क्लासिकल मैकेनिक्स में वेरिएशनल कैलकुलस और ऑइलर-लाग्रांज समीकरण

सारांश:
इस कक्षा में हम वेरिएशनल कैलकुलस तकनीकों का उपयोग करके विश्लेषणात्मक यांत्रिकी से ऑइलर-लाग्रांज समीकरण प्राप्त करने की समीक्षा करेंगे, और इसके आधार पर इसका ब्रैकिस्टोक्रॉन समस्या के समाधान में विस्तृत अनुप्रयोग दिखाया जाएगा।

अधिगम उद्देश्यों:
इस कक्षा को पूरा करने के बाद, छात्र सक्षम होंगे:

1. समझना हैमिल्टन के न्यूनतम क्रिया सिद्धांत को
2. साबित करना ऑइलर-लाग्रांज समीकरण को
3. हल करना ब्रैकिस्टोक्रॉन समस्या को ऑइलर-लाग्रांज समीकरण का उपयोग करके।

सामग्री सूचकांक:
क्लासिकल मैकेनिक्स में वेरिएशनल कैलकुलस का महत्त्व
वेरिएशनल समस्या की संरचना
ऑइलर-लाग्रांज समीकरण
ब्रैकिस्टोक्रॉन समस्या
गिटहब रिपॉजिटरी जिसमें वोल्फ्राम एल्गोरिथ्म है

क्लासिकल मैकेनिक्स में वेरिएशनल कैलकुलस का महत्त्व

न्यूटनियन भौतिकी में कई समस्याएं हैं जिन्हें वेरिएशनल कैलकुलस का उपयोग करके अधिक प्रभावी ढंग से हल किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण लाग्रांज समीकरणों और हैमिल्टन के न्यूनतम क्रिया सिद्धांत में मौलिक है। मूल रूप से, यह विधि उन पथों को खोजने पर आधारित है जो किसी मात्रा को अधिकतम या न्यूनतम करते हैं। उदाहरण के लिए, दो बिंदुओं के बीच वह पथ ढूंढा जा सकता है जो यात्रा की गई दूरी या यात्रा के समय को न्यूनतम करता है। इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण फर्माट का सिद्धांत है, जो बताता है कि प्रकाश हमेशा वह पथ लेता है जो यात्रा के समय को न्यूनतम करता है, और यह अंततः प्रकाश के अपवर्तन के स्नेल के नियम की ओर ले जाता है। स्नेल के नियम का उल्लेख किया गया है।

वेरिएशनल कैलकुलस का क्लासिकल मैकेनिक्स में कई लाभ हैं। उदाहरण के लिए, यह समरूपता वाले प्रणालियों के लिए सटीक विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करने की अनुमति देता है, और जटिल प्रणालियों के लिए वेरिएशनल परटर्बेशन सिद्धांत के माध्यम से सन्निकटन समाधान प्रदान करता है। इसके अलावा, ऐसी स्थितियों में जहां बलों को भिन्नात्मक समीकरणों में व्यक्त करना कठिन होता है, न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत क्लासिकल मैकेनिक्स की समस्याओं को हल करने के लिए अधिक कुशल तरीका प्रदान करता है। संक्षेप में, वेरिएशनल कैलकुलस एक महत्वपूर्ण उपकरण है जो न्यूटन के नियमों का वैकल्पिक सूत्रीकरण, भौतिकी के नियमों का एकीकरण, समस्याओं के समाधान में अधिक दक्षता और प्रयोगात्मक परिणामों की भविष्यवाणी में अधिक सटीकता प्रदान करता है।

वेरिएशनल समस्या की संरचना

वेरिएशनल कैलकुलस का उद्देश्य उस फ़ंक्शन y(x) को खोजना है जो निम्नलिखित फ़ंक्शनल के मान को अधिकतम या न्यूनतम करता है:

J(x,y(x))=\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left(x,y(x),\frac{dy(x)}{dx}\right)dx,

