نموذج ثنائي الفترات وشــرط عدم التحكيم

الملخص:
تخيل كازينو يمكنك فيه المراهنة على لعبة حيث، بغض النظر عن النتيجة، تكسب دائمًا المال. يبدو الأمر جيدًا لدرجة يصعب تصديقها، أليس كذلك؟ في الأسواق المالية، تظهر هذه الفرص بفضل إمكانية إجراء التحكيم؛ ومع ذلك، يتم القضاء عليها بسرعة من خلال تصرفات الجهات الفاعلة في السوق. في هذه الحصة، نستكشف نموذج الفترة الثنائية وشرط عدم التحكيم، ونحلل كيف أن أسعار الأصول، وأسعار الفائدة، واستراتيجيات الاستثمار تقضي على إمكانية تحقيق أرباح خالية من المخاطر. من خلال أمثلة مفصلة وإثبات رياضي دقيق، سنكشف عن المبادئ الأساسية التي تدعم الاستقرار المالي ولماذا يعد اكتشاف فرصة التحكيم مجرد بداية لقصة أكثر تعقيدًا.

أهداف التعلم
بنهاية هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على:

فهم نموذج الفترة الثنائية وتطبيقه في تقييم الأصول المالية.
تحديد العناصر الأساسية لنموذج الفترة الثنائية: الأصل الأساسي، عوامل النمو والانخفاض، والأصل الخالي من المخاطر.
فهم بناء ووظيفة المحفظة ذاتية التمويل في النموذج الثنائي.
فهم شرط عدم التحكيم في الأسواق المالية وكيف يمنع تحقيق أرباح خالية من المخاطر من خلال المحافظ ذاتية التمويل.
تقييم وجود فرص التحكيم في السوق من خلال تحليل شرط عدم التحكيم.
تحليل كيف يؤثر التحكيم على أسعار الأصول ويتسبب في تعديلات في السوق.
وصف تأثير معدل إقراض الأسهم على استراتيجية التحكيم وشرط عدم التحكيم.
تفسير كيف يتم تعديل السوق بعد ظهور فرص التحكيم باستخدام النماذج الرياضية.
فهم الإثبات الرسمي لنظرية شرط عدم التحكيم.

فهرس المحتويات
ما هو نموذج الفترة الثنائية؟
كيف يمكن التعرف على سوق يحتوي على فرص تحكيم وتفككه السريع
إثبات نظرية شرط عدم التحكيم
الخاتمة

ما هو نموذج الفترة الثنائية؟

يُعَدّ نموذج الفترة الثنائية نموذجًا رياضيًا يُستخدم في التمويل لوصف تطور سعر الأصل في إطار زمني متقطع. يُطلق عليه “ثنائي” لأن سعر الأصل يمكن أن يتحرك في كل فترة زمنية في اتجاهين فقط: الارتفاع أو الانخفاض. يُستخدم هذا النموذج على نطاق واسع في تقييم المشتقات المالية، خاصة الخيارات، وهو الأساس لنموذج الفترات الثنائية المتعددة.

عناصر النموذج

يعتمد نموذج الفترة الثنائية على العناصر الأساسية التالية:

أصل أساسي: يُمثَّل بسعره $S(t)$ عند الزمن $t$ . في اللحظة الأولية $t=0$ ، يكون سعر الأصل هو $S(0)$ . وعند الزمن $t=1$ ، يمكن أن يتحرك سعره إلى أحد القيمتين المحتملتين، الممثلتين بـ $S(1,\text{sube})$ (السعر إذا ارتفع) أو $S(1,\text{baja})$ (السعر إذا انخفض):
$S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sube}) = S(0) u, & \text{باحتمال } p, \\ S(1,\text{baja}) = S(0) d, & \text{باحتمال } 1 - p. \end{cases}$
حيث يمثل المعاملان $u$ و $d$ عوامل الزيادة والنقصان في السعر، والتي تحقق العلاقة:
$0\lt d \lt 1 \lt u$ .
تضمن هذه العلاقة أيضًا أن تكون الأسعار المستقبلية موجبة تمامًا، كما تحددها الفرضيات الأساسية لـالنموذج البسيط للسوق.
الاحتمالات: يُفترض أن احتمال ارتفاع الأصل هو $p$ ، بينما احتمال انخفاضه هو $1 - p$ ، مع $0 \lt p \lt 1$ . يضمن هذا القيد أن كلا الاتجاهين ممكنان، ويمنع الحالات الحتمية التي يرتفع فيها السعر دائمًا أو ينخفض دائمًا، مما يؤدي إلى فشل النموذج الثنائي وخلق فرص تحكيم غير واقعية.
أصل خالٍ من المخاطر: يتم إدخال سند أو أداة مالية ينمو سعرها بطريقة متوقعة بمعدل فائدة خالٍ من المخاطر $r$ . يكون سعره في الفترة التالية هو $A(1) = A(0)(1+r)$ .

