مبدأ عدم المراجحة

الملخص:
في هذه المحاضرة، سنتناول مبدأ عدم المراجحة، وهو مفهوم أساسي في النظرية المالية يدعم استقرار وتماسك الأسواق. لا يشكل هذا المبدأ فقط أساس النماذج الرياضية لتقييم الأصول، بل يلعب أيضًا دورًا حاسمًا في فهم ديناميكيات الأسعار وتصميم استراتيجيات مالية متقدمة. سنستعرض أساسياته، تطبيقاته، وأهميته للنظرية والممارسة الاقتصادية.

أهداف التعلم:
في نهاية هذه المحاضرة، سيتمكن الطالب من:

1. فهم المفهوم الأساسي لمبدأ عدم المراجحة في الأسواق المالية.
2. تحديد كيفية تأثير قوى السوق (العرض، الطلب، المنافسة، التوقعات، والعوامل الخارجية) على توازن الأسعار.
3. تحليل تأثيرات انتهاك مبدأ عدم المراجحة على الاستقرار المالي.
4. حساب الفوائد النظرية الناتجة عن دورات المراجحة.

فهرس المحتويات
المقدمة
أساسيات مبدأ عدم المراجحة
أمثلة على المراجحة
مبدأ عدم المراجحة والاحتمالات
تحليل حالة مراجحة: تبادل العملات
الخاتمة

المقدمة

يُعتبر مبدأ عدم المراجحة أحد الركائز الأساسية لنظرية الأسواق المالية والنماذج الرياضية التي تصفها. ينص هذا المبدأ على أنه في الأسواق الكفؤة بما يكفي، يجب ألا توجد فرص لتحقيق أرباح مضمونة دون تحمل مخاطر أو استثمار أولي، أو أن تكون هذه الفرص قصيرة الأمد. بعبارة أخرى، أي اختلافات في الأسعار تتيح تحقيق أرباح فورية دون تكلفة ستُصحح بسرعة بفعل قوى السوق. مع ذلك، قد تنشأ مثل هذه الفرص في الأسواق الواقعية بشكل مؤقت بسبب الاحتكاكات، تكاليف المعاملات، أو المعلومات غير الكاملة، لكنها تميل إلى التلاشي عندما يتعرف المشاركون عليها ويتصرفون بناءً عليها.

ما هي قوى السوق؟

قوة السوق هي عامل أو مجموعة عوامل تؤثر على ديناميكيات العرض والطلب. تحدد هذه القوى أسعار السلع والخدمات، الكميات المتداولة، وسلوك الجهات الاقتصادية (مثل المستهلكين، الشركات، والحكومات). تعمل هذه القوى في سياق اقتصادات السوق، حيث تحدد التفاعلات الحرة بين المشترين والبائعين شروط التبادل.

تشمل القوى الرئيسية للسوق ما يلي:

• العرض: يمثل كمية السلع أو الخدمات التي يرغب المنتجون في بيعها بأسعار مختلفة خلال فترة زمنية محددة.
• الطلب: يمثل كمية السلع أو الخدمات التي يرغب المستهلكون في شرائها بأسعار مختلفة خلال فترة زمنية محددة.
• المنافسة: درجة التنافس بين الشركات التي تقدم منتجات أو خدمات متشابهة. يؤدي التنافس الأكبر عادة إلى خفض الأسعار وتحسين الجودة.
• التوقعات: التنبؤات حول الأسعار المستقبلية، توفر المنتجات، أو التغيرات الاقتصادية يمكن أن تؤثر على قرارات العرض والطلب.
• العوامل الخارجية: تشمل التغيرات التنظيمية، الابتكارات التكنولوجية، الاتجاهات الاجتماعية، أو الأحداث مثل الكوارث الطبيعية والأزمات الاقتصادية.

يضمن مفهوم عدم المراجحة الحفاظ على استقرار وتماسك الأسواق، حيث أن وجود فرص المراجحة يمكن أن يخلق اختلالات في الأسعار ويشجع ممارسات مضاربة غير مستدامة. لا يشكل هذا المبدأ فقط أساسًا نظريًا للنماذج المالية، بل ينعكس أيضًا في السلوك الفعلي للأسواق في معظم الحالات.

