Lingua Logicae Propositionalis

Summarium

In hoc commentario recensetur lingua logicae propositionalis ut metalingua adhibita ad expressiones validas linguae basis, ex duobus symbolis compositae, obtinendas. Explicantur regulae syntacticae, notiones variabilium propositionalium et connectoris, atque etiam introductio negationis coniunctae, usus parenthesium et reordinationis ad lectionem expressionum faciliorem reddendam. Praeterea mentionem facimus vocalizationum expressionum logicae propositionalis. Denique lingua logicae propositionalis tamquam instrumentum fundamentale in mathematica et logica perstringitur, et reflectitur de possibilitate inveniendi “linguam basim basis” ex qua reliqua omnia iterum constitui possint.

Proposita Discendi:

Completa hac sectione, exspectatur discipulum posse:

Intelligere notionem metalinguae eiusque usum in logica propositionali.
Comprehendere regulas syntacticas linguae logicae propositionalis.
Nosse notionem variabilis propositionalis eiusque usum in structura expressionum.
Intelligere usum connectoris et negationis coniunctae in lingua logicae propositionalis.
Discere uti parenthesibus et reordinatione ad lectionem expressionum faciliorem reddendam.
Nosse vocalizationes expressionum logicae propositionalis.
Perstringere linguam logicae propositionalis tamquam instrumentum fundamentale in mathematica et logica.
Reflectere de possibilitate inveniendi “linguam basim basis” ex qua reliqua omnia iterum constitui possint.
Adhibere notiones didactas in structura expressionum logicae propositionalis.
Uti lingua logicae propositionalis ad problemata mathematica et logica intelligenda et solvenda.

Index

LINGUA LOGICAE PROPOSITIONALIS: ALPHABETA ET CATENAE SYMBOLORUM
INITIUM FACIAMUS CUM UNICO SYMBOLO
DEINDE ADDAMUS SECUNDUM SYMBOLUM
LINGUA LOGICAE PROPOSITIONALIS: SYNTAXIS
EXEMPLA RECOGNITIONIS SYNTAXIS
CONVENTIONES NOTATIONIS
METAVARIABILIA ET CONNECTOR $\downarrow$
EXEMPLA USUS NEGATIONIS CONIUNCTAE
REORDINATIO ET PARENTHESES
CONNECTORES DERIVATI
VOCALIZATIO EXPRESSIONUM LOGICAE PROPOSITIONALIS
SYNTESIS ET REFLECTIONES DE LINGUA LOGICAE PROPOSITIONALIS
MATRIX POST MATRIX POST INTELLIGENTIAM OMNIUM RERUM

Lingua Logicae Propositionalis: Alphabeta et Catenae Symbolorum

Initium faciamus cum uno symbolo

Ad linguam logicæ propositionalis construendam, studium nostrum incipiemus ex alphabeto simplicissimo: illo quod unum tantum symbolum continet. Figura symboli parum refert, sed momenti est eius unicitas. Si hoc alphabeto scribimus, sola differentia inter catenas symbolorum est numerus repetitionum symboli. Ergo, si possumus scribere catenas symbolorum usque ad longitudinem $N$ , tantummodo $N$ catenae diversae scribi possunt. Ut videre potes, hoc alphabetum valde limitatum est et non multum dici potest ultra hoc.

Adiciamus igitur secundum symbolum

Si secundum symbolum nostro alphabeto addamus, scriptura fit ditior quam in alphabeto priore. Nunc videre possumus ordinem symbolorum; exempli gratia, si $0$ et $1$ sunt nostra symbola, distinguere possumus inter $01$ et $10$ . Utraque catena eisdem symbolis utitur, sed in ordine diverso. Si catena longissima quam scribere possumus longitudinem habet $N =1,2,3,\cdots$ , tunc possumus scribere $2^1=2$ catenas longitudinis $1$ , $2^2=4$ catenas longitudinis $2$ , $2^3=8$ catenas longitudinis $3$ , et ita porro $2^N$ catenas distinctas longitudinis $N$ .

