Maxima und Minima einer Funktion

Wo liegt der „beste“ Punkt einer Funktion: das Maximum, das man erreichen möchte, oder das Minimum, das man vermeiden muss? Diese Frage, die in der Optimierung, Physik, Ökonomie und Ingenieurwissenschaften auftritt, ist eine der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung. Und hier kommt der entscheidende Punkt: Der Satz von Weierstrass garantiert, dass, wenn $f$ stetig ist und man auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall arbeitet, dann absolute Extrema existieren. Von dort an wird das Vorgehen praktisch: zu lernen, lokale Extrema mithilfe von kritischen Punkten zu erkennen ( $f'(x)=0$ oder nicht existent) und Werkzeuge wie den Satz von Rolle und den Mittelwertsatz zu verwenden, um eine „blinde“ Suche in eine klare, überprüfbare und effiziente Methode zu verwandeln.

Lernziele:

Durchführen eines vollständigen Verfahrens zur Bestimmung absoluter Extrema in $[a,b]$ : Auswertung von $f$ an inneren kritischen Punkten und an den Randpunkten des Intervalls sowie Vergleich der Werte zur Entscheidung über absolutes Maximum und absolutes Minimum.
Gegenüberstellen des Wertes einer notwendigen gegenüber einer hinreichenden Bedingung: erkennen, dass „ $f'(x_0)=0$ “ kein lokales Extremum garantiert, und entscheiden, welche zusätzlichen Evidenzen (Wertevergleich, Vorzeichenanalyse, lokales Verhalten) in jedem Fall relevant sind.
Bestimmen der effizientesten Strategie je nach Problemtyp: absolute Extrema auf kompakten Intervallen (Weierstrass + endliche Auswertung) versus lokale Extrema an inneren Punkten (kritische Punkte + lokale Analyse), mit entsprechender Begründung der Wahl.

INHALTSVERZEICHNIS:
Maxima und Minima, absolute und lokale Extrema
Kriterium der 1. Ableitung
Der Satz von Rolle
Der Differentiale Mittelwertsatz
Intervalle des Wachstums und der Abnahme

Der Satz von Weierstrass garantiert uns, dass, wenn eine reelle Funktion auf einer abgeschlossenen und beschränkten Teilmenge von $\mathbb{R}$ definiert und stetig ist, sie notwendigerweise maximale und minimale Werte (absolute Extrema) annimmt. Die Suche nach Maxima und Minima einer Funktion ist das, was man als ein Optimierungsproblem bezeichnet, und der Satz von Weierstrass garantiert die Existenz von Lösungen im Sinne absoluter Extrema, sofern die Funktion stetig ist und der Definitionsbereich kompakt ist. Nachdem die Existenz gesichert ist, bleibt nun nur noch, Strategien zu entwickeln, die es erlauben, diese Lösungen zu finden.

Maxima und Minima, absolute und lokale Extrema

Bevor wir mit der Betrachtung beginnen von Strategien zur Suche nach Maxima und Minima, definieren wir klar, wonach wir eigentlich suchen wollen.

DEFINITION:
Sei $f$ eine Funktion mit Definitionsbereich $D$ . Wir sagen, dass $f$ ein absolutes Maximum an einem Punkt $x_0\in D$ annimmt, wenn:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

und ein absolutes Minimum in $x_0$ annimmt, wenn:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

In analoger Weise werden lokale Extrema (relativ zum Definitionsbereich) definiert.

DEFINITION:
Sei $f$ eine Funktion mit Definitionsbereich $D$ und sei $x_0\in D$ . Wir sagen, dass $f$ ein lokales Maximum in $x_0$ annimmt, wenn:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

und ein lokales Minimum in $x_0$ annimmt, wenn:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

Ausgehend davon können wir das folgende Resultat formulieren:

THEOREM:

Sei $x_0$ ein Punkt im Inneren eines kompakten Intervalls $I$ . Wenn $f$ in $x_0$ ein lokales Maximum oder Minimum annimmt und $f^\prime(x_0)$ existiert, dann gilt $f^\prime(x_0)=0$ .

