قانون كولوم والقوة الكهربائية الساكنة

لم يوسع “قانون كولوم والقوة الكهربائية الساكنة” فهمنا للقوى الكهربائية فقط، بل أضاف أيضًا قصصًا طريفة. على سبيل المثال، بنجامين فرانكلين، أثناء تجربة لاستخدام الكهرباء لصعق وطهي ديك رومي، انتهى به المطاف ليكون هو موضوع التجربة: حيث تركته صاعقة مذهولًا وشعره منتصبًا، وكأنه يمثل خطوط الحقل الكهربائي في الحياة الواقعية. والآن، حان دورنا لدراسة القوى الكهربائية.

أهداف التعلم:
بحلول نهاية هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على:

1. نمذجة الظواهر الكهربائية باستخدام مبدأ التراكب لحساب القوة الناتجة على شحنة اختبار.
2. تبسيط دراسة القوى الكهربائية من خلال تقييدها بالحالة الساكنة.
3. تطبيق قانون كولوم لتحديد القوة بين شحنتين في مواقف متنوعة.
4. تحليل الأنظمة التي تركز على مصدر الشحنات باستخدام صيغة مبسطة لقانون كولوم.
5. حل مشكلات عملية تتعلق بتوزيعات الشحنات.

جدول المحتويات:
مبدأ التراكب
التبسيط الكهربائي الساكن
قانون كولوم
قانون كولوم للأنظمة التي تركز على مصدر الشحنات
تمارين

حان الآن الوقت لبدء النمذجة الرياضية لهذه الظواهر، ولهذا الغرض سنقدم قانون كولوم. ولكن قبل ذلك، من الضروري شرح بعض النقاط، وهي: مبدأ التراكب والتبسيط الكهربائي الساكن.

مبدأ التراكب

تتمثل المشكلة الأساسية في الديناميكا الكهربائية في تحديد القوة التي تمارسها “سحابة” من الشحنات الكهربائية q_1, q_2, \cdots على شحنة اختبار q_0، عندما تكون مواضع كل منها دالة معروفة للزمن. عمومًا، تكون كل من الشحنات المصدرية وشحنة الاختبار في حركة نسبية.

يتم تسهيل حل هذه المشكلة من خلال مبدأ التراكب، الذي يخبرنا أن تفاعل شحنة الاختبار مع أي مصدر هو مستقل تمامًا عن التفاعلات مع المصادر الأخرى. هذا يعني أنه من الممكن دائمًا تحديد القوة \vec{F}_1 التي ينتجها المصدر q_1، والقوة \vec{F}_2 الناتجة عن q_2 وهكذا، وأخيرًا جمعها للحصول على القوة الكلية:

\vec{F}_{tot} = \displaystyle \sum_{i}\vec{F}_i

التبسيط الكهربائي الساكن

إذا كان المطلوب فقط هو جمع القوى، فيمكن القول إنه يكفي الإشارة إلى المعادلة التي تصف القوة التي يمارسها كل مصدر شحنة على شحنة الاختبار وستكون المشكلة قد حُلت؛ ومع ذلك، فإن المشكلة ليست بهذه البساطة. تكمن المشكلة في أن القوة لا تعتمد فقط على المسافة وحجم الشحنات، بل تعتمد أيضًا على السرعة والتسارع النسبي لكل جسيم. بالإضافة إلى ذلك، فإن “المعلومات الكهربائية” حول تغييرات الموقع والسرعة والتسارع لكل جسيم تنتقل بسرعة الضوء، مما يعني أنها تستغرق وقتًا معينًا للوصول إلى شحنة الاختبار وإحداث تأثيرها.

لذلك، بهدف تبسيط دراستنا الآن، سنقيد دراستنا بالحالة الكهربائية الساكنة، أي أن جميع مصادر الشحنات ستظل ثابتة، وستكون شحنة الاختبار فقط هي القابلة للحركة؛ وفي هذا السياق يظهر قانون كولوم.

قانون كولوم

لنفترض أن لدينا شحنة اختبار q_0 موجودة عند الموضع \vec{r}، ومصدر شحنة q موجود عند الموضع \vec{r}^\prime. ما هي القوة \vec{F}_{q \to q_0}(\vec{r}) التي يمارسها مصدر الشحنة على شحنة الاختبار؟ الإجابة على هذا السؤال تأتي من قانون كولوم، والذي يُعبر عنه بالصيغة التالية:

\vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime \|^2} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|}

لا يلخص قانون كولوم فقط قاعدة الإشارات للقوة الكهربائية الساكنة، ولكنه يحدد أيضًا أن القوة بين الشحنات الكهربائية تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة بينهما.

الثابت \epsilon_0 يُسمى ثابت السماحية الكهربائية للفراغ. وقيمته في النظام الدولي للوحدات هي:

\displaystyle \epsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \left[ \frac{C^2}{N\cdot m^2}\right]

قانون كولوم للأنظمة التي تركز على مصدر الشحنات

يمكن التعبير عن قانون كولوم بطريقة أبسط إذا وضعنا المراقب عند مصدر الشحنات، أي: \vec{r}^\prime = \vec{0}. في هذه الحالة، نحصل على:

\displaystyle \vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \frac{\vec{r} }{\|\vec{r} \|} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \hat{r}

حيث \hat{r}=\vec{r}/\|\vec{r}\| هو المتجه الوحدوي الذي يشير من المصدر إلى شحنة الاختبار.

تمارين

1. تم وضع 12 شحنة نقطية بنفس الحجم q عند زوايا مضلع منتظم ذي 12 ضلعًا (مثل أرقام الساعة). ما هي القوة الصافية على شحنة نقطية q موضوعة في المركز؟
2. تم إزالة إحدى الشحنات الـ 12 من التمرين السابق، لنفترض أنها الشحنة الموجودة عند موضع الساعة 12 (إذا تصورنا شكل الساعة). ما هي القوة التي ستشعر بها الآن الشحنة الموجودة في المركز؟
3. قم بتمديد التفكير في التمرينين السابقين، ولكن هذه المرة لتوزيع n من مصادر الشحنات موزعة على مضلع منتظم ذو n ضلعًا مع شحنة اختبار في المركز.
4. هناك ثلاث شحنات نقطية: q_1=+3[nC] موقعها عند (0;0)[mm], q_2=-5[nC] موقعها عند (0,56;0)[mm], و q_3=+7[nC] موقعها عند (1;1)[mm]. احسب القوة الكلية على الشحنة q_3.
5. على خط مستقيم، هناك شحنة q_1 = 3[C] وشحنة أخرى q_2 = 7[C] على مسافة 40[mm] منه. إذا وُضعت شحنة ثالثة بينهما بحيث تكون القوة الصافية عليها صفرًا، فما هي المسافة بين هذه الشحنة الثالثة والشحنتين الأخريين؟
6. تم وضع كرتين صغيرتين من النحاس، كل واحدة منهما ذات كتلة 0.040[kg]، على مسافة 2.0[m] بينهما. مع الأخذ في الاعتبار أن الكتلة المولارية للنحاس هي 63.5[g/mol] ورقمه الذري هو 20، أجب عن الأسئلة التالية:
   1. كم عدد الإلكترونات في كل كرة؟
   2. كم عدد الإلكترونات التي يجب نقلها من كرة إلى أخرى لتوليد قوة جذب بين الكرتين تبلغ حوالي 10^4[N]؟
   3. ما هي نسبة هذا العدد إلى العدد الكلي للإلكترونات في الكرة؟