Introdução

Um dos elementos mais característicos do cálculo é o infinito e o limite no infinito. O conceito de infinito não se refere a um número real; em vez disso, tenta descrever uma magnitude que excede qualquer limite real. Por exemplo, quando temos a função f(x) = 1/x e perguntamos sobre seu comportamento quando x se torna tão grande quanto desejado, quando x tende ao infinito (x\to \infty), observamos que f(x) pode, consequentemente, aproximar-se de zero tanto quanto desejado. Assim, escrevemos:

\displaystyle \lim_{x\to + \infty}\dfrac{1}{x} = 0

Graficamente, essa situação se apresenta da seguinte forma:

Definição de Limite no Infinito

A partir desta ideia que acabamos de introduzir, podemos formular a definição matemática de limite no infinito:

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})(M\lt x \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists N\in\mathbb{R})(x\lt N \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

A noção intuitiva deste limite indica o que acontece com f(x) quando x se afasta tanto quanto desejado da origem, seja indo para a direita ou para a esquerda. A estratégia para o cálculo de limites no infinito não é muito diferente da que usamos para calcular limites finitos, pois sua álgebra é praticamente a mesma, apenas precisamos considerar os seguintes resultados:

Limites Básicos no Infinito

Com base nestas definições, podemos demonstrar os seguintes limites básicos.

1. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}k = k
2. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{1}{x} = 0

DEMONSTRAÇÃO:

1. Pela definição de limite no infinito, temos que \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k é equivalente a dizer: (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|k-k\right|\lt \epsilon \right). Mas \left|k-k\right|=0\lt \epsilon sempre se mantém para qualquer \epsilon \gt 0, e independentemente do valor de M, então o limite está garantido.

    

2. Sabe-se que, por definição \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k é equivalente a dizer: (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|\dfrac{1}{x}\right|\lt \epsilon \right). Mas essa implicação é imediatamente satisfeita se considerarmos M=1/\epsilon, de modo que o limite está garantido.

    

Essas demonstrações são realizadas de forma análoga para quando x\to+\infty.

Álgebra de Limites no Infinito

A álgebra dos limites no infinito é análoga à dos limites finitos. Se \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}f(x) = L e \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}g(x) = M, então as seguintes regras se aplicam:

1. Soma e Subtração de Limites: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\pm g(x)) = L \pm M
2. Multiplicação por uma constante: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}cf(x) = cL
3. Produto de Limites: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)g(x) = LM
4. Divisão de Limites: Desde que M\neq 0, então \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)/g(x)=L/M
5. Potências de Limites: Se p,q \in\mathbb{Z} e q\neq 0, então \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}[f(x)]^{p/q} = L^{p/q}. Se q for par, assume-se que L\geq 0

Na verdade, a prova de todas essas propriedades é análoga à dos limites finitos

Limite no Infinito em Funções Racionais

Uma função racional é aquela que pode ser expressa como quociente de dois polinômios. Ao realizar o cálculo de limites no infinito sobre esse tipo de função, podemos observar uma propriedade que é muito útil:

Suponhamos que queremos calcular \displaystyle \lim_{x\to \infty}P(x)/Q(x)

• Se o grau de P(x) é maior que o de Q(x), então o tamanho da função f(x) crescerá sem limite quando x\to\infty (o limite não existirá).
• Quando o grau de P(x) é menor que o de Q(x), então o limite será zero.
• E, finalmente, se o grau de P(x) é igual ao de Q(x), então o limite será igual ao quociente dos coeficientes que acompanham o termo de maior grau.

O melhor desse resultado é que, como veremos nos exemplos a seguir, funciona de modo semelhante mesmo que as potências envolvidas não sejam números inteiros.

Exemplos de Limites no Infinito

1. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x^2+3} [SOLUÇÃO]
2. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^3 + 7}{x^3 - x^2 + x + 7} [SOLUÇÃO]
3. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{9x^4 + x}{2x^4 + 5x^2 - x + 6} [SOLUÇÃO]
4. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{10x^5 + x4 + 31}{x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 9} [SOLUÇÃO]
5. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\sqrt{x}+x^{-1}}{3x - 7} [SOLUÇÃO]
6. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^{5/3} - x^{1/3} + 7}{x^{8/5}+3x + \sqrt{x}} [SOLUÇÃO]
7. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x}-5x+3}{2x + x^{2/3} - 4} [SOLUÇÃO]
8. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{8/3}+2x + \sqrt{x}}{x^2+x-3} [SOLUÇÃO]