BEWEIS:
Angenommen, $f$ nimmt in $x_0$ ein lokales Maximum an. Dann existiert ein $h_0 \gt 0$ , sodass für alle $h$ mit $|h|\lt h_0$ und mit $x_0+h\in I$ gilt:

$f(x_0 + h)\leq f(x_0)$

was äquivalent ist zu:

$f(x_0 + h) - f(x_0)\leq 0$

Betrachten wir nun zwei Fälle:

Falls $h>0$ , dann gilt:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\leq 0$
Falls $h\lt 0$ , dann gilt:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\geq 0$

Existiert $f^\prime(x_0)$ , so existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten für $h\to 0$ und muss mit beiden Ungleichungen vereinbar sein, was erzwingt, dass:

$\displaystyle f^\prime(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0$

Genau das war zu zeigen.

Es ist zu beachten, dass dieser Beweis auch für lokale Minima gültig ist. In diesem Fall beginnt man mit: $f(x_0+h)\ge f(x_0)$ für hinreichend kleines $|h|$ .

Kriterium der 1. Ableitung

Das Ergebnis, das wir gerade betrachtet haben lässt sich in der folgenden Implikation zusammenfassen:

$\left\{\begin{matrix}f \text{ nimmt ein}\\ \text{lokales Extremum in }x_0 \text{ an} \end{matrix}\right\} \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle f^\prime(x_0) = 0 \\ \\ \vee \\ \\ \text{Die Ableitung existiert in }x_0 \text{ nicht} \end{matrix}\right\}$

Auch wenn die Umkehrung dieser Implikation im Allgemeinen nicht gilt, ist sie dennoch sehr nützlich, um die Suche nach lokalen Extrema einzugrenzen. Auf dieser Grundlage werden die kritischen Punkte der ersten Ableitung definiert.

DEFINITION:
Man sagt, dass $x_0$ ein kritischer Punkt der ersten Ableitung ist, wenn $f^\prime(x_0)=0$ gilt oder wenn $f^\prime(x_0)$ nicht existiert.

Die kritischen Punkte der ersten Ableitung sind relevant, da jeder Punkt, an dem die Funktion ein Extremum annimmt (lokal oder absolut), zur Menge der kritischen Punkte gehören muss:

$\left\{\begin{matrix}\text{Punkte, die}\\ \text{absolute Extrema annehmen}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{Punkte, die}\\ \text{lokale Extrema annehmen}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{kritische Punkte der}\\ \text{ersten Ableitung}\end{matrix}\right\}$

Dies ist das, was wir als Kriterium der ersten Ableitung bezeichnen, verstanden als eine notwendige Bedingung für die Existenz lokaler Extrema an inneren Punkten.

Der Satz von Rolle

Wir haben bereits gesehen, dass die Bestimmung kritischer Punkte der ersten Ableitung entscheidend für die Suche nach lokalen Extrema ist. Aus diesem Grund ist es naheliegend zu untersuchen, unter welchen Bedingungen die Existenz solcher kritischer Punkte garantiert werden kann. Ein Fortschritt in dieser Hinsicht ergibt sich aus dem Satz von Rolle.

THEOREM:
Sei $f$ eine auf $[a,b]$ definierte und stetige Funktion und in $]a,b[$ differenzierbar. Gilt $f(a)=f(b)$ , so existiert ein $c\in]a,b[$ derart, dass $f^\prime(c)=0$ .