النظرية: شرط عدم التحكيم في نموذج الفترة الثنائية

ليكن لدينا أصل مالي سعره الأولي $S(0) \gt 0$ ، وقيمته عند الزمن $t=1$ تتبع البنية الثنائية الموضحة سابقًا. نفترض وجود أصل خالٍ من المخاطر (سند) بسعر $A(1) = A(0)(1+r)$ ، حيث $r$ هو معدل الفائدة الخالي من المخاطر. إذن، يكون السوق خاليًا من فرص التحكيم إذا وفقط إذا حققت عوامل النمو والانخفاض الشرط التالي:

$0 \lt d \lt 1 + r \lt u$

في سوق خالٍ من التحكيم، لا يمكن إنشاء محفظة ذاتية التمويل تحقق أرباحًا خالية من المخاطر.

ما هي المحفظة ذاتية التمويل؟

المحفظة ذاتية التمويل هي استراتيجية استثمار لا تتطلب رأس مال إضافيًا، حيث يتم تمويل أي عملية شراء للأصول من خلال بيع أصول أخرى داخل نفس المحفظة. بعبارة أخرى، لا يتم ضخ أموال خارجية لتنفيذها.

إذا كان من الممكن إنشاء محفظة ذاتية التمويل تضمن تحقيق ربح في جميع الحالات الممكنة داخل السوق، فهذا يعني وجود فرصة تحكيم. يشترط شرط عدم التحكيم عدم إمكانية بناء مثل هذه المحافظ.

رياضيًا، تُبنى المحفظة ذاتية التمويل على النحو التالي:

وضعية في الأصل المالي عالي المخاطر: يتم شراء أو بيع x وحدات من الأصل المالي بسعر أولي S(0).
وضعية في الأصل المالي الخالي من المخاطر: يتم استثمار أو اقتراض مبلغ y في سند مالي بسعر A(0) وبمعدل فائدة خالٍ من المخاطر r.
شرط التمويل الذاتي: يجب تحقيق المعادلة:

$V(0) = x S(0) + y A(0) = 0.$

التقييم في الفترة الزمنية التالية: عند t = 1، يكون قيمة المحفظة:

$V(1) = \begin{cases} x S(1,\text{sube}) + y A(1), & \text{إذا ارتفع السعر}, \\ x S(1,\text{baja}) + y A(1), & \text{إذا انخفض السعر}. \end{cases}$

إذا وُجدت مجموعة من القيم $x$ و $y$ بحيث $V(1) \geq 0$ في كلا السيناريوهين و $V(1) \gt 0$ على الأقل في أحدهما، فإن ذلك يعني وجود فرصة تحكيم.

كيف نتعرف على سوق خالٍ من فرص التحكيم باستخدام النظرية؟

لنفترض أن أصلًا ماليًا لديه سعر ابتدائي قدره $S(0) = 100$ دولار، وفي الفترة التالية يمكن أن يكون سعره:

$S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sube}) = S(0) u = 120, & \text{إذا ارتفع السعر}, \\ S(1,\text{baja}) = S(0) d = 90, & \text{إذا انخفض السعر}. \end{cases}$

بينما ينمو سعر السند من $A(0) = 100$ إلى $A(1) = 105$ ، مع $r = 5\%$ . بناءً على ذلك، نتحقق مما إذا كان التحكيم ممكنًا ببساطة من خلال فحص شرط عدم التحكيم:

$0 \lt d \lt 1+r\lt u$ .

