x) &=& \dfrac{1}{tanh(x)} \end{array}

لكن تكاملها يتطلب تقنيات أخرى سنتناولها في حصص لاحقة.

تكاملات الدوال المثلثية الأساسية

الدوال المثلثية الأساسية هي sin(x) و cos(x). وحساب تكاملاتها مباشر تقريبًا من خلال معرفتنا بمشتقاتها.

\begin{array} {} \displaystyle \int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \\ {} \displaystyle \int cos(x) dx = sen(x) + C \end{array}

وذلك لأن:

\begin{array} {} \dfrac{d}{dx}\left( sin(x) + C \right) &=& cos(x) \\ \\ {} \dfrac{d}{dx}\left( cos(x) + C \right) &=& -sin(x) \\ \\ \end{array}

الخاتمة

في هذه الحصة، استعرضنا التكاملات غير المحددة من الأسس النظرية وصولًا إلى أبسط تطبيقاتها العملية. تعلمنا كيف نُعرّفها كعملية عكسية للاشتقاق، وتعرفنا على خصائصها الأساسية، وطبقنا تقنيات مباشرة لتكامل الدوال كثيرات الحدود، والدوال الأسية، واللوغاريتمية، والهايبر بولية، والمثلثية البسيطة. هذه المعارف تشكل الأساس الضروري للتعامل مع مسائل أكثر تعقيدًا في التكامل لاحقًا، وستكون ضرورية في دراسة التطبيقات المتقدمة في الفيزياء والهندسة والعلوم الأخرى. ومن خلال هذا الأساس، سيكون بالإمكان تقديم تقنيات أكثر تقدمًا في الحصص القادمة.