BEWEIS:
Wir analysieren zwei Möglichkeiten:

Gilt für alle $x\in]a,b[$ , dass $f(x)=f(a)=f(b)$ , so ist $f$ konstant und folglich gilt $f^\prime(x)=0$ für alle $x\in]a,b[$ . Insbesondere existiert ein $c\in]a,b[$ mit $f^\prime(c)=0$ .
Existiert ein $x\in]a,b[$ mit $f(x)\neq f(a)=f(b)$ , so ist $f$ nicht konstant. Da $f$ auf $[a,b]$ stetig ist, erreicht sie nach dem Satz von Weierstrass ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum auf $[a,b]$ .
Außerdem muss, da $f(a)=f(b)$ gilt und $f$ nicht konstant ist, mindestens eines dieser Extrema im Inneren $]a,b[$ auftreten.
Ist somit $c\in]a,b[$ ein innerer Punkt, an dem $f$ ein lokales Extremum annimmt, so existiert aufgrund der Differenzierbarkeit von $f$ auf $]a,b[$ insbesondere $f^\prime(c)$ , und nach dem vorherigen Satz folgt $f^\prime(c)=0$ .

Der Differentiale Mittelwertsatz

Ein weiteres Ergebnis, das eine direkte Konsequenz der soeben betrachteten Resultate ist und nützliche Informationen für das Studium von Funktionen liefert, ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

THEOREM:
Sei $f$ eine auf $[a,b]$ definierte und stetige Funktion und in $]a,b[$ differenzierbar. Dann existiert ein $c\in]a,b[$ derart, dass:

$f^\prime(c) =\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

BEWEIS:
Sei $F$ die durch

$F(x) = f(x) - \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)$

definierte Funktion.
Diese Funktion ist auf $[a,b]$ stetig und in $]a,b[$ differenzierbar, da $f$ diese Eigenschaften ebenfalls besitzt. Zudem gilt $F(a)=F(b)$ , sodass wir den Satz von Rolle anwenden können, um zu schließen, dass es einen Punkt $c\in]a,b[$ gibt mit $F^\prime(c)=0$ .

Leiten wir nun $F$ ab, so erhalten wir:

$F^\prime(x) = f^\prime(x) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Auswertung in $c$ und Verwendung von $F^\prime(c)=0$ ergibt:

$0=F^\prime(c) = f^\prime(c) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Folglich:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Genau das war zu zeigen.

Intervalle des Wachstums und der Abnahme

THEOREM:

Ist $f$ eine Funktion, für die $(\forall x\in ]a,b[)\left(0\lt f^\prime(x)\right)$ gilt, dann ist $f$ auf $]a,b[$ streng wachsend.
Ist $f$ eine Funktion, für die $(\forall x\in ]a,b[)\left(f^\prime(x)\lt 0\right)$ gilt, dann ist $f$ auf $]a,b[$ streng fallend.

BEWEIS:
Seien $x_1,x_2\in ]a,b[$ mit $x_1 \lt x_2$ . Da $f$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist, können wir den Mittelwertsatz auf $f$ über das Intervall $[x_1,x_2]\subset ]a,b[$ anwenden. Folglich existiert ein Punkt $c\in]x_1,x_2[$ mit:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Daraus folgt:

Ist $f^\prime(c) \gt 0$ , so gilt $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \gt 0$ .
Daher ist $f$ wachsend.
Ist $f^\prime(c) \lt 0$ , so gilt $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \lt 0$ .
Daher ist $f$ fallend.

Das Studium von Maxima und Minima bedeutet nicht nur, „Ableitungen zu berechnen“, sondern zu lernen, eine diffuse Suche in ein Verfahren mit Garantien und klaren Kriterien zu überführen. Weierstrass sagt dir, wann du darauf vertrauen kannst, dass ein Optimum auf einem kompakten Intervall existiert, während das Kriterium der ersten Ableitung, der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz dir die Landkarte liefern, um Kandidaten zu finden und Schlussfolgerungen zu begründen: wo eine Funktion extremisieren kann, wann diese Bedingung lediglich notwendig ist und wie das Vorzeichen von $f'$ Wachstum und Abnahme offenbart. Beherrschst du diese Kette von Ideen, wechselst du von einer intuitiven Betrachtung von Graphen zu einer Optimierung mit überprüfbaren Argumenten, was genau den Unterschied ausmacht zwischen „ich glaube, hier liegt der beste Punkt“ und „ich weiß, warum er hier liegen muss“.