Exercitium: Scribuntur in charta omnes catenae distinctae quae fieri possunt inter $1$ et $N$ symbola. Quot catenae in summa scribuntur?

Solutio:
Si $S_N$ est summa omnium catenarum, longitudinis $1, 2, 3,$ et sic usque ad $N$ , iam vidimus quod:

$\displaystyle S_N=2^1 + 2^2 + \cdots +2^{N-1} + 2^N$

Multiplicando per 2 expressionem superiorem, habemus:

$\displaystyle 2 S_N=2^2 + 2^3 + \cdots + 2^N + 2^{N+1}$

Et igitur:

$\displaystyle S_N=2 S_N - S_N = 2^N-1$

Ergo, numerus totalis catenarum in charta scriptarum erit $2^N-1$ .

Lingua Logicae Propositionalis: Syntaxis

Vidimus quod, duobus symbolis adhibitis, distinguere possumus unam catenam ab alia per longitudinem eius et ordinem symbolorum. Hoc grave est quia nobis permittit definire syntaxim pro alphabeto quod construximus. Syntaxis est congeries regularum quae catenas symbolorum in duas categorias dividit: Expressiones et Non-Expressiones. Si $\mathcal{L}_2$ est collectio omnium catenarum quae fieri possunt ex symbolis $0$ et $1$ , tunc syntaxis $\mathcal{L}_2$ est subcollectio $\mathcal{SL}_2\subset\mathcal{L}_2$ .

Possumus definire collectionem $\mathcal{SL}_2$ his regulis recursive:

$00, 11 \in \mathcal{SL}_2$
Si $\alpha, \beta \in \mathcal{SL}_2$ , tunc $01\alpha\beta \in \mathcal{SL}_2$

His duabus regulis possumus expressiones huius linguae construere et probare utrum data catena sit expressio huius linguae. Lingua est alphabetum cum syntaxi associata. Linguae hic praesentatae nomen dabimus “Lingua Basis Duorum Symbolorum”, sive $\mathcal{B}_2$ .

Exempla Recognitionis Syntaxis

Ut hae notiones facilius intellegantur, inspiciamus haec exempla:

Exemplum: Quoniam $0000$ et $1111$ continentur in $\mathcal{SL}_2$ , habemus $01$ $00 00 01 00$ $11 01 11$ $0000$ et $01$ $1111$ $1111$ in $\mathcal{SL}_2$ ; ergo, sunt expressiones $\mathcal{B}_2$ . Hoc demonstratur applicando regulas quas modo exposuimus.

Finis exempli $\blacksquare$

Exercitium: In exemplo superiore vidimus quomodo expressiones ex aliis duabus expressionibus elementaribus construantur. Hoc per se non est difficile negotium; attamen, processus inversus, qui consistit in probando utrum certa expressio sit vel non sit expressio, fortasse paulo difficilior sit.

Determina, regulis syntacticis utens, utrum catenae sequentes sint vel non sint expressiones $\mathcal{B}_2$ :

${}012100$
$101100$
${}0100010000$
$0101000011$
${}01010000010000$
$01010010000100101000011$

Solutio:
Antequam solutionem videas, suadeo ut prius ipse coneris et deinde cum solutione compares. Si iam fecisti, progredere 👍

$01$ $2$ $100$ .
Ut videre possumus, haec catena symbolum $2$ continet, quod non est in $\mathcal{L}_2$ ; ergo haec catena non potest esse in $\mathcal{SL}_2$ et ita non est expressio $\mathcal{B}_2$ .
$10$ $1100$ .
Hic videmus hanc catenam incipere per $10$ . Ex regulis syntacticis inferre possumus omnes catenae longitudinis maioris quam 2 incipere necesse esse per $01$ ; ergo haec non potest esse expressio $\mathcal{B}_2$ .
$0100010000$
Haec catena incipit per $01$ , itaque transit probationem primam. Ex hoc sequitur ut, ut sit expressio $\mathcal{L}_2$ , necesse est ut pars caerulea unice in duas expressiones dividi possit.
$01$ $00010000$
Si, licet legibus syntacticis obtemperet, divisio non est unica, tunc syntaxis definita est ambigua atque corrigenda.