من خلال المعطيات، نجد أن:

$0 \lt 0.9 \lt 1.05 \lt 1.2$

بما أن عدم المساواة متحقق، فلا يمكن إنشاء محفظة ذاتية التمويل تحقق أرباحًا مؤكدة، مما يضمن اتساق نموذج الفترة الثنائية.

كيف نتعرف على سوق يحتوي على فرص تحكيم وتفككه السريع

لنأخذ في الاعتبار أصلًا ماليًا بسعر ابتدائي قدره $S(0) = 100$ دولار. في الفترة التالية، يمكن أن يتطور سعره كما يلي:

$S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sube}) = S(0) u = 105.2, & \text{إذا ارتفع السعر}, \\ S(1,\text{baja}) = S(0) d = 82, & \text{إذا انخفض السعر}. \end{cases}$

سعر الأصل الخالي من المخاطر هو $A(0) = 100$ ، وفي الفترة التالية ينمو إلى $A(1) = 107$ ، مع معدل فائدة خالٍ من المخاطر $r = 7\%$ .

نقوم بالتحقق من شرط عدم التحكيم:

$0 \lt 0.82 \lt 1.07 \not\lt 1.052$

بما أن عدم المساواة $1+r \lt u$ غير متحقق، فهذا يعني أن التحكيم ممكن في هذا السوق. لإثبات ذلك، سنقوم بإنشاء محفظة ذاتية التمويل من خلال العملية التالية:

تنفيذ عملية بيع على المكشوف لسهم: يتم بيع الأصل المالي عالي المخاطر على المكشوف عند $S(0) = 100$ ، مما يعني أن المستثمر يجب أن يقترض سهمًا ليبيعه في السوق.
الاستثمار في الأصل الخالي من المخاطر: يتم استثمار 100 دولار المحصلة في السندات.
إعادة شراء السهم في الفترة التالية:
- إذا انخفض السعر إلى 82، فإن الربح الصافي يكون $107 - 82 = 25$ .
- إذا ارتفع السعر إلى 105.2، فإن الربح الصافي يكون $107 - 105.2 = 1.8$ .

في كلا الحالتين، يحصل المستثمر على أرباح مؤكدة، مما يؤكد وجود فرصة للتحكيم.

📌 تعديلات السوق استجابةً لاستراتيجية التحكيم

ومع ذلك، في سوق كفؤ، لا تستمر هذه الفرص طويلاً. فعندما يكتشف المزيد من المستثمرين هذا الخلل، يبدأون بتنفيذ استراتيجيات التحكيم من خلال البيع على المكشوف، مما يؤدي إلى عدة تأثيرات رئيسية:

زيادة في عرض الأصل المالي عالي المخاطر: البيع على المكشوف يعني أن العديد من المستثمرين يقترضون الأسهم ويبيعونها في السوق، مما يزيد من عرض الأسهم المتاحة. يؤدي هذا العرض المتزايد إلى ضغط هبوطي على السعر الأولي $S(0)$ .
تعديل في الأسعار المستقبلية للأصل: نظرًا لأن $S(1, \text{sube}) = S(0) u$ و $S(1, \text{baja}) = S(0) d$ ، فإن انخفاض $S(0)$ يؤدي إلى تعديل في قيم $u$ و $d$ ، مما يؤثر على العلاقة مع معدل الفائدة الخالي من المخاطر $1 + r$ . وهذا يساعد على استعادة شرط عدم التحكيم.
التأثير على سعر السند: مع استخدام المستثمرين للعوائد من البيع على المكشوف للاستثمار في السندات، يزداد الطلب عليها. يؤدي ذلك إلى ارتفاع في السعر الحالي للسند $A(0)$ . ونظرًا لأن القيمة المستقبلية للسند تظل $A(1) = 107$ ، فإن ذلك يقلل من العائد الفعلي للاستثمار في السندات، مما يؤدي إلى تعديل العائد على الأصل الخالي من المخاطر.
تكلفة البيع على المكشوف: يجب على المستثمرين الذين يقترضون الأسهم للبيع على المكشوف دفع معدل اقتراض الأسهم $r_s$ . يمثل هذا المعدل تكلفة إضافية قد تقلل من الأرباح الصافية للتحكيم.

