مقدمة

أحد العناصر الأكثر تميزًا في الحساب هو اللانهاية وحدود اللانهاية. مفهوم اللانهاية لا يشير إلى عدد حقيقي، بل يحاول وصف مقدار يتجاوز أي حد حقيقي. على سبيل المثال، عندما يكون لدينا الدالة f(x) = 1/x ونتساءل عن سلوكها عندما يصبح x كبيرًا بقدر ما نريد، عندما x يتجه نحو اللانهاية (x\to \infty)، ما نلاحظه هو أن f(x) يمكن أن يقترب من الصفر بقدر ما نريد. بناءً على ذلك نكتب:

\displaystyle \lim_{x\to + \infty}\dfrac{1}{x} = 0

بيانيًا، يبدو هذا الموضوع كما يلي:

تعريف حد اللانهاية

من هذه الفكرة التي قدمناها يمكننا صياغة التعريف الرياضي لحد اللانهاية:

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})(M\lt x \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists N\in\mathbb{R})(x\lt N \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

يشير المفهوم البديهي لهذا الحد إلى ما يحدث مع f(x) عندما يبتعد x عن الأصل بقدر ما نريد، سواءً إلى اليمين أو إلى اليسار. إن الاستراتيجية لحساب حدود اللانهاية لا تختلف كثيرًا عن تلك التي نستخدمها في حساب الحدود النهائية لأن الجبر الخاص بها هو نفسه تقريبًا، فقط يجب أن نأخذ في الاعتبار النتائج التالية.

الحدود الأساسية عند اللانهاية

استنادًا إلى هذه التعريفات، يمكننا إثبات الحدود الأساسية التالية.

1. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}k = k
2. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{1}{x} = 0

الإثبات:

1. حسب تعريف حد اللانهاية، لدينا \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k وهو مكافئ للقول:(\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|k-k\right|\lt \epsilon \right)ولكن \left|k-k\right|=0\lt \epsilon يتحقق دائمًا لأي \epsilon \gt 0, بغض النظر عن قيمة M، لذلك يتم تأكيد الحد.

    

2. نعلم أنه، حسب التعريف، \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k وهو مكافئ للقول:(\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|\dfrac{1}{x}\right|\lt \epsilon \right)ولكن هذا الشرط يتحقق على الفور إذا اعتبرنا M=1/\epsilon, مما يضمن الحد.

    

يتم إجراء هذه الإثباتات بشكل مشابه عندما x\to+\infty.

الجبر عند حدود اللانهاية

الجبر عند حدود اللانهاية مشابه للجبر عند الحدود النهائية. إذا كان \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}f(x) = L و \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}g(x) = M, فإن القواعد التالية تتحقق:

1. جمع وطرح الحدود: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\pm g(x)) = L \pm M
2. الضرب في ثابت: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}cf(x) = cL
3. ضرب الحدود: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)g(x) = LM
4. قسمة الحدود: طالما أن M\neq 0, فإن \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)/g(x)=L/M
5. رفع الحدود إلى قوى: إذا كان p,q \in\mathbb{Z} و q\neq 0، فإن \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}[f(x)]^{p/q} = L^{p/q}
   إذا كان q زوجيًا، فمن المفترض أن L\geq 0

في الواقع، فإن إثبات جميع هذه الخصائص يشبه إثبات الحدود النهائية

حد اللانهاية في الدوال النسبية

الدالة النسبية هي التي يمكن التعبير عنها كنسبة بين كثيرتي حدود. عند حساب حدود اللانهاية على هذا النوع من الدوال، يمكن ملاحظة خاصية تكون ذات فائدة كبيرة:

لنفترض أننا نريد حساب \displaystyle \lim_{x\to \infty}P(x)/Q(x)

• إذا كان درجة P(x) أكبر من درجة Q(x)، فإن حجم الدالة f(x) سوف ينمو بدون حد عندما x\to\infty (الحد لن يوجد)
• عندما يكون درجة P(x) أقل من درجة Q(x)، فإن الحد سيكون صفرًا.
• وأخيرًا، إذا كانت درجة P(x) مساوية لدرجة Q(x)، فإن الحد سيكون مساويًا لنسبة المعاملات المصاحبة لأعلى درجة.

أفضل ما في هذه النتيجة هو أنه، كما سنرى في الأمثلة التالية، يعمل بشكل مشابه حتى إذا كانت القوى المعنية ليست أعدادًا صحيحة.

أمثلة على حدود اللانهاية

1. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x^2+3} [الحل]
2. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^3 + 7}{x^3 - x^2 + x + 7} [الحل]
3. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{9x^4 + x}{2x^4 + 5x^2 - x + 6} [الحل]
4. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{10x^5 + x4 + 31}{x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 9} [الحل]
5. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\sqrt{x}+x^{-1}}{3x - 7} [الحل]
6. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^{5/3} - x^{1/3} + 7}{x^{8/5}+3x + \sqrt{x}} [الحل]
7. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x}-5x+3}{2x + x^{2/3} - 4} [الحل]
8. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{8/3}+2x + \sqrt{x}}{x^2+x-3} [الحل]