Partem caeruleam examinantes, habemus has possibilitates divisionis:
$0$ $0010000$ $00$ $010000$ $000$ $10000$
$0001$ $0000$ $00010$ $000$ $000100$ $00$
$0001000$ $0$
Hic animadvertendum est: si pars aurea non est $0000$ vel $1111$ , tum pars caerulea respondens incipere debet per $01$ ut tota catena sit expressio; ideo fieri possunt sequentia reiectionum iudicia:
$0$ ${}0010000$ ❌ $00$ $010000$ ✅ $000$ ${}10000$ ❌
$0001$ $0000$ ❌ $00010$ $000$ ❌ $000100$ $00$ ❌
$0001000$ $0$ ❌
Hac de causa sola divisio quae huic analysi superest est $00$ $010000$ , ubi pars aurea est expressio et pars caerulea unice ac secundum syntaxim dividitur. Denique catena $0100010000$ admittit unicam divisionem syntaxim consistentem, quae est $01$ $00$ $010000$ , et ideo est expressio linguae $\mathcal{B}_2$
$0101000011$
Huius catenae sequentem divisionem, coloribus notatam, facere possumus:
$01$ $010000$ $1111$
Ex regulis syntacticis, ut catena longitudinis maioris quam 2 sit expressio, necesse est incipere per $01$ , et postea sequantur duae expressiones, quas caeruleo et aureo notavimus. Facile est videre hanc divisionem esse unicam: si pars caerulea aut aurea longitudinem mutet, utraque simul expressiones esse non poterunt.
$01010000010000$
Ab extrema parte ad sinistram revisendo, sequentem divisionem invenire possumus:
$\underbrace{01\underbrace{01\overbrace{00}\overbrace{00}}_{{expresión}}\underbrace{01\overbrace{00}\overbrace{00}}_{{expresión}}}_{{expresión}}$
$01010010000100101000011$
Oculus acutus animadvertet hanc catenam longitudinem habere 23, et fieri non posse catenam longitudinis imparis construi per regulas syntaxis $\mathcal{L}_2$ , quae expressiones componit concatenando catenas longitudinis paris. Omnes catenae $\mathcal{SL}_2$ habent longitudinem parem, ergo $01010010000100101000011$ non est expressio $\mathcal{B}_2$ .

Finis exercitii $\blacksquare$

una tablilla con mucho símbolos decodificados

Conventiones Notationis

Laborare cum nullis et unitatibus potest esse confusum perceptioni nostrae et errores inducere potest. Ut processus humanis mentibus amicior fiat, possumus uti conventionibus notationis et quibusdam metasymbolis.

Metavariabiles et Connector $\downarrow$

Metasymbolum est symbolum adhibitum ad repraesentandas catenas symbolorum linguae obiectivae. Exempli gratia, cum syntaxis $\mathcal{SL}_2$ $\mathcal{L}_2$ definita est, symbola $\alpha$ et $\beta$ adhibita sunt ad repraesentandas expressiones $\mathcal{B}_2$ . Haec symbola vocantur metavariabiles $\mathcal{B}_2$ : metasymbola quae, cum omnia substituuntur expressionibus linguae, generant per syntaxin aliam expressionem eiusdem linguae, ut indicat secunda regula de elementis $\mathcal{SL}_2$ :

Si $\alpha,\beta \in \mathcal{SL}_2$ , tunc $01\alpha\beta \in\mathcal{SL}_2$

Quam ob rem dicitur has metavariabiles esse metaexpressiones $\mathcal{B}_2$ .

Ut scribendi rationem nostram in posterum faciliorem reddamus, usuri sumus metasymbolo $\downarrow$ ad repraesentandam catenam $01$ . Hoc metasymbolum dicitur connector et appellatur Negatio Coniuncta ob rationes semanticas.