📌 كيف يؤثر معدل اقتراض الأسهم على التحكيم؟

إذا كان معدل اقتراض الأسهم $r_s$ مرتفعًا، فقد يقلل أو حتى يلغي الربح الصافي من التحكيم. الصيغة المعدلة للقيمة النهائية لاستراتيجية التحكيم هي:

$V(1) = A(0)(1 + r - r_s) - S(1)$

حيث:

$r_s$ هو معدل اقتراض الأسهم.
$A(0)(1+r)$ يمثل الاستثمار في السند.
$S(1)$ هو تكلفة إعادة شراء السهم في نهاية الفترة.

عند إدخال معدل $r_s$ للاقتراض، يتم تعديل شرط عدم التحكيم على النحو التالي:

$0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u$

بالنسبة لهذه الحالة الخاصة، فإن القيم الممكنة لـ $r_s$ التي تحقق العلاقة هي:

$0 \lt 0.82 \lt 1.07 - r_s \lt 1.052$

وهذا يعني أن:

إذا كان $0 \leq r_s \lt 0.018$ : فإن فرصة التحكيم تظل قائمة، لأن الربح لا يزال إيجابيًا في كل السيناريوهات.
إذا كان $0.018 \leq r_s \leq 0.25$ : فإن فرصة التحكيم تختفي، حيث يعادل تكلفة اقتراض الأسهم المعادلة، مما يؤدي إلى إلغاء الأرباح المضمونة.
إذا كان $r_s \gt 0.25$ : في هذه الحالة، لن يقوم أي مستثمر عقلاني بتنفيذ العملية، لأن تكلفة الاقتراض تتجاوز أي فائدة محتملة. ونظرًا لأن القيمة المستقبلية للمحفظة ستكون سالبة في كل السيناريوهات، فإن إنشاء محفظة ذاتية التمويل في هذا السياق يصبح أمرًا مستحيلًا رياضيًا.

📌 ماذا يحدث إذا استهلكت الخسائر المحفظة؟ التصفية القسرية ونداء الهامش

إذا كان معدل اقتراض الأسهم $r_s$ مرتفعًا جدًا لدرجة أنه يضمن خسائر مؤكدة ( $r_s \gt 0.25$ )، فإن الوسيط المالي يتدخل تلقائيًا لمنع حساب المستثمر من الدخول في رصيد سلبي. يؤدي ذلك إلى تصفية قسرية، تُعرف أيضًا باسم نداء الهامش (Margin Call).

🔹 عملية التصفية القسرية:

بيع السند تلقائيًا:
يقوم الوسيط بتصفية الاستثمار في السندات $A(0)(1 + r)$ للحصول على النقد.
إعادة شراء السهم لإغلاق المركز القصير:
باستخدام النقد المتاح، يقوم الوسيط بإعادة شراء السهم بسعر السوق $S(1)$ لإعادته إلى المقرض.
تسوية الدين وإغلاق المركز:
إذا لم يكن الرصيد المتاح بعد بيع السند كافيًا لتغطية إعادة شراء السهم، فإن المستثمر يتعرض لرصيد سلبي، مما قد يؤدي إلى عواقب قانونية أو يتطلب إيداع أموال إضافية.
تسجيل الخسارة:
تنتهي العملية، التي كانت خاسرة منذ البداية، بإغلاق بخسارة نهائية محددة على النحو التالي:
$\text{الخسارة النهائية} = S(1) - A(0)(1 + r - r_s)$
إذا كانت الخسارة النهائية أكبر من النقد المتاح في حساب المستثمر، فإنه يخسر كل رأس ماله وقد يواجه دينًا تجاه الوسيط.