इसका अधिकतम या न्यूनतम मान खोजने के लिए। इस समीकरण में, फ़ंक्शनल J फ़ंक्शन y(x) और इसकी व्युत्पन्न dy(x)/dx, पर निर्भर करता है जबकि एकीकरण की सीमाएं स्थिर रहती हैं। संपूर्णता को अधिकतम करने के लिए, फ़ंक्शन y(x) पर विविधताएं लागू की जाती हैं, जिससे वह फ़ंक्शन प्राप्त होता है जो फ़ंक्शनल के मान को एक चरम पर लाता है। उदाहरण के लिए, यदि संपूर्णता न्यूनतम मान तक पहुँचती है, तो कोई भी फ़ंक्शन इसके पड़ोस में, चाहे वह y(x) के कितने ही करीब हो, फ़ंक्शनल के मान को बढ़ाएगा।

“पड़ोसी फ़ंक्शन” की अवधारणा स्थापित करने के लिए, हम सभी संभावित फ़ंक्शनों y को एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व y=(\alpha,x) सौंप सकते हैं, ताकि यदि \alpha=0, तो y(0,x)=y(x) वह फ़ंक्शन है जो J को चरम बनाता है। इसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

y(\alpha, x) = y(x) + \alpha \eta(x),

जहां \eta(x) एक प्रकार \mathcal{C}^1 का फ़ंक्शन है जो x_1 और x_2 पर शून्य हो जाता है, ताकि y(\alpha,x) फ़ंक्शन जो इस विविधता को शामिल करता है वह प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं पर y(x) के समान हो।

J फ़ंक्शनल को परिभाषित करने वाले संपूर्णता में y(x) के बजाय y(\alpha,x) फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करके जो विविधता \eta(x) को शामिल करता है, एक नया फ़ंक्शनल प्राप्त होता है जो पैरामीटर \alpha पर निर्भर करता है:

J(x,y(\alpha, x)) = \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left(x,y(\alpha,x), \dfrac{d}{dx}y(\alpha,x)\right)dx

स्थानीय चरम को अस्तित्व में लाने के लिए, यह आवश्यक है कि निम्नलिखित शर्त पूरी हो:

\left.\dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha}\right|_{\alpha=0} = 0

किसी भी फ़ंक्शन \eta(x) के लिए।

यूइलर-लैग्रेंज समीकरण

\partial J(x,y(\alpha,x))/\partial \alpha के व्युत्पन्न का विश्लेषण करते समय, हमें प्राप्त होता है:

\begin{array}{rll} {}\dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha} &=&\dfrac{\partial}{\partial \alpha} \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left(x,y(\alpha,x),\dfrac{dy(\alpha, x)}{dx}\right)dx \\ \\ &=&\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial \alpha} + \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha, x)}\dfrac{\partial y(\alpha, x)}{\partial \alpha} + \dfrac{\partial f }{ \partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}}{\partial \alpha}\right)dx \\ \end{array}

इस बिंदु से यह नोट करना महत्वपूर्ण है कि:

\begin{array}{rll} \dfrac{\partial x}{\partial \alpha} &=& 0 \\ \\ \dfrac{\partial y(\alpha,x)}{\partial \alpha} &=& \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \left(y(x) + \alpha \eta(x) \right) = \eta(x) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \alpha}\left( \dfrac{dy(\alpha, x)}{dx} \right)&=& \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \left(\dfrac{dy(x)}{dx} + \alpha\dfrac{d\eta(x)}{dx} \right) = \dfrac{d\eta}{dx} \end{array}

इसलिए, अभिव्यक्ति को निम्नानुसार सरल किया जा सकता है:

\begin{array} {} \dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha} &=& \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha,x)}\eta(x) + \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{d\eta(x)}{dx} \right)dx \\ \\ &=&\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha,x)}\eta(x) dx + \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{d\eta(x)}{dx} dx \end{array}

फिर अगर हम दूसरी संपूर्णता का अवलोकन करें, तो हम देखेंगे कि इसे आंशिक एकीकरण का उपयोग करके सरल किया जा सकता है:

\begin{array}{rll} \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{d\eta}{dx} dx &=& \left. \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \eta(x)\right|_{x_1}^{x_2} - \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\eta(x) \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha, x)}{dx}} \right) dx\\ \\ &=& - \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\eta(x) \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha, x)}{dx}} \right)dx \end{array}