His positis, possumus syntaxim $\mathcal{SL}_2$ modo metalinguistico exprimere per sequentis regulas recursivas:

Omnes metavariabiles $\mathcal{B}_2$ sunt metaexpressiones $\mathcal{B}_2$
Si $\alpha$ et $\beta$ sunt metavariabiles $\mathcal{B}_2$ , tunc $\downarrow\alpha\beta$ est metaexpressio $\mathcal{B}_2$

His regulis possumus scribere metaexpressiones quae, cum omnibus metavariabilibus substitutis expressionibus et connectoribus in forma per nullos et unitates expressa, dant expressionem $\mathcal{B}_2$ . Quaelibet talis metaexpressio refertur ad infinitam familiam expressionum $\mathcal{B}_2$ : collectionem omnium expressionum $\mathcal{B}_2$ quae per illam structuram repraesentari possunt. Hoc est ipsum quod significat habere linguam formalem.

Exempla Usus Negationis Coniunctae

Exemplum: Ex metaexpressione $\downarrow\alpha\downarrow\beta\gamma$ per substitutiones obtineri possunt sequentes expressiones:

Substituendo $\alpha := 00$ , $\beta := 011100$ et $\gamma := 010011$
Advenitur ad expressionem:
$010001011100010011$
Si substituimus $\alpha := 011100$ , $\beta := 0111011100$ et $\gamma := 0111010011$
Generatur:
$010111000101110111000111010011$

Metaexpressio $\downarrow\alpha\downarrow\beta\gamma$ non solum facilius intellegitur quam quaelibet alia expressio formae satisfaciens, sed etiam repraesentat omnes expressiones quae inde obtineri possunt per substitutionem metavariabilium per expressiones.

Finis exempli $\blacksquare$

Cum metavariabilis substituitur, substituitur in omnibus locis ubi apparet.

Exemplum: Consideremus metaexpressionem $\downarrow\downarrow\alpha\beta\downarrow\alpha\gamma$

Si substituimus $\alpha:=11$ , tunc obtinemus:
$\downarrow\downarrow 11\beta\downarrow 11\gamma$
Si nunc facimus $\beta:=011100$ , tunc resultat:
$\downarrow\downarrow 11011100\downarrow 11\gamma$
Et si nunc mutationem facimus $\gamma:=011111$ , habebimus:
$\downarrow\downarrow 11011100\downarrow 11011111$
Denique, mutando $\downarrow:=01$ , concludemus cum hac expressione:
$0101110111000111011111$

Finis exempli $\blacksquare$

Reordinatio et Parentheses

Verificare hanc esse metaexpressionem non est difficillimum, sed requirit attentionem continuam ad numerum metasymbolorum atque ambitum connectoris $\downarrow$ . Haec difficultas celeriter crescit cum longitudine metaexpressionis. Hinc oritur quaestio an aliqua sit methodus ad haec repraesentanda modo faciliore ad inspiciendum — responsio est: ita vero; scilicet uti possumus parenthesibus et reordinationibus aptioribus ad formam nostram naturalem rerum aggregationis. Ad hoc illustrandum, inspiciamus sequentem metaexpressionem:

$\downarrow\alpha\downarrow\downarrow\alpha\beta\alpha$

Evenit ut, licet non sit difficile comprobare hanc esse metaexpressionem, hoc fieri non possit nisi symbola numeremus, periculo in enumeratione fallendi. Et hoc periculum celeriter augetur cum crescit longitudo expressionis. Estne via ut idem repraesentetur modo magis perspicuo? Certe exstat talis methodus, quae nostris naturalibus modis cogitandi et ordinandi convenit. Hac de causa introducuntur parentheses et reordinatio per sequentem conventionem notationis:

$\downarrow\alpha\beta:=(\alpha\downarrow\beta)$

Exemplum: Consideremus metaexpressionem $\downarrow\alpha\downarrow\downarrow\beta\gamma\delta$ . Si parenthesim introductionem et reordinationem adhibemus, tunc transformabitur hoc modo:

$\downarrow\alpha\downarrow$ $\downarrow\beta\gamma$ $\delta$	$:=$	$\downarrow\alpha\downarrow$ $(\beta\downarrow \gamma)$ $\delta$
$\downarrow\alpha$ $\downarrow(\beta\downarrow \gamma)\delta$	$:=$	$\downarrow\alpha$ $((\beta\downarrow \gamma)\downarrow\delta)$
$\downarrow\alpha((\beta\downarrow \gamma)\downarrow\delta)$	$:=$	$(\alpha \downarrow((\beta\downarrow \gamma)\downarrow\delta))$ ✅

Haec ultima metaexpressio multo facilior est ad legendum et inspiciendum quam originalis, quia singuli parenthesis clauduntur circa metaexpressionem quae elementis bene distinctis componitur: negatio coniuncta in medio, cum metaexpressione ex utraque parte.

Finis exempli $\blacksquare$

Connectores Derivati

Et in logica et in reliqua parte mathematicae, adsunt quaedam connectorum compositiones quae frequenter adhibentur. Quam ob rem, ad scripturam (humanis mentibus) magis commodam reddendam, connectores derivati introducuntur per sequentes notationis conventiones:

Negatio:	$\neg \alpha$	$:=$	$(\alpha\downarrow\alpha)$
Disiunctio Inclusiva:	$(\alpha \vee \beta)$	$:=$	$\neg(\alpha\downarrow\beta)$
Coniunctio:	$(\alpha \wedge \beta)$	$:=$	$\neg(\neg\alpha\vee \neg\beta)$
Implicatio:	$(\alpha \rightarrow \beta)$	$:=$	$(\neg\alpha\vee \beta)$
Implicatio Duplex:	$(\alpha \leftrightarrow \beta)$	$:=$	$((\alpha\rightarrow \beta)\wedge(\beta \rightarrow \alpha))$
Disiunctio Exclusiva:	$(\alpha \veebar \beta)$	$:=$	$\neg(\alpha\leftrightarrow \beta)$

Hoc metalinguum quod super lingua fundamentali duorum symbolorum aedificavimus, illud est quod dicitur Lingua Logicae Propositionalis Ordinis Nulli. Per hanc linguam repraesentantur omnes expressiones logicae propositionalis modo accurato et sine ambiguitate.

Vocalizatio Expressionum Logicae Propositionalis

Etsi ad logicam exercendam non est necessarium, considerandum est nos non solum symbolis scriptis communicare, sed etiam naturalem inclinationem habere ad vocalizandum in nostra lingua vernacula. Quamobrem expressionibus linguae logicae propositionalis adsunt vocalizationes quae evocant notiones similes illis quas tractant sui homologis in logica propositionali. Hae vocalizationes sunt sequentes:

$(\alpha \downarrow \beta)$	Ne $\alpha$ nec $\beta$
$\neg \alpha$	Negatio $\alpha$
$(\alpha \vee \beta)$	$\alpha$ aut $\beta$
$(\alpha \wedge \beta)$	$\alpha$ et $\beta$
$(\alpha \rightarrow \beta)$	$\alpha$ implicat $\beta$
$(\alpha \leftrightarrow \beta)$	$\alpha$ si et solum si $\beta$
$(\alpha \veebar \beta)$	aut $\alpha$ , aut $\beta$ , sed non ambo

Synthesis et Meditationes de Lingua Logicae Propositionalis

Hac ultima parte concluditur constructio linguae logicae propositionalis, quam possumus compendiose describere ut metalinguam quae permittit expressiones validas obtinere in lingua fundamentali duorum symbolorum. Lingua logicae propositionalis est lingua formalis, cum definire possit structuram (vel formam) expressionum in lingua base, et unaquaeque eius expressio determinat formam infinitae familiae expressionum in lingua base. Ut antea dictum est, syntaxis linguae formalis est stricte definita, sed pro hoc rigore offert praecisionem et exactitudinem: caret ambiguitate.