📌 كيف يُعاد تحقيق شرط عدم التحكيم؟

عندما يكون معدل اقتراض الأسهم $r_s$ منخفضًا بما فيه الكفاية، تظل فرصة التحكيم قائمة، مما يشجع المستثمرين على تنفيذ عمليات بيع على المكشوف بأحجام كبيرة لتحقيق ربح مضمون.

في هذا التحليل، نفترض أن معدل اقتراض الأسهم هو $r_s = 0.015$ .

يؤدي النشاط الكبير الناجم عن هذا المعدل المنخفض إلى إعادة ضبط السوق، والذي، بمرور الوقت، يعيد تحقيق شرط عدم التحكيم. على وجه التحديد، تتم ملاحظة التأثيرات التالية:

يؤدي هذا إلى إعادة صياغة شرط عدم التحكيم:

$0 \lt \dfrac{S(1,\text{baja})}{\beta S(0)} \lt \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} - r_s \lt \dfrac{S(1,\text{sube})}{\beta S(0)}$

بحل معاملات التعديل، نحصل على:

$\beta \gt \dfrac{A(0)S(1,\text{baja})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}$

$\beta \lt \dfrac{A(0)S(1,\text{sube})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}$

إذا طبقنا القيم المحددة للمسألة، وأخذنا في الاعتبار أن سعر الأسهم ينخفض بينما يزداد سعر السندات، نحصل على:

$\begin{array}{rl} \beta &\gt \dfrac{ 82 \alpha}{107 - 1.5\alpha} \\ \\ \beta &\lt \dfrac{105.2 \alpha}{107 - 1.5\alpha } \\ \\ \beta &\lt 1 \\ \\ \alpha &\gt 1 \end{array}$

يتم تمثيل حل هذا النظام في المنطقة الأكثر ظلامًا في الرسم البياني التالي:

لذلك، فإن إحدى مجموعات القيم الممكنة التي قد يتقارب نحوها السوق لإزالة فرصة التحكيم هي، على سبيل المثال، $\alpha=1.05$ و $\beta=0.95$ .

وبناءً على ذلك، يتم تصحيح المعاملات كما يلي:

$\begin{array}{rl} u^\prime &= \dfrac{S(1,\text{sube})}{\beta S(0)} = \dfrac{105.2}{0.95\cdot 100} \approx 1.107 \\ \\ d^\prime &= \dfrac{S(1,\text{baja})}{\beta S(0)} = \dfrac{82}{0.95\cdot 100} \approx 0.863 \\ \\ r^\prime + 1 &= \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} = \dfrac{107}{1.05 \cdot 100} \approx 1.019 \end{array}$

وبهذا، يتحقق شرط عدم التحكيم:

$0 \lt d^\prime \lt 1+r^\prime - r_s \lt u^\prime$

وباستبدال القيم المحسوبة:

$0 \lt 0.863 \lt 1.019 - 0.015 = 1.004 \lt 1.107$

بالإضافة إلى ذلك، يمكن حساب القيم المصححة للأصول في اللحظة الحالية بسبب الضغط الذي يمارسه المستثمرون الساعون للاستفادة من فرصة التحكيم:

$\begin{array}{rl} A^\prime(0) &= \alpha A(0) = 1.05\cdot 100 = 105 \\ \\ S^\prime(0) &= \beta S(0) = 0.95\cdot 100 = 95 \end{array}$

إثبات نظرية شرط عدم التحكيم

حتى هذه النقطة، استكشفنا كيفية عمل نظرية شرط عدم التحكيم. الآن، سنشرع في تطوير إثباتها خطوة بخطوة. للقيام بذلك، من المفيد تحديد الإشارات التي تدل على وجود فرصة للتحكيم:

العلاقة بين عوائد الأصول عالية المخاطر والسندات الخالية من المخاطر:
إذا كان عائد الأصل المالي عالي المخاطر في أسوأ حالاته يتجاوز معدل الفائدة الخالي من المخاطر، فإنه يمكن تمويل شرائه بالاقتراض بهذا المعدل، مما يضمن تحقيق ربح خالٍ من المخاطر حتى في أسوأ السيناريوهات.
وبالمثل، إذا كان معدل الفائدة الخالي من المخاطر يتجاوز عائد الأصل المالي عالي المخاطر في أفضل حالاته، فيمكن إنشاء تحكيم عن طريق البيع على المكشوف للأصل والاستثمار في السندات، مما يؤدي إلى تحقيق ربح خالٍ من المخاطر.
العلاقة بين معدل الفائدة الخالي من المخاطر ومعدل الاقتراض:
استكمالًا للنقطة السابقة، من المهم التمييز بين معدل الاقتراض $r_s$ ومعدل الفائدة الخالي من المخاطر $r$ ، خاصة عند تحليل استراتيجيات التحكيم أو البيع على المكشوف. بشكل عام، يتم استيفاء العلاقة التالية:
$-1\leq r \leq r_s$
إذا لم تتحقق هذه العلاقة، فيمكن تحقيق التحكيم عن طريق الاقتراض عند المعدل الأدنى $r_s$ والاستثمار في السندات بمعدل الفائدة الأعلى $r$ ، مما يؤدي إلى تحقيق ربح خالٍ من المخاطر. إذا كانت هذه الفرصة متاحة، فإن المستثمرين سيستغلونها حتى يقوم السوق بتعديل المعدلات، مما يؤدي إلى إزالة التحكيم. علاوة على ذلك، غالبًا ما يطلب المقرضون معدل فائدة أعلى لتعويض مخاطر التخلف عن السداد.
في النماذج المالية المبسطة، يُفترض غالبًا أن $r_s = r$ ، وفي معظم الحالات، يُفرض أيضًا أن $r \geq 0$ لتجنب المعدلات السلبية، على الرغم من أن هذا ليس ضروريًا تمامًا.
شروط وجود التحكيم في المحفظة:
قيمة المحفظة في الوقت الحالي $t=0$ تُعطى بالعلاقة:
$V(0) = xS(0) + y A(0)$
حيث $S(0)$ يمثل القيمة الحالية للأسهم، و $A(0)$ يمثل القيمة الحالية للسندات. في المستقبل عند $t=1$ ، ستعتمد قيمة المحفظة على تطور الأصل عالي المخاطر:
$V(1) = \begin{cases} x S(0) u + y A(0) (1 + r), &\text{إذا ارتفع السعر},\\ x S(0) d + y A(0) (1 + r), &\text{إذا انخفض السعر}. \end{cases}$
توجد فرصة للتحكيم إذا وفقط إذا كان من الممكن إنشاء محفظة $(x,y)$ تحقق الشروط الثلاثة التالية:
1. $V(0)=0$ ، أي أن المحفظة ذاتية التمويل ولا تتطلب استثمارًا أوليًا.
2. $V(1)\geq 0$ في جميع الحالات الممكنة للسوق، مما يضمن عدم وجود خسائر.
3. $V(1) \gt 0$ في حالة واحدة على الأقل، مما يضمن تحقيق ربح إيجابي.

لإجراء هذا الإثبات، سنقدم الاتفاقية التالية للترميز:

$\begin{array}{rcl} V(1,\omega) &=& xS(1,\omega) + yA(1). \end{array}$

حيث يمكن أن يكون $\omega$ إما $\text{sube}$ أو $\text{baja}$ . بالإضافة إلى ذلك، من الضروري التعبير رياضيًا عن الشرط الذي يتحقق عندما توجد محفظة $(x,y)$ تستغل فرصة التحكيم. يُصاغ هذا كما يلي:

$\begin{array}{l} V(0) = 0, \\ \forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0, \\ \exists \omega \quad V(1,\omega) > 0. \end{array}$

مع فهم هذه المفاهيم، يمكننا الآن تحديد التعبير الرياضي الدقيق الذي يحدد فرصة التحكيم:

$\begin{array}{rl} \text{تحكيم}:= & V(0) = 0 \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \wedge \cdots \\ & \cdots \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \\ \\ \text{عدم التحكيم}:= & \neg \text{تحكيم}\\ = & V(0) \neq 0 \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \vee \cdots \\ & \cdots \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \end{array}$