في هذا السياق، يعد مبدأ عدم المراجحة أساسًا لنمذجة وتحليل أسعار الأصول المالية، المشتقات، وغيرها من الأدوات المعقدة. تكمن أهميته في أنه إذا لم يتحقق هذا المبدأ، فلن يكون بالإمكان الحفاظ على سوق مستقر أو صياغة نظرية مالية متماسكة.

أساسيات مبدأ عدم المراجحة

يستند مبدأ عدم المراجحة إلى فكرة أن الأسواق الكفؤة تصحح بسرعة أي اختلال في أسعار الأصول يمكن أن يؤدي إلى تحقيق أرباح دون مخاطر. يعد هذا المفهوم حاسمًا سواء من منظور نظري أو عملي، وهو متجذر بعمق في عمل الأسواق المالية الحديثة.

التعريف الرسمي

من منظور رياضي، يمكن التعبير عن مبدأ عدم المراجحة بشكل رسمي من خلال الشروط التالية، التي تفترض سوقًا مثاليًا بمعلومات كاملة وبدون تكاليف معاملات:

• لا يمكن أن يولد محفظة استثمارية ذات قيمة ابتدائية V(0) = 0 قيمة مستقبلية إيجابية مع احتمال 1. هذا يعني أنه لا يمكن ضمان أرباح بدون مخاطر. رسميًا:

\forall V \left[\left(V(0) = 0\right) \rightarrow \left(\nexists t > 0\right) \left(P(V(t) > 0) = 1\right)\right]

• إذا كانت المحفظة الاستثمارية ذات قيمة ابتدائية معدومة وحققت قيمة مستقبلية إيجابية (V(1) > 0) بدون مخاطر، فإن هذا يشير إلى وجود فرصة مراجحة. في الأسواق الكفؤة، يتم تصحيح هذه الفرص بسرعة من خلال التعديلات في العرض والطلب.

في الواقع، على الرغم من أن الأسواق الحقيقية تتضمن تكاليف معاملات، معلومات غير كاملة، واحتكاكات، يظل مبدأ عدم المراجحة مرجعًا مفاهيميًا رئيسيًا لتحليل الأسعار وتصميم نماذج مالية متماسكة.

بعبارات بسيطة، يضمن المبدأ عدم وجود سيناريوهات يمكن فيها للمستثمر تحقيق ربح مضمون دون مخاطر أو استثمار أولي. إن غياب هذه الفرص يصبح شرطًا أساسيًا لتماسك النماذج المالية.

التبرير العملي

في الممارسة العملية، تكون فرص المراجحة نادرة للغاية، وعندما تحدث، تكون قصيرة الأمد. يعود ذلك إلى أن الأسواق تميل إلى تصحيح الفجوات في الأسعار بسرعة بسبب نشاط المستثمرين، المعروفين باسم المراجحين، الذين يستفيدون من هذه الفرص.

على سبيل المثال، إذا كان سعر أصل أقل في سوق مقارنة بسوق آخر، فإن المراجحين سيشترون في السوق الأرخص ويبيعون في السوق الأغلى. يؤدي هذا النشاط إلى زيادة الطلب في السوق الأرخص والعرض في السوق الأغلى، مما يؤدي إلى توازن الأسعار وإزالة فرصة المراجحة.

يضمن استبعاد المراجحة أن تعكس الأسعار العلاقة الحقيقية للقيمة بين الأصول، مما يسهم في كفاءة السوق ويسهل تقييم الأدوات المالية مثل المشتقات أو العقود المستقبلية.

ماذا سيحدث إذا كان مبدأ عدم المراجحة غير صحيح؟

التأثيرات الأولية

إذا كان مبدأ عدم المراجحة غير صحيح بشكل منهجي، فإن الفاعلين ذوي الموارد الأكبر يمكنهم توجيه كميات كبيرة من السيولة ورأس المال الممول نحو الأصول المراجحة، مستفيدين من هذه الفرص بشكل منهجي. سيشجع هذا الاستخدام المفرط للائتمان، خصوصًا في ظل انخفاض معدلات الفائدة أو ضعف التنظيم المالي. كنتيجة لذلك، قد تزداد مؤقتًا كمية الأموال المصرفية والسيولة في بعض الأسواق.

