Уравнение состояния и функция состояния

Термодинамика показывает, как описывать и связывать состояние системы через такие понятия, как функции и уравнения состояния. Как связаны между собой свойства, такие как давление, температура и уравнение идеального газа? Этот материал поможет вам понять математические и физические законы, управляющие равновесием во Вселенной, бросая вызов вашей интуиции и расширяя кругозор.

Учебные цели:
К концу этого занятия студент сможет:

1. Описать понятие функции состояния и ее связь с тепловым равновесием в термодинамических системах.
2. Различать функции состояния и величины, которые не являются функциями состояния, определяя конкретные примеры каждой категории.
3. Анализировать как уравнения состояния, такие как уравнение идеального газа, связывают функции состояния в равновесных системах.

СОДЕРЖАНИЕ:
Функция состояния, системы и тепловое равновесие
Уравнение состояния и переменные состояния
Математическое понятие функции состояния
Уравнение идеального газа как уравнение состояния

Одним из ключевых понятий классической термодинамики является уравнение состояния и функции состояния. С их помощью мы можем описывать состояние систем, находящихся в термодинамическом равновесии.

Функция состояния, системы и тепловое равновесие

В термодинамике система определяется как часть Вселенной, выбранная для изучения, и окружение находится рядом с системой. Мы знаем, что система находится в тепловом равновесии с окружающей средой, если ее макроскопические наблюдаемые величины (например: давление, температура) остаются неизменными с течением времени. Например, если мы берем газ внутри контейнера, и его температура остается стабильной с течением времени, то мы говорим, что газ находится в термодинамическом равновесии, и этот набор макроскопических наблюдаемых величин определяет его состояние. Напротив, если в одной части контейнера внезапно приложить большое количество тепла, то, по крайней мере, на некоторое время газ окажется в состоянии, отличном от теплового равновесия, и его состояние будет изменяться со временем.

Уравнение состояния и переменные состояния

Когда система находится в тепловом равновесии, можно выделить два типа величин: одни зависят от того, каким образом система достигла этого равновесия, а другие не зависят от данного процесса. Последние называются функциями состояния (иногда переменными состояния). Функция состояния — это любая физическая величина, имеющая определенное значение для каждого равновесного состояния системы. Таким образом, в тепловом равновесии эти переменные не зависят от времени. Примеры таких переменных:

• давление
• температура
• объем
• внутренняя энергия

Примеры величин, которые не являются функциями состояния, включают положение частицы номер «сто тысяч» в системе, общую работу и общее количество тепла, приложенное к системе. Это можно понять интуитивно: ваши руки могут достичь одной и той же температуры (а значит, и одного и того же состояния) двумя различными процессами: один — приложив определенное количество работы, потирая их друг о друга, и другой — приложив тепло, поместив руки в теплую воду.

Математическое понятие функции состояния

Поняв эти интуитивные идеи, для более полного понимания остается только провести более математическое обоснование того, что стоит за функцией состояния. Рассмотрим систему, описываемую вектором параметров \vec{x}=(x_1, x_2, x_3, \cdots), и пусть f(\vec{x}) — это некоторая функция состояния. Тогда, если параметры системы изменяются от начального значения \vec{x}_i к конечному значению \vec{x}_f, то изменение функции f будет равно:

\Delta f = \displaystyle \int_{\vec{x}_i}^{\vec{x}_f}df = f(\vec{x}_f) - f(\vec{x}_i)

Если процесс происходит таким образом, то изменение функции состояния зависит только от начальных и конечных значений \vec{x}. Это происходит, когда величина df является точным дифференциалом. Все функции состояния имеют точные дифференциалы; и наоборот, величина, дифференциал которой не является точным, не может быть функцией состояния.

Уравнение идеального газа как уравнение состояния

Как правило, всегда можно, по крайней мере, приблизительно найти уравнение состояния, связывающее функции состояния. Примером является уравнение состояния идеального газа f(P,V,T)=0, которое имеет вид:

f(P,V,T) = PV - nRT = 0