وأخيرًا، يتم التعبير عن مجموعة الفرضيات $\mathcal{H}$ التي يتم تطوير الإثبات بناءً عليها كما يلي:

$\begin{array}{rcl} \mathcal{H} &=& \left\{ \right. V(0)=xS(0) + yA(0) = 0, \\ \\ & &V(t,\omega) = xS(t,\omega) + yA(t), A(0), S(0) \gt 0, \\ \\ & & S(1) = \begin{cases} S(1, \text{sube}) = S(0)u & \text{باحتمال } p \\ S(1,\text{baja}) = S(0)d & \text{باحتمال } 1-p \end{cases}, \\ \\ & & 0 \lt d \lt u , \left. A(1) = A(0)(1+r), r\geq -1 \right\} \end{array}$

لا تقتصر هذه المجموعة على تضمين فرضيات النظرية فحسب، بل تشمل أيضًا الشروط الأساسية لنموذج الفترة الثنائية.

مع وضع هذه المبادئ، سننتقل الآن إلى الإثبات الرياضي للعلاقة التي يجب أن تتحقق في سوق خالٍ من التحكيم.

الإثبات الرسمي للنظرية:

$\begin{array}{rll} (1) & \mathcal{H} \models V(0) =xS(0) + yA(0) = 0 & \text{; افتراض} \\ (2) & \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) + yA(1) & \text{; افتراض} \\ (3) & \mathcal{H} \models A(0) \gt 0 & \text{; افتراض} \\ (4) & \mathcal{H} \models S(0) \gt 0 & \text{; افتراض} \\ (5) & \mathcal{H} \models r \gt -1 & \text{; افتراض} \\ (6) & \mathcal{H} \models A(1) = (1+r) A(0) & \text{; افتراض} \\ (7) &\color{red}\mathcal{H} \models 0 \lt d \lt u \color{black}& \text{; افتراض} \\ \\ (8) & \mathcal{H} \models S(1) = \begin{cases}S(1,\text{sube})=S(0)u & \text{, باحتمال } p \\ S(1,\text{baja}) = S(0)d & \text{, باحتمال } 1-p\end{cases} & \text{; افتراض} \\ \\ (9) & \mathcal{H} \models y = \dfrac{-xS(0)}{A(0)} \wedge x\in\mathbb{R} & \text{; من (1)} \\ (10)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - \dfrac{xS(0)}{A(0)} A(1) & \text{; من (2,9)} \\ (11)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - x(1+r)S(0) & \text{; من (6,10)} \\ &\text{وهذا يمثل القيمة المستقبلية لمحفظة تمويلها عن طريق قرض} &\\ &\text{بمعدل فائدة $r$ بهدف تمويل شراء أصل مالي.} &\\ (12)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models 0 \leq (1+r)S(0) \leq \underbrace{S(0) d}_{S(1,\text{baja})} \lt \underbrace{S(0) u}_{S(1,\text{sube})} & \text{; من (4,5,7,8)}\\ (13)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models x(1+r)S(0) \leq xS(1,\omega) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; من (12)}\\ (14)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega) \geq 0) &\text{; من (2,9,13)}\\ (15)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models V(1,\omega) \gt 0 \leftrightarrow y \gt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} & \text{; من (2,3,6,7,8)}\\ (16)&\mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad V(1,\omega)\gt 0) &\text{; من (14,15)}\\ (17)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models \text{تحكيم} &\text{; من (1,14,16)}\\ (18)& \color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{عدم التحكيم}\} \models d \lt 1+r\color{black}& \text{; بالبرهان من التناقض, CPI, TD(17)}\\ \\ (19)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models 0 \lt \underbrace{S(0)d}_{S(1,\text{baja})} \lt \underbrace{S(0)u}_{S(1,\text{sube})} \leq (1+r)S(0) & \text{; من (4,5,7,8)}\\ (20)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models xS(1,\omega) \leq x(1+r)S(0) \leftrightarrow x\gt 0 &\text{; من (19)} \\ (21)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(0) = - V(0) = 0 & \text{; من (1)}\\ (22)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)=-V(1,\omega) & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)}=-xS(1,\omega)+x(1+r)S(0) & \text{; من (11)}\\ &\text{وهذا يمثل القيمة المستقبلية لمحفظة يتم تمويلها عن طريق} &\\ &\text{بيع أصل مالي على المكشوف بغرض شراء سند مالي} &\\ &\text{تنمو قيمته بمعدل فائدة $r$.