مع ذلك، في الواقع، تميل فرص المراجحة إلى أن تكون عابرة نتيجة للتفاعل المشترك بين المشاركين في السوق والهيئات التنظيمية. تلعب هذه الأخيرة دورًا حاسمًا في منع التشوهات المطولة من خلال وضع حدود على الرافعة المالية، تنظيم أسواق المشتقات، وتعزيز الشفافية. بالإضافة إلى ذلك، تسهم تدخلات البنوك المركزية والمنافسة بين وكلاء السوق في استعادة توازن الأسعار بسرعة عند ظهور الاختلالات.

الأثر على الأسعار والاستقرار المالي

طالما استمرت هذه الفرص، قد لا تعكس أسعار السلع المراجحة أو معدلات الفائدة بشكل مناسب ظروف السوق. سيشجع هذا الاستخدام غير المنضبط للائتمان، المضاربات المالية، ومخاطر الفقاعات في أسعار الأصول، بالإضافة إلى خلق تقلبات في معدلات الفائدة.

التبعات على الاقتصاد الحقيقي

إذا كانت السلع المراجحة مواد أساسية أو رئيسية للاقتصاد، فقد تؤثر هذه الديناميكيات على قطاعات أخرى مرتبطة، مما يؤدي إلى تفاقم الاختلالات وزيادة التضخم. سيكون هذا التأثير واضحًا بشكل خاص في الأسواق ذات العرض المحدود أو القدرة الإنتاجية المحدودة. بالإضافة إلى ذلك، قد يتضخم التضخم إذا شملت أنشطة المراجحة نسبة كبيرة من السوق وكانت الطلبات على هذه السلع غير مرنة.

تحويل الموارد وعدم المساواة

سيشجع هذا السيناريو تحويل الموارد نحو الأنشطة المضاربية، مما يؤدي إلى تآكل كفاءة السوق وزيادة عدم المساواة الاقتصادية. في النهاية، قد تتطلب الاختلالات المتراكمة إجراءات تنظيمية صارمة، مثل فرض قيود على رأس المال، تعديلات في معدلات الفائدة، أو وضع حدود على الرافعة المالية. رغم أن هذه الإجراءات ضرورية، فإنها قد تحد من الابتكار المالي وتجعل الأسواق أكثر صلابة.

أمثلة على المراجحة

تُعدُّ الأمثلة العملية ضرورية لفهم كيفية ظهور فرص المراجحة وكيفية تصحيحها في الأسواق الكفؤة. فيما يلي حالتان توضيحيتان:

المراجحة الفورية

افترض أن تاجرين، A في نيويورك وB في لندن، يقدمان أسعار صرف مختلفة للجنيه الإسترليني (GBP) مقابل الدولار الأمريكي (USD):

• يشتري التاجر A في نيويورك الجنيه الإسترليني بسعر d_A = 1,62\,\text{USD/GBP}.
• يبيع التاجر B في لندن الجنيه الإسترليني بسعر d_B = 1,60\,\text{USD/GBP}.

يمكن تمثيل هذا السيناريو كمحفظة استثمارية ذات قيمة ابتدائية t = 0 كالتالي:

V(0) = 0

إذا استغللنا الفروق في الأسعار، يمكن تعريف دورة المراجحة كما يلي:

1. نقترض 1.600\,\text{USD} ونستخدمها لشراء 1.000 \, \text{GBP} من التاجر B في لندن، حيث سعر الصرف d_B = 1,6\,\text{USD/GBP}، لأن:
   

   1.000\,\text{GBP} \cdot d_B = 1.000 \text{GBP} \cdot 1,6\,\dfrac{\text{USD}}{\text{GBP}}= 1.600\,\text{USD}

2. نبيع نفس 1.000\,\text{GBP} للتاجر A في نيويورك، مما يحقق إجماليًا قدره 1.620\,\text{USD} لأن:
   

   1.000\,\text{GBP} \cdot d_A = 1.000\,\text{GBP} \cdot 1,62\,\dfrac{\text{USD}}{\text{GBP}} = 1.620\,\text{USD}

3. بعد إتمام عملية البيع، نسدد القرض الذي اقترضناه في البداية 1.600\,\text{USD} ونحتفظ بالفرق 20\,\text{USD}.