और इसलिए

\begin{array}{rll} {} \dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha} &=& \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left[ \eta(x) \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha, x)} - \eta(x) \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \right) \right]dx \\ \\ &=& \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha, x)} - \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \right) \right] \eta(x) dx \end{array}

इसलिए \left.\dfrac{\partial J (x,y(\alpha, x))}{\partial \alpha}\right|_{\alpha=0} = 0, और क्योंकि \eta(x) एक ऐसा फ़ंक्शन है जो x_1 और x_2 पर शून्य होने की शर्त को पूरा करता है, हमें प्राप्त होता है:

\dfrac{\partial f}{\partial y(0, x)} - \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(0,x)}{dx}}\right) = \dfrac{\partial f}{\partial y(x)} - \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(x)}{dx}}\right) = 0.

अंत में, “संकेत को हटाने” के बाद हमें जो मिलता है वह यूइलर-लैग्रेंज समीकरण के रूप में जाना जाता है:

\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial y}= \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y^\prime} \right)},

और यह J फ़ंक्शनल के एक चरम मान तक पहुँचने के लिए आवश्यक शर्त का एक सरल रूप से प्रतिनिधित्व करता है।

ब्रैकिस्टोक्रोन समस्या

समस्या की संरचना

ब्रैकिस्टोक्रोन समस्या यांत्रिक भौतिकी का एक क्लासिक उदाहरण है जिसे वैरिएशनल कैलकुलस के माध्यम से हल किया जाता है। स्थिति इस प्रकार है: मान लीजिए कि हमारे पास एक भौतिक वस्तु है जो एक स्थिर बल क्षेत्र के प्रभाव में चलती है और प्रारंभिक बिंदु (x_1,y_1) से अंतिम बिंदु (x_2,y_2) तक जाती है, जहाँ प्रारंभिक बिंदु अंतिम बिंदु से अधिक ऊंचाई पर है। सवाल यह है: कौन सी मार्ग का अनुसरण करते हुए कण को सबसे कम समय में अंतिम बिंदु तक पहुंचना चाहिए?

समाधान की संरचना

ब्रैकिस्टोक्रोन समस्या को हल करने के लिए, स्थिति को सरल रूप में देखना उपयोगी होता है। इसलिए, हम प्रारंभिक बिंदु (x_1, y_1) को समन्वय के मूल में निर्धारित कर सकते हैं, जबकि अंतिम बिंदु (x_2,y_2) मूल के दाईं ओर और अक्ष \hat{x} के नीचे स्थित होता है।

इस स्थिति में, एक बल क्षेत्र पर विचार किया जा सकता है जो नीचे की ओर (दिशा -\hat{y}) गुरुत्वाकर्षण द्वारा उत्पन्न होता है, और मान लेते हैं कि गति बिना घर्षण के होती है। इस संदर्भ में, कण को विभिन्न मार्गों का अनुसरण करने के लिए प्रतिबंधित किया जाता है जो प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं को जोड़ते हैं ताकि यह पता लगाया जा सके कि कौन सा मार्ग यात्रा के समय को न्यूनतम करता है।

ऊर्जा का परीक्षण

इस समस्या को हल करने के लिए, हम गुरुत्वाकर्षण प्रणाली की ऊर्जा संरक्षण का लाभ उठा सकते हैं। प्रणाली की कुल ऊर्जा स्थिर बनी रहेगी, जिसमें गतिज ऊर्जा E_{cin}=\frac{1}{2}mv^2 और गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा E_{pot,g} शामिल होती है, जहाँ m कण का द्रव्यमान है और v उसकी वेग। स्थितिज ऊर्जा के लिए मूल को संदर्भ लिया गया है, जिससे E_{pot,g}(y=0)=0, जबकि किसी अन्य ऊंचाई y पर E_{pot,g}(y)=mgy.