} & \\ (23)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad \tilde{V}(1,\omega) \geq 0) & \text{; من (2,9,20,22)}\\ (24)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(1,\omega)\gt 0 \leftrightarrow y \lt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} &\text{; من (2,3,4,6,22)}\\ (25)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad \tilde{V}(1,\omega)\gt 0) &\text{; من (23,24)}\\ (26)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \text{تحكيم} &\text{; من (21,23,25)}\\ (27)&\color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{عدم التحكيم}\} \models 1+r \lt u\color{black}& \text{; برهان التناقض (RTD), CPI, TD(26)}\\ (28) &\mathcal{H}\cup\{\text{عدم التحكيم}\} \models 0\lt d\lt1+r\lt u &\text{;\color{red}$\wedge$-استخلاص (Mon(7),18,27)}\color{black} \\ (29)& \boxed{\mathcal{H} \models\text{عدم التحكيم}\rightarrow 0\lt d\lt1+r\lt u} & \text{; TD(28)}\\ \\ (30)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u & \text{; افتراض}\\ (31)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models xS(0)d\lt x(1+r)S(0) \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; من (4,30)}\\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(0)d\lt x(1+r)S(0)\dfrac{A(0)}{A(0)} \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(0)d\lt -y(1+r)A(0) \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; من (9)} \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(1,\text{baja})\lt -yA(1) \lt xS(1,\text{sube}) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; من (6,8)} \\ (32)& \mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models V(1,\text{baja})\lt 0 \lt V(1,\text{sube}) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; من (2,31)} \\ (33)& \mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models V(1,\text{baja})\gt 0 \gt V(1,\text{sube}) \leftrightarrow x\lt 0 & \text{; من (31,32)} \\ (34)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega)\geq 0) & \text{; من (32,33)} \\ (35)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models \text{عدم التحكيم} & \text{; $\vee$-استنتاج (34)}\\ (36)&\boxed{\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \rightarrow \text{عدم التحكيم}} & \text{; TD(35)}\\ \\ (37)& \color{blue}\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \leftrightarrow \text{عدم التحكيم}\color{black}\quad\blacksquare & \text{; من (29,36)} \end{array}$

الخاتمة

يُعد نموذج الفترة الثنائية وشرط عدم التحكيم من الركائز الأساسية في النظرية المالية، حيث يوفران إطارًا منظمًا لتقييم الأصول وضمان استقرار الأسواق. من خلال هذا المقال، قمنا بتحليل كيفية أن فرص التحكيم، على الرغم من جاذبيتها من الناحية النظرية، يتم القضاء عليها بسرعة بواسطة قوى السوق من خلال تعديلات في أسعار الأصول ومعدلات الفائدة. لقد أثبتنا رياضيًا أن العلاقة بين عوامل النمو والانخفاض للأصل المالي ومعدل الفائدة الخالي من المخاطر هي المفتاح لضمان سوق فعال وخالٍ من فرص الربح بدون مخاطر. بالإضافة إلى ذلك، لاحظنا أنه حتى عندما تنشأ فرص التحكيم، فإن آليات مثل ضغط الأسعار، وتكلفة الاقتراض، وإعادة تكوين معايير السوق تؤدي بشكل حتمي إلى استعادة التوازن. مع هذا الفهم، يتضح أن التحكيم ليس مجرد ظاهرة عابرة، بل هو عنصر أساسي في ديناميكيات الأسواق المالية، حيث يسهم في تعزيز كفاءتها واتساقها الرياضي.