من خلال هذا الإجراء، تصبح قيمة المحفظة، التي كانت V(0)=0، لها الآن قيمة مستقبلية V(1) = 20\,\text{USD} بنسبة احتمالية 1، مما ينتهك مبدأ عدم المراجحة.

في هذه الحالة، قد يتساءل البعض: إذا كان بإمكاني كسب 20 \, \text{USD} دون مخاطرة عند اقتراض 1.600 \, \text{USD}، فما الذي يمنعني من تضخيم أرباحي من خلال اقتراض مبلغ أكبر بكثير؟ على سبيل المثال، إذا اقترضت 160.000 \, \text{USD}، يمكنني كسب 2.000 \, \text{USD}. ولكن، مثلما أدركت أنت هذه الفرصة، سيفعل العديد من المستثمرين الآخرين الشيء نفسه، مما يخلق طلبًا كبيرًا على التاجر B وعرضًا كبيرًا للتاجر A. هذه الديناميكيات ستؤدي بسرعة إلى تعديل كلا التاجرين لأسعارهما لتعكس توازن السوق.

من المهم أن نتذكر أن التجار يسعون أيضًا لتعظيم أرباحهم. إذا لاحظوا زيادة كبيرة في الطلب، فسيزيدون أسعارهم للاستفادة بشكل أكبر؛ على العكس، إذا زاد العرض بشكل مفرط، فسيضطرون إلى خفض الأسعار للبقاء تنافسيين. يضمن هذا التعديل الديناميكي للأسعار في السوق الكفؤة إزالة أي فرصة للمراجحة.

المراجحة الزمنية

افترض أن تاجرين، A في نيويورك وB في لندن، يقدمان الأسعار التالية للجنيه الإسترليني (GBP) مقابل الدولار الأمريكي (USD):

• يوافق التاجر A في نيويورك على شراء الجنيه الإسترليني خلال عام بسعر مستقبلي d_A = 1,58\,\text{USD/GBP}.
• يبيع التاجر B في لندن الجنيه الإسترليني اليوم بسعر d_B = 1,60\,\text{USD/GBP}.

بالإضافة إلى ذلك، نفترض أن:

• يمكن اقتراض الدولار الأمريكي بمعدل سنوي قدره 4٪.
• يمكن إيداع الجنيه الإسترليني في حساب مصرفي بفائدة سنوية قدرها 6٪.

يمكن تمثيل هذا السيناريو كمحفظة استثمارية ذات قيمة ابتدائية t = 0 كالتالي:

V(0) = 0

إذا استغللنا الفروق في الأسعار ومعدلات الفائدة، يمكن تعريف دورة المراجحة كما يلي:

1. نقترض 10.000\,\text{USD}. نحول هذا المبلغ إلى جنيهات إسترلينية باستخدام سعر الصرف للتاجر B d_B = 1,60\,\text{USD/GBP}، لنحصل على:

10.000\,\text{USD} \div 1,60\,\dfrac{\text{USD}}{\text{GBP}} = 6.250\,\text{GBP}

2. نودع 6.250\,\text{GBP} في حساب مصرفي يدفع فائدة سنوية قدرها 6٪. بعد عام، يصبح الرصيد الإجمالي بالجنيه الإسترليني:

6.250\,\text{GBP} \cdot (1 + 0,06) = 6.625\,\text{GBP}

3. نحول 6.625\,\text{GBP} إلى دولارات أمريكية باستخدام السعر المستقبلي للتاجر A d_A = 1,58\,\text{USD/GBP}، لنحصل على:

6.625\,\text{GBP} \cdot 1,58\,\dfrac{\text{USD}}{\text{GBP}} = 10.467,50\,\text{USD}

4. نسدد القرض الأصلي البالغ 10.000\,\text{USD} بالإضافة إلى الفائدة بنسبة 4٪، والتي تصل إلى:

10.000\,\text{USD} \cdot (1 + 0,04) = 10.400\,\text{USD}

5. نحتفظ بالفرق كربح صافٍ:

10.467,50\,\text{USD} - 10.400\,\text{USD} = 67,50\,\text{USD}

في هذه الحالة، المحفظة الاستثمارية التي كانت قيمتها الابتدائية V(0) = 0 أصبحت الآن ذات قيمة مستقبلية V(1) = 67,50\,\text{USD}، مشروطة بأن يكون السعر المستقبلي d_A = 1,58\,\text{USD/GBP} محققًا بنسبة احتمالية 1. ومع ذلك، في سيناريو واقعي، هذا السعر المستقبلي ينتمي إلى نطاق من القيم المحتملة المرتبطة باحتمالات مختلفة. وبالتالي، احتمالية أن يكون V(1) > 0 تعتمد على احتمال أن يكون السعر المستقبلي ضمن نطاق مناسب.

يمكن حساب نطاق الأسعار المستقبلية d_A الذي يحقق ربحًا كالتالي:

d_A > \frac{10.400}{6.625} \approx 1,57\,\text{USD/GBP}

لذلك، لكي تحقق المحفظة ربحًا (V(1) > 0)، يجب أن يكون السعر المستقبلي أكبر من 1,57\,\text{USD/GBP}.

مبدأ عدم المراجحة والاحتمالات

على المدى القصير، يظهر مبدأ عدم المراجحة صحته من خلال التعديلات السريعة للأسعار، بينما على المدى الطويل، يعتمد تطبيقه على دمج الاحتمالات لنمذجة التوقعات حول القيم المستقبلية.

ملاحظة مثيرة للاهتمام هي أنه، على المدى الطويل، يمكن توسيع النموذج البسيط للسوق ليشمل توزيع الاحتمالات المرتبطة بالأسعار المستقبلية. يتيح ذلك التعبير عن احتمالية نجاح المراجحة كاحتمال أن يكون سعر الصرف المستقبلي ضمن نطاق مناسب، ممثلًا بالمعادلة:

\displaystyle P(V(1) > 0) = \int_{d_{\text{mín}}}^{\infty} P(d_A) \, \text{d}d_A

في هذا الإطار الموسع، يمكن أيضًا حساب القيمة المتوقعة للمحفظة لتقييم التوازن بين المخاطر والعوائد:

\displaystyle E(V(1)) = \int_{-\infty}^{\infty} V(1) \cdot P(V(1)) \, \text{d}V(1)

بهذا الشكل، لا يصف مبدأ عدم المراجحة فقط إزالة فرص الربح الآمنة، بل يدمج أيضًا ديناميكيات المخاطر والاحتمالات في سيناريوهات تعتمد فيها المراجحة على نتائج مستقبلية غير مؤكدة.

تحليل حالة مراجحة: تبادل العملات

في 19 يوليو 2002، قدم تاجران، A في نيويورك وB في لندن، الأسعار التالية لتبادل اليورو (EUR)، الجنيه الإسترليني (GBP)، والدولار الأمريكي (USD):

حدد فرصة للربح دون مخاطرة باستخدام أسعار الصرف المقدمة من التاجرين A وB. قم بوصف دورة المراجحة واحسب صافي الربح.

الحل

للبحث عن حلول لهذه الحالة، الخطوة الأولى هي تحديد معدلات التحويل المختلفة، سواء للشراء أو البيع، لكل من التاجرين، وتحديدها بطريقة منظمة ومناسبة. لهذا، سنراجع كيف يتم إنتاج معاملات الشراء والبيع من الجدول.

أولاً، دعونا نراجع كيفية تفسير هذه الجداول

بالنسبة للتاجر A:

1. إذا كان لديك €\,1، سيشتريه منك مقابل \$\,1,0202.
2. إذا كنت تريد €\,1، سيبيعه لك مقابل \$\,1.0284.

