Um Modelo Simples de Mercado:
Noções e Suposições Elementares

Resumo:
Esta aula introduz o “Modelo Simples de Mercado”, uma abordagem que facilita o aprendizado dos conceitos-chave de investimento, combinando ativos sem risco (títulos, com retorno conhecido) e ativos de risco (ações, com retorno incerto). Veremos como esses ativos podem ser combinados em um portfólio que, se bem gerido, permite obter retornos superiores aos juros bancários, equilibrando crescimento e segurança. Além disso, aprenderemos a calcular o retorno desses ativos em uma linha do tempo simplificada (presente e futuro) e analisaremos suposições de mercado como a aleatoriedade dos preços e a solvência, para tomar decisões informadas sobre investimento e risco.

Objetivos de Aprendizagem:
Ao final desta aula, o aluno será capaz de

• Reconhecer as características de um Modelo Simples de Mercado, dos ativos de risco e sem risco na tomada de decisão de investimento.
• Compreender a diferença entre ativos de risco e sem risco, identificando como cada um afeta o retorno e o risco em um portfólio.
• Aplicar fórmulas para calcular o retorno do investimento em ativos de risco e sem risco, utilizando preços iniciais e finais.
• Analisar a construção de portfólios que combinam ativos de risco e sem risco para otimizar o retorno enquanto se gerencia o risco em um modelo simples de mercado.
• Avaliar o impacto de cenários de mercado no valor e retorno de um portfólio, considerando as variações no preço dos ativos.
• Aplicar a probabilidade para calcular o retorno esperado em situações de mercado incertas, determinando possíveis resultados financeiros.

ÍNDICE DE CONTEÚDOS
Introdução
Definições e Suposições Teóricas
Ativos de Risco e Ativos Sem Risco
Escala de Tempo no Modelo
Retorno de um Investimento
Construção e Avaliação de um Portfólio
Suposições Básicas do Modelo
Problemas Resolvidos
Exercícios Propostos

Introdução

Imagine que você acabou de receber um bônus no trabalho e economizou uma quantia considerável no banco. No entanto, ao observar as taxas de juros atuais e o impacto da inflação, você se preocupa que o poder de compra das suas economias diminua com o tempo. Você quer que seu dinheiro não só se mantenha, mas também cresça.

Você ouviu dizer que investir em ações e títulos pode ser uma boa forma de fazer o dinheiro crescer. Você sabe que alguns ativos, como títulos, são seguros, enquanto outros, como ações, oferecem maiores retornos, mas acarretam mais risco. Você se pergunta se poderia combinar ambos os tipos de ativos em uma estratégia que lhe permita ganhar mais do que os juros bancários, sem assumir um risco excessivo.

Você decide investigar e encontra uma abordagem chamada “Modelo Simples de Mercado”, que facilita o aprendizado dos conceitos básicos de ativos de risco e sem risco, retornos e construção de portfólios. Este modelo é ideal para iniciantes, pois simplifica a análise financeira ao se concentrar em dois pontos no tempo: o presente e um momento futuro.

Com essa motivação, você decide aprender mais sobre como calcular o retorno de um investimento e construir um portfólio que maximize seus retornos. À medida que avançamos, exploraremos esses conceitos em profundidade para que você possa tomar decisões informadas e gerenciar melhor suas finanças pessoais.

Agora que você está pronto, vamos nos aprofundar no conhecimento teórico que você precisa para compreender este modelo de mercado e aplicá-lo às suas próprias decisões de investimento.

Definições e Suposições Teóricas

Ativos de Risco e Ativos Sem Risco

Para começar a entender o modelo simples de mercado, precisamos nos familiarizar com os conceitos de ativos de risco e ativos sem risco. Esses dois tipos de ativos formam a base da maioria das estratégias de investimento.

Um ativo sem risco é um tipo de investimento cujo retorno é conhecido e seguro. Um exemplo clássico de ativo sem risco é um título emitido pelo governo ou por uma instituição financeira estável, que garante um pagamento de juros fixo ao final de um período. Esses títulos podem ser vistos como depósitos em uma conta bancária ou instrumentos de dívida que oferecem um retorno previsível e estável.

Por outro lado, um ativo de risco é aquele cujo preço futuro é incerto e pode variar, tanto para cima quanto para baixo. Um exemplo comum de ativo de risco são as ações de empresas que negociam na bolsa de valores. As ações podem ser voláteis e seu preço depende de múltiplos fatores, tornando seu valor no futuro imprevisível.