चूंकि कण प्रारंभिक बिंदु से शून्य वेग से शुरू होता है, उसकी कुल ऊर्जा शून्य है। तो, हमें मिलता है:

E_{cin} + E_{pot,g}=0

चूंकि कण संदर्भ बिंदु से नीचे गिरता है, उसकी स्थितिज ऊर्जा नकारात्मक होगी और उसकी गतिज ऊर्जा सकारात्मक होगी। इस प्रकार, हम ऊर्जा संरक्षण समीकरण से वेग v निकाल सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं:

\begin{array}{rl} {} &\dfrac{1}{2}mv^2 + (-mgy) = 0 \\ \\ \vdash &\dfrac{1}{2}mv^2 = mgy \\ \\ \vdash &v^2 = 2gy \\ \\ \vdash &v = \sqrt{2gy} \end{array}

इस प्रकार, हम कण की वेग को उसकी पथ के किसी भी बिंदु पर ऊंचाई y के अनुसार निकाल सकते हैं।

पथ का समय परीक्षण

एक बार जब हमें गति की तेजी मिल गई है, हम पथ के तत्व का समय निकाल सकते हैं और इसे विस्थापन तत्व ds=\sqrt{dx^2 + dy^2} का उपयोग करके इस प्रकार बना सकते हैं:

\begin{array}{rl} {} dt &= \dfrac{ds}{v} = \dfrac{\sqrt{dx^2 + dy^2}}{\sqrt{2gy}}\\ \\ &= \sqrt{\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy} } \end{array}

इस प्रकार, बिंदुओं (x_1,y_1) और (x_2,y_2) के बीच विस्थापन का समय निकालने के लिए हम इसे इंटीग्रेट करके प्राप्त कर सकते हैं:

\begin{array}{rl} {} t &= \displaystyle \int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} dt \\ \\ &= \displaystyle \int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} \sqrt{\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy}} \\ \\ &= \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2g}}\int_{y_1}^{y_2} \sqrt{\dfrac{1+ \left(\dfrac{dx}{dy}\right)^2 }{y}}dy \\ \\ \end{array}

वैरिएशनल समस्या की संरचना

इस अंतिम अभिव्यक्ति के साथ, हम समय को एक फ़ंक्शनल के रूप में व्यक्त करने में सफल रहे हैं:

{}t = J(y,x(y)) = \displaystyle \int_{y_1}^{y_2} f\left(y,x(y),\dfrac{dx(y)}{dy} \right) dy

जहाँ

f\left(y,x(y), \dfrac{dx(y)}{dx}\right) = \sqrt{\dfrac{1+ \left(\dfrac{dx(y)}{dy} \right)^2}{y}}

इस बिंदु पर हम कारक \sqrt{2g}, को छोड़ सकते हैं क्योंकि J को ऑप्टिमाइज करना \sqrt{2g}J को ऑप्टिमाइज करने के समान ही है।

उपरोक्त के साथ, अब हम पहले उपयोग किए गए समान प्रक्रिया का अनुसरण करके यूइलर-लैग्रेंज समीकरण का निर्माण कर सकते हैं और अंत में प्राप्त कर सकते हैं:

\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{d}{dy} \dfrac{\partial f}{\partial x^\prime}

हालांकि, यहाँ हम देख सकते हैं कि \dfrac{\partial f}{\partial x} = 0, इसलिए हमें मिलेगा

\dfrac{d}{dy}\dfrac{\partial f}{\partial x^\prime} = 0,

या अन्य शब्दों में

\dfrac{\partial f}{\partial x^\prime} = \dfrac{1}{\sqrt{2a}},

जहाँ a एक मनमाना स्थिरांक है जिसे इस प्रकार लिखा गया है क्योंकि यह भविष्य के विकास के लिए “सुविधाजनक” है।

