Einführung

Eines der charakteristischsten Elemente der Analysis sind das Unendliche und der Grenzwert im Unendlichen. Das Konzept des Unendlichen verweist nicht auf eine reelle Zahl, sondern versucht vielmehr, eine Größe zu beschreiben, die jede reelle Schranke übersteigt. Zum Beispiel, wenn wir die Funktion f(x) = 1/x betrachten und uns nach ihrem Verhalten fragen, wenn x beliebig groß wird, also x gegen unendlich geht (x\to \infty), so beobachten wir, dass sich f(x) folglich beliebig nahe an Null annähern kann. In diesem Fall schreiben wir:

\displaystyle \lim_{x\to + \infty}\dfrac{1}{x} = 0

Grafisch hat dieses Thema folgendes Erscheinungsbild:

Definition des Grenzwerts im Unendlichen

Ausgehend von dieser gerade eingeführten Idee können wir die mathematische Definition des Grenzwerts im Unendlichen formulieren:

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})(M\lt x \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists N\in\mathbb{R})(x\lt N \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

Die intuitive Vorstellung dieses Grenzwerts zeigt uns, was mit f(x) geschieht, wenn sich x beliebig weit vom Ursprung entfernt, sei es nach rechts oder nach links. Die Strategie zur Berechnung von Grenzwerten im Unendlichen unterscheidet sich nicht wesentlich von der, die wir zur Berechnung endlicher Grenzwerte verwenden, da ihre Algebra praktisch dieselbe ist. Wir müssen lediglich die folgenden Ergebnisse berücksichtigen

Grundlegende Grenzwerte im Unendlichen

Ausgehend von diesen Definitionen können wir die folgenden grundlegenden Grenzwerte beweisen.

1. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}k = k
2. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{1}{x} = 0

BEWEIS:

1. Nach der Definition des Grenzwerts im Unendlichen gilt \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k , was gleichbedeutend ist mit: (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|k-k\right|\lt \epsilon \right). Da jedoch \left|k-k\right|=0\lt \epsilon stets erfüllt ist, und zwar für jedes \epsilon \gt 0, unabhängig vom Wert von M, ist der Grenzwert gesichert.

    

2. Wir wissen, dass nach Definition \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k gleichbedeutend ist mit: (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|\dfrac{1}{x}\right|\lt \epsilon \right). Diese Implikation wird sofort erfüllt, wenn wir M=1/\epsilon wählen, sodass der Grenzwert gesichert ist.

    

Diese Beweise werden analog durchgeführt für den Fall x\to+\infty.

Algebra der Grenzwerte im Unendlichen

Die Algebra der Grenzwerte im Unendlichen ist derjenigen endlicher Grenzwerte analog. Wenn \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}f(x) = L und \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}g(x) = M, dann gelten die folgenden Regeln:

1. Summe und Differenz von Grenzwerten: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\pm g(x)) = L \pm M
2. Multiplikation mit einer Konstante: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}cf(x) = cL
3. Produkt von Grenzwerten: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)g(x) = LM
4. Quotient von Grenzwerten: Vorausgesetzt M\neq 0, gilt \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)/g(x)=L/M
5. Potenzen von Grenzwerten: Falls p,q \in\mathbb{Z} und q\neq 0, dann \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}[f(x)]^{p/q} = L^{p/q}.
   Falls q gerade ist, wird vorausgesetzt, dass L\geq 0

Tatsächlich sind die Beweise all dieser Eigenschaften analog zu denen der endlichen Grenzwerte

Grenzwert im Unendlichen bei rationalen Funktionen

Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Quotient zweier Polynome ausdrücken lässt. Bei der Berechnung von Grenzwerten im Unendlichen für diesen Funktionstyp kann man eine Eigenschaft beobachten, die von großem Nutzen ist:

Angenommen, wir wollen \displaystyle \lim_{x\to \infty}P(x)/Q(x) berechnen

• Wenn der Grad von P(x) größer ist als der von Q(x), dann wächst der Betrag der Funktion f(x) ohne Grenze, wenn x\to\infty (der Grenzwert existiert nicht).
• Wenn der Grad von P(x) kleiner ist als der von Q(x), dann ist der Grenzwert gleich null.
• Und schließlich, wenn der Grad von P(x) gleich dem von Q(x) ist, dann ist der Grenzwert gleich dem Quotienten der Koeffizienten, die die höchste Potenz begleiten.

Das Beste an diesem Ergebnis ist, dass es, wie wir in den folgenden Beispielen sehen werden, analog funktioniert, selbst wenn die beteiligten Potenzen keine ganzen Zahlen sind.

Beispiele für Grenzwerte im Unendlichen

1. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x^2+3} [LÖSUNG]
2. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^3 + 7}{x^3 - x^2 + x + 7} [LÖSUNG]
3. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{9x^4 + x}{2x^4 + 5x^2 - x + 6} [LÖSUNG]
4. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{10x^5 + x4 + 31}{x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 9} [LÖSUNG]
5. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\sqrt{x}+x^{-1}}{3x - 7} [LÖSUNG]
6. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^{5/3} - x^{1/3} + 7}{x^{8/5}+3x + \sqrt{x}} [LÖSUNG]
7. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x}-5x+3}{2x + x^{2/3} - 4} [LÖSUNG]
8. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{8/3}+2x + \sqrt{x}}{x^2+x-3} [LÖSUNG]