Matrix post Matrix post Intelligentiam Omnium Rerum

Ultimum quoddam. Logica propositionalis et mathematica in magna parte innituntur logicae propositionali, quae ipsa aedificata est ex lingua fundamentali quae constat ex unitatibus et nullis. Significatne hoc nos advenisse ad “Matrix” quae subest logicae et mathematicae? Fieri potest. Sed etiam fieri potest ut cogitemus linguam fundamentalem pro ipsa lingua fundamentali, ex qua omnia reliqua denuo aedificari possint; tamen, ad talem linguam reperiendam oporteret nos inquirere in notiones etiam fundamentalius positas quam conceptus ordinis et quantitatis (quibus adhibitis lingua prima constituta est). Linguam basim basis invenire significat cogitationes suscipere de rebus omnium fundamentalissimis quae pertinent ad id quod significat “intelligere res”. Si altius pervenis, si ad fundum attingere potes, dici posset te vidisse “Matrix post Matrix post Intelligentiam Omnium Rerum”, atque fieri potest ut hic processus fundamentationis ad infinitum prosequatur, unicuique fundamento novum gradum profunditatis cognitionis conferens.

Synthesis et Meditationes de Lingua Logicae Propositionalis

Hac parte finali completur constructio linguae logicae propositionalis, quam compendiose describere possumus ut metalinguam quae permittit expressiones validas generari in lingua fundamentali duorum symbolorum. Lingua logicae propositionalis est lingua formalis, quia definit structuram (seu formam) expressionum in lingua base, et unaquaeque eius expressio determinat formam infinitae familiae expressionum in illa lingua. Ut antea dictum est, syntaxis linguae formalis est valde rigida, sed vicissim praebet praecisionem et exactitudinem: caret ambiguitate.

Matrix post Matrix post Intelligentiam Omnium Rerum

Ultimum quod restat. Logica propositionalis et mathematica magna ex parte nituntur logica propositionale, quae ipsa ex lingua fundamentali confecta est ex unitatibus et nullis. Significatne hoc nos pervenisse ad “Matrix” quae logicae et mathematicae subest? Forsitan. Sed etiam considerari potest lingua fundamentalis ad ipsam linguam fundamentalem, ex qua universum reliquum iterum constitui posset; attamen, ut talem linguam inveniamus, necesse esset notiones reperire adhuc magis fundamentales quam conceptus ordinis et quantitatis (qui ad linguam primam instituendam adhibiti sunt). Invenire linguam basim basis implicat meditationes de rebus maxime fundamentalibus quae pertinent ad significationem verbi “intelligere res”. Si altius investigas, si ad fundamentum pervenis, dici posset te vidisse “Matrix post Matrix post Intelligentiam Omnium Rerum”, et fieri potest ut hic processus fundamentationis ad infinitum progrediatur, novam cognitionis profunditatem tribuens singulis gradibus fundamentalibus.

$0$ $0010000$	$00$ $010000$	$000$ $10000$
$0001$ $0000$	$00010$ $000$	$000100$ $00$
$0001000$ $0$

$0$ ${}0010000$ ❌	$00$ $010000$ ✅	$000$ ${}10000$ ❌
$0001$ $0000$ ❌	$00010$ $000$ ❌	$000100$ $00$ ❌
$0001000$ $0$ ❌

Lingua Logicae Propositionalis

Summarium

Proposita Discendi:

Index

Lingua Logicae Propositionalis: Alphabeta et Catenae Symbolorum

Initium faciamus cum uno symbolo

Adiciamus igitur secundum symbolum

Lingua Logicae Propositionalis: Syntaxis

Exempla Recognitionis Syntaxis

Conventiones Notationis

Metavariabiles et Connector \downarrow

Exempla Usus Negationis Coniunctae

Reordinatio et Parentheses

Connectores Derivati

Vocalizatio Expressionum Logicae Propositionalis

Synthesis et Meditationes de Lingua Logicae Propositionalis

Matrix post Matrix post Intelligentiam Omnium Rerum

Synthesis et Meditationes de Lingua Logicae Propositionalis

Matrix post Matrix post Intelligentiam Omnium Rerum

Leave a Reply

Metavariabiles et Connector $\downarrow$