Escala de Tempo no Modelo

No modelo simples de mercado, restringimos a análise a apenas dois instantes no tempo: o presente, que chamamos t = 0 , e um momento futuro, como um ano depois, que chamamos t = 1 . Essa abordagem simplificada permite analisar as mudanças no valor dos ativos sem entrar em uma complexidade excessiva.

Este modelo de dois pontos no tempo é especialmente útil para iniciantes, pois facilita a compreensão de como os preços dos ativos mudam ao longo do tempo e como essas mudanças afetam o valor de um portfólio.

Retorno de um Investimento

O retorno é uma medida de quanto valor um investimento ganhou ou perdeu em um período de tempo. Dependendo do tipo de ativo, o cálculo do retorno pode ser incerto ou determinado.

Para um ativo de risco, como uma ação, o retorno é incerto e é calculado usando o preço inicial e o preço futuro do ativo. Se o preço da ação no momento t for representado por S(t) , o retorno da ação entre t = 0 e t = 1 é calculado da seguinte forma:

K_S = \dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)}

Este retorno, representado por K_S , é uma fração do valor inicial da ação e pode ser positivo (se o preço da ação subiu), negativo (se caiu) ou zero (se o preço não mudou).

Para um ativo sem risco, como um título, o retorno é conhecido com certeza antecipadamente. Se representarmos o preço de um título no tempo t por A(t) , o retorno deste título entre t = 0 e t = 1 é calculado como:

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)}

Este retorno, K_A , é fixo e é garantido pelo emissor do título. A diferença chave entre K_S e K_A é a certeza: enquanto o retorno de uma ação é incerto, o retorno de um título é fixo e conhecido.

Construção e Avaliação de um Portfólio

Agora que entendemos o conceito de retorno, podemos combinar ativos de risco e sem risco para formar um portfólio. Suponhamos que você decida construir um portfólio que contenha x ações e y títulos. O valor total do portfólio em qualquer momento t é:

V(t) = xS(t) + yA(t)

Aqui, V(t) representa o valor total do portfólio, que é a soma do valor das ações ( xS(t) ) e do valor dos títulos ( yA(t) ).

No momento inicial ( t = 0 ), o valor do portfólio é conhecido se conhecermos o número de ações e títulos e seus respectivos preços atuais. No entanto, no tempo t = 1 , o valor das ações pode variar, tornando o valor do portfólio incerto.

Suposições Básicas do Modelo

Para simplificar o modelo, estabelecemos algumas suposições-chave que nos permitem fazer os cálculos e a análise de maneira mais manejável:

• Suposição de Aleatoriedade: O preço de uma ação no futuro ( S(1) ) é uma variável aleatória, o que significa que pode assumir diferentes valores em função de fatores imprevisíveis do mercado.
• Positividade dos Preços: Todos os preços de ações e títulos são estritamente positivos, ou seja, S(t) > 0 e A(t) > 0 para t = 0, 1 . Essa suposição garante que os valores dos ativos sejam realistas.
• Divisibilidade, Liquidez: Os ativos podem ser comprados em quantidades fracionárias, permitindo aos investidores ajustar seus portfólios sem restrições. Além disso, assume-se que os ativos podem ser comprados ou vendidos em qualquer quantidade.
• Solvência: A riqueza total de um investidor deve ser não negativa em todos os momentos, ou seja, V(t) ≥ 0 . Isso significa que não é possível perder mais do que foi investido.
• Preços Discretos: O preço futuro S(1) de uma ação é uma variável aleatória que pode assumir apenas um número finito de valores possíveis. Isso facilita a análise e a modelagem do mercado.

Com essas suposições, o modelo torna-se mais fácil de gerenciar, permitindo-nos analisar os retornos e valores de portfólio sem complexidades adicionais.

Até agora, cobrimos os conceitos teóricos fundamentais para entender o modelo simples de mercado. Na próxima seção, aplicaremos esses conhecimentos em exercícios práticos para ver como calcular o valor e o retorno de um portfólio em diferentes cenários.

Problemas Resolvidos

Exercício 1: Cálculo do Retorno em Títulos (Ativo Sem Risco)

Suponha que você tenha um título cujo preço no momento inicial seja A(0) = 100 dólares. No final de um ano, o valor do título aumentou para A(1) = 110 dólares.

Pergunta: Qual é o retorno deste investimento em títulos?

Solução: Como o título é um ativo sem risco, o retorno é seguro e pode ser calculado usando a fórmula de retorno para ativos sem risco:

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)}

Substituindo os valores:

K_A = \dfrac{110 - 100}{100} = \dfrac{10}{100} = 0,10

O retorno é de 10%.