يمكننا تمثيل هذه العمليات من خلال المعادلات التالية:

\begin{array}{rl} \text{شراء يورو مقابل دولار:} & {x_A}^{\$} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{€}}^{\$}x^{€}\\ \\ \text{بيع يورو مقابل دولار:} & {x_A}^{€} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{\$}}^{€}x^{\$} \end{array}

حيث أن x^{\$} و x^{€} هما الكميتان اللتان يوفرهما المستخدم، {x_A}^{\$} و {x_A}^{€} هما ما يقدمه التاجر A مقابل ذلك بالدولار واليورو على التوالي، وأخيرًا {\left[{\tau_{A}}\right]_{€}}^{\$}= \$\,1,0202/€ و {\left[{\tau_{A}}\right]_{\$}}^{€}=€/\$\,1,0284 هما معدلات التحويل المعنية لكل عملية.

بهذه الطريقة، يمكننا تلخيص عمليات الشراء والبيع بشكل منظم للتاجرين مع معدلات التحويل المعنية لكل معاملة:

تحليل الدورات للبحث عن فرص المراجحة

تتكون دورة المراجحة الأساسية من الشراء في سوق، والبيع في سوق آخر، والحصول على ربح من الفرق، وتكرار العملية. باستخدام الصيغ التي طورناها، يمكن تفسير كل عملية شراء وبيع كتطبيق متتالي للتحويلات التي تحددها معدلات التحويل. من المهم التأكد من العودة إلى العملة الأصلية لإجراء مقارنة فعالة وتقييم نتيجة الدورة.

مثال على دورة تسبب خسائر

يمكننا استخدام كمية x^{\$} من الدولارات، والتي سيشتريها التاجر B، مما يمنحنا كمية {x_B}^{£} = {\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£}x^{\$} من الجنيه الإسترليني. بعد ذلك، إذا ذهبنا إلى التاجر A، فإنه سيشتريها منا ويدفع لنا كمية {x_A}^{\$} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}{x_B}^{£} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}{\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£}x^{\$} من الدولارات. وبالتالي، الفرق بين الكمية النهائية والأصلية من الدولارات سيكون كما يلي:

\begin{array}{rl} {\Delta_{AB}}(x^{\$}) &= {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}{\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£}x^{\$} - x^{\$} \\ \\ &= \left( {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}{\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£} - 1 \right)x^{\$} \approx -0,00992 x^{\$} \end{array}

هذا يشير إلى وجود خسائر. بناءً على هذا التحليل، يمكننا أن نستنتج أن الفرق سيكون مربحًا فقط إذا، وفقط إذا، كان حاصل ضرب معدلات التحويل المعنية أكبر من 1. علاوة على ذلك، يمكن ملاحظة أن أي عملية شراء وبيع للعملات تعود إلى العملة الأصلية ستكون دورية، مما يسهل تحديد جميع الدورات المحتملة للشراء والبيع ويسمح بالعثور على فرص المراجحة.

مثال على دورة مربحة

لاحظ أن {[\tau_B]_{\$}}^{£} {[\tau_A]_{€}}^{\$} {[\tau_B]_{£}}^{€} = \dfrac{1}{0,6401} \cdot 1,0202 \cdot 0,6299 \approx 1,00394. بناءً على ذلك، يمكننا تحديد ربح بالجنيه الإسترليني على النحو التالي:

{\Delta_{BAB}}(x^{£}) = \left({[\tau_B]_{\$}}^{£} {[\tau_A]_{€}}^{\$} {[\tau_B]_{£}}^{€}-1 \right)x^{£} \approx 0,003943 x^{£}

يمكن تلخيص الإجراء كما يلي: اذهب إلى التاجر B بمبلغ x^{£} من الجنيه الإسترليني لشراء اليورو، ثم استخدم اليورو الذي حصلت عليه للذهاب إلى التاجر A وشراء الدولارات. أخيرًا، عد إلى التاجر B لشراء الجنيه الإسترليني بالدولارات التي حصلت عليها. إذا بدأنا العملية باقتراض £\,10.000، فسنحصل عند الانتهاء وبعد سداد القرض على ربح صافٍ تقريبي كما يلي:

{\Delta_{BAB}}(£\,10.000) \approx 0,003943 \cdot £\,10.000 = £\,39,43