वैरिएशनल समस्या का समाधान

अंतिम अभिव्यक्ति में फ़ंक्शन f को बदलने पर हमें मिलता है:

\begin{array}{rl} {} &\dfrac{\partial }{\partial x^\prime} \sqrt{\dfrac{1+ x^{\prime 2}}{y}} = \dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ \\ \vdash & \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1 + x^{\prime 2} }{y} \right)^{-1/2} \left(\dfrac{2x^\prime}{y} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ \\ \vdash & \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{y}{1 + x^{\prime 2}}} \left(\dfrac{2x^\prime}{y} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ \\ \vdash & \sqrt{\dfrac{4x^{\prime 2} y}{4y^2 (1 + x^{\prime 2})} } = \sqrt{\dfrac{1}{2a}} \\ \\ \vdash & \dfrac{y x^{\prime 2} }{y^2 (1 + x^{\prime 2})} = \dfrac{1}{ 2a} \\ \\ \vdash & 2ayx^{\prime 2} = y^2 + y^2 x^{\prime 2} \\ \\ \vdash & x^{\prime 2} (2ay - y^2) = y^2 \\ \\ \vdash & \left(\dfrac{dx}{dy}\right)^2 = \dfrac{y^2}{2ay - y^2} \\ \\ \vdash & \dfrac{dx}{dy} = \pm \sqrt{\dfrac{y^2}{2ay - y^2}} \\ \\ \vdash & dx = \pm \dfrac{ydy}{\sqrt{2ay - y^2}} \\ \\ \vdash & x = \displaystyle \pm \int \dfrac{y}{\sqrt{2ay - y^2}}dy \end{array}

इस इंटीग्रल को हल करने के लिए, एक विकल्प निम्नलिखित प्रतिस्थापन करना हो सकता है:

\begin{array} {} y &=& a[1-\cos(\theta)] \\ dy &=& a\sin(\theta) d\theta \end{array}

इसके साथ हमें मिलता है:

\begin{array}{rl} {} x= & \pm \displaystyle \int \dfrac{y}{\sqrt{2ay - y^2}}dy = \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]a\sin(\theta)}{\sqrt{2a^2[1-\cos(\theta)] - a^2[1-\cos(\theta)]^2 }}d\theta \\ \\ & {} = \pm \displaystyle \int \dfrac{a^2[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sqrt{a^2[1-\cos(\theta)]\left\{ 2 - [1-\cos(\theta)] \right\} }}d\theta \\ \\ & {} = \pm \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sqrt{[1-\cos(\theta)] [1 + \cos(\theta)] }}d\theta \\ \\ & {} = \pm \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sqrt{ 1-\cos^2(\theta)}}d\theta \\ \\ & {} = \pm \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sin(\theta)}d\theta \\ \\ & {} = \pm \displaystyle \int a[1-\cos(\theta)] d\theta \\ \\ & {} = \pm a(\theta - \sin(\theta)) + C \end{array}

हम देख सकते हैं कि ब्रैकिस्टोक्रोन वक्र को ध्रुवीय निर्देशांक में एक पैरामीट्रिक वक्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एक साइक्लॉइड के साथ मेल खाता है जिसका प्रारंभिक बिंदु मूल में है।

\begin{array} {} & x(\theta) &=& \pm a(\theta - \sin(\theta)) \\ & y(\theta) &=& a(1-\cos(\theta)) \end{array}

एकीकरण स्थिरांक C को शून्य कर दिया गया है ताकि प्रारंभिक बिंदु पर पथ शुरू हो सके। इसके अलावा, हम देख सकते हैं कि समस्या के समाधान के लिए दो समीकरण हैं, जहाँ स्थिरांक a को इस तरह समायोजित किया जा सकता है ताकि वक्र (x_2,y_2) बिंदु से होकर गुजरे। ये समीकरण हैं:

विकल्प 1:\boxed{\begin{array} {} & x(\theta) &=& a(\theta - \sin(\theta)) \\ & y(\theta) &=& a(1-\cos(\theta)) \end{array}}

विकल्प 2:\boxed{\begin{array} {} & x(\theta) &=& - a(\theta - \sin(\theta)) \\ & y(\theta) &=& a(1-\cos(\theta)) \end{array}}

इस समस्या के लिए उपयुक्त समाधान दूसरी विकल्प द्वारा दी जाती है, और स्थिरांक a को एक नकारात्मक मान के रूप में समायोजित करके, हम एक वक्र प्राप्त करते हैं जो समाधान के लिए आवश्यक शर्तों