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Exercício 2: Cálculo do Retorno em Ações (Ativo de Risco)

Suponha que você compre uma ação a um preço de S(0) = 50 dólares. No final do ano, o preço da ação pode variar. Há dois possíveis resultados:

• Se o mercado subir, o preço da ação será S(1) = 52 dólares, com uma probabilidade p .
• Se o mercado cair, o preço da ação será S(1) = 48 dólares, com uma probabilidade 1 - p .

Pergunta: Em um modelo simples de mercado, qual é o retorno deste investimento em cada cenário?

Solução: O retorno de uma ação, sendo um ativo de risco, é incerto e é calculado usando a fórmula de retorno para ativos de risco:

K_S = \dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)}

Calculamos o retorno em cada cenário:

• Se o preço subir para 52 dólares:

K_S = \dfrac{52 - 50}{50} = \dfrac{2}{50} = 0,04

O retorno neste caso é de 4%.

• Se o preço cair para 48 dólares:

K_S = \dfrac{48 - 50}{50} = \dfrac{-2}{50} = -0,04

O retorno neste caso é de -4%.

Portanto, dependendo do comportamento do mercado, o retorno pode ser positivo (4%) ou negativo (-4%).

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Exercício 3: Valor de um Portfólio com Ativos de Risco e Sem Risco

Suponha que você decida construir um portfólio que contenha 20 ações e 10 títulos. Sabemos que:

• O preço de uma ação no início é S(0) = 50 dólares.
• O preço de um título no início é A(0) = 100 dólares.

Pergunta: Qual é o valor deste portfólio no momento inicial t = 0 ?

Solução: O valor de um portfólio no momento t é calculado como:

V(t) = xS(t) + yA(t)

Onde x é o número de ações e y é o número de títulos.

Substituindo os valores:

V(0) = (20)(50) + (10)(100)

V(0) = 1000 + 1000 = 2000

O valor do portfólio no momento inicial t = 0 é de 2000 dólares.

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Exercício 4: Cálculo do Retorno em um Portfólio Misto

Suponha que o preço dos ativos no portfólio do Exercício 3 varie no tempo t = 1 da seguinte maneira:

• Se o mercado subir, o preço da ação será S(1) = 52 e o título será A(1) = 110 .
• Se o mercado cair, o preço da ação será S(1) = 48 e o título será A(1) = 110 .

Pergunta: Em um modelo simples de mercado, qual é o valor e o retorno do portfólio em cada cenário?

Solução:

Cenário 1: O mercado sobe

V(1) = (20)(52) + (10)(110)

V(1) = 1040 + 1100 = 2140

O valor do portfólio neste caso é de 2140 dólares.

O retorno do portfólio é:

K_V = \dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \dfrac{2140 - 2000}{2000} = \dfrac{140}{2000} = 0,07

O retorno é de 7%.

Cenário 2: O mercado cai

V(1) = (20)(48) + (10)(110)

V(1) = 960 + 1100 = 2060

O valor do portfólio neste caso é de 2060 dólares.

O retorno do portfólio é:

K_V = \dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \dfrac{2060 - 2000}{2000} = \dfrac{60}{2000} = 0,03

O retorno é de 3%.

Em resumo, o retorno do portfólio depende do comportamento do mercado. Se o mercado subir, o retorno será de 7%; se o mercado cair, o retorno será de 3%.

Exercício 5: Cálculo de Retorno Ponderado em um Portfólio Misto

Suponha que você decida construir um portfólio misto com a seguinte distribuição inicial:

• 50% do seu investimento está em títulos sem risco, com um preço inicial de A(0) = 100 e um preço ao final do ano de A(1) = 105 .
• 50% do seu investimento está em ações de risco, com um preço inicial de S(0) = 50 . O preço da ação em t = 1 poderia ser S(1) = 55 se o mercado subir (probabilidade de 0,7) ou S(1) = 45 se o mercado cair (probabilidade de 0,3).

Pergunta: Qual é o retorno esperado total do portfólio considerando a probabilidade de que o mercado suba ou caia?

Solução:

1. Primeiro, calculamos o retorno de cada tipo de ativo:

• Para os títulos sem risco:

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)} = \dfrac{105 - 100}{100} = 0,05 (5%)

• Para as ações em cada cenário:
• Se o mercado subir:

K_S^{\text{up}} = \dfrac{55 - 50}{50} = 0,10 (10%)

• Se o mercado cair:

K_S^{\text{down}} = \dfrac{45 - 50}{50} = -0,10 (-10%)

2. Calculamos o retorno esperado das ações considerando as probabilidades:

\text{Retorno esperado das ações} = (0,7 \times 0,10) + (0,3 \times -0,10) = 0,04 (4%)

3. Agora calculamos o retorno ponderado do portfólio, dado que 50% está em títulos e 50% em ações:

K_{\text{portfólio}} = (0,5 \times 0,05) + (0,5 \times 0,04) = 0,045 (4,5%)

Resposta: O retorno esperado total do portfólio é de 4,5%.

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Exercício 6: Avaliação de Risco e Retorno de um Portfólio com Venda a Descoberto em um modelo simples de mercado

Suponha que você tenha uma estratégia em que investe 2000 dólares em títulos sem risco, com um retorno garantido de 3% ao final do ano. Além disso, você toma emprestado 1000 dólares para vender ações a descoberto, com o objetivo de que o preço caia e você possa obter um lucro. Atualmente, as ações têm um preço de S(0) = 50 dólares por ação, e ao final do ano o preço pode ser:

• S(1) = 40 dólares se o mercado cair (probabilidade de 0,6)
• S(1) = 60 dólares se o mercado subir (probabilidade de 0,4)

Pergunta: Qual é o retorno esperado do portfólio e qual é o risco associado à venda a descoberto, medido pela desvio padrão dos retornos?

Solução:

Cálculo do retorno esperado

Primeiro, calculamos o retorno dos títulos sem risco:

K_A = 0,03 (3%)

Para a venda a descoberto, calculamos o lucro ou prejuízo em cada cenário:

• Se o mercado cair:

A venda a descoberto foi realizada a 50 dólares por ação, e o preço ao final do ano é de 40 dólares. O lucro por cada ação é:

50 - 40 = 10 dólares

Se você tomou emprestados 1000 dólares, isso equivale a vender a descoberto \dfrac{1000}{50} = 20 ações. O lucro total é:

20 \times 10 = 200 dólares

• Se o mercado subir:

A venda a descoberto foi realizada a 50 dólares por ação, e o preço ao final do ano é de 60 dólares. O prejuízo por cada ação é:

50 - 60 = -10 dólares

Por 20 ações, o prejuízo total é:

20 \times -10 = -200 dólares

Calculamos o retorno esperado da venda a descoberto:

\text{Retorno esperado da venda a descoberto} = (0,6 \times 200) + (0,4 \times -200) = 120 - 80 = 40 dólares

Cálculo da variância e desvio padrão para medir o risco

Agora, para medir o risco em um modelo simples de mercado, calculamos a variância dos retornos da venda a descoberto. A fórmula da variância, em função dos possíveis resultados e suas probabilidades, é:

\text{Variância} = (0,6) \times (200 - 40)^2 + (0,4) \times (-200 - 40)^2 = 38400

Finalmente, calculamos o desvio padrão como a raiz quadrada da variância:

\text{Desvio padrão} = \sqrt{38400} \approx 196

Interpretação do Desvio Padrão no Contexto da Distribuição Normal

O desvio padrão é uma medida de dispersão dos valores ao redor da média. No contexto de uma distribuição normal, o desvio padrão tem um papel importante na compreensão do risco e da probabilidade de certos retornos.

Relação entre o Desvio Padrão e a Distribuição Normal

A distribuição normal (ou curva de Gauss) é uma distribuição de probabilidade simétrica em torno da sua média, e nela a maioria dos valores se concentra perto da média. Muitos retornos financeiros, como os rendimentos de portfólios bem diversificados, tendem a se aproximar de uma distribuição normal.

Em uma distribuição normal:

• Aproximadamente 68% dos valores estão dentro de um desvio padrão da média.
• Aproximadamente 95% dos valores estão dentro de dois desvios padrão da média.
• Aproximadamente 99,7% dos valores estão dentro de três desvios padrão da média.

Interpretação no Contexto de Risco e Retornos Financeiros

Se assumirmos que os retornos da venda a descoberto seguem uma distribuição aproximadamente normal, o desvio padrão de 196 dólares nos permite estimar a probabilidade de obter certos retornos ao redor do médio esperado. Por exemplo:

• Com um desvio padrão de 196 dólares e um retorno esperado de 40 dólares, podemos dizer que 68% dos resultados estarão no intervalo de 40 ± 196 dólares (ou seja, entre -156 e 236 dólares).
• Para avaliar riscos extremos, poderíamos analisar resultados a duas ou três desvios padrão da média. Em uma distribuição normal, eventos a duas ou mais desvios padrão da média são menos prováveis (5% ou menos), mas podem ter um impacto significativo no portfólio.

Limitações no Contexto da Venda a Descoberto

É importante ter em mente que, na venda a descoberto, os retornos podem não seguir uma distribuição perfeitamente normal devido à assimetria da estratégia: o preço de uma ação pode subir indefinidamente, gerando prejuízos ilimitados, mas não pode cair abaixo de zero. Isso introduz um viés na distribuição, tornando o risco de perdas extremas mais provável do que uma distribuição normal sugeriria.

Exercícios Propostos

Exercício 1: Cálculo de Retorno em um Título

Suponha que você compre um título sem risco a um preço inicial de A(0) = 200 dólares, e ao final do ano o preço do título aumente para A(1) = 220 dólares.

Pergunta: Qual é o retorno deste investimento em títulos?

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Exercício 2: Retorno em uma Ação de Risco com Cenários Probabilísticos

Você compra uma ação a um preço inicial de S(0) = 100 dólares. No final do ano, o preço da ação pode ser S(1) = 110 com uma probabilidade de 0,5, ou S(1) = 90 com uma probabilidade de 0,5.

Pergunta: Calcule o retorno em cada cenário e o retorno esperado deste investimento na ação.

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Exercício 3: Valor de um Portfólio Misto

Você constrói um portfólio com 15 ações e 5 títulos. No início, o preço de cada ação é S(0) = 30 dólares, e o preço de cada título é A(0) = 100 dólares.

Pergunta: Qual é o valor total do seu portfólio no momento t = 0 ?

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Exercício 4: Retorno do Portfólio em Diferentes Cenários de Mercado

Para o portfólio do exercício anterior, ao final do ano o preço da ação pode ser S(1) = 35 se o mercado subir, ou S(1) = 25 se o mercado cair. O título sem risco terá um preço de A(1) = 105 em ambos os casos.

Pergunta: Calcule o valor e o retorno do portfólio em cada cenário de mercado.

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Exercício 5: Impacto de Mudanças no Preço da Ação no Portfólio

Suponha que você tenha um portfólio composto por 10 títulos e 40 ações. O preço de cada título é A(0) = 90 dólares, e o de cada ação é S(0) = 20 dólares no início. No final do ano, o preço da ação aumenta para S(1) = 30 e o do título para A(1) = 95 .

Pergunta: Calcule o valor inicial e final do portfólio, e determine o retorno do portfólio.

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Exercício 6: Cálculo de Retorno Ponderado em um Portfólio Diversificado em um modelo simples de mercado

Você investe 60% do seu portfólio em títulos sem risco e 40% em ações. O preço inicial dos títulos é A(0) = 200 dólares, e seu preço final é A(1) = 210 dólares. O preço inicial das ações é S(0) = 50 e seu preço final depende de se o mercado subir ( S(1) = 55 com probabilidade de 0,6) ou cair ( S(1) = 45 com probabilidade de 0,4).

Pergunta: Calcule o retorno esperado total do portfólio.

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Exercício 7: Avaliação de Risco mediante o Desvio Padrão

Em uma estratégia de venda a descoberto, você toma emprestados 500 dólares para vender a descoberto ações que estão a um preço inicial de S(0) = 25 dólares. No final do ano, o preço das ações pode ser S(1) = 20 (probabilidade de 0,7) ou S(1) = 30 (probabilidade de 0,3).

Pergunta: Calcule o retorno esperado e o desvio padrão deste investimento na venda a descoberto.

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Exercício 8: Criação de um Portfólio que Garanta um Retorno Específico

Você possui 2000 dólares e deseja montar um portfólio com títulos sem risco ( A(0) = 100 dólares, com um retorno de 5%) e ações ( S(0) = 50 dólares) cujo retorno esperado é de 8%.

Pergunta: Quantos títulos e ações você deve comprar para que o retorno total esperado do portfólio seja de 6%?

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Exercício 9: Análise do Impacto da Diversificação no Portfólio

Você investe 3000 dólares em um portfólio composto por títulos e ações. Metade do seu investimento está em títulos ( A(0) = 150 dólares, com retorno garantido de 4%) e a outra metade em ações ( S(0) = 75 dólares), cujo preço em t = 1 pode ser 90 (probabilidade de 0,5) ou 60 (probabilidade de 0,5).

Pergunta: Calcule o retorno esperado e o desvio padrão do portfólio.

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Exercício 10: Efeito da Mudança de Preço no Portfólio e Solvência

Você constrói um portfólio com 1000 dólares, investindo 300 em títulos e 700 em ações. No caso dos títulos, o retorno é fixo a 3%, enquanto o preço das ações ( S(0) = 35 ) pode cair para 25 ou subir para 45 com probabilidades iguais.

Pergunta: Qual é o valor do portfólio em cada cenário no modelo simples de mercado? Avalie se o portfólio cumpre a suposição de solvência ( V(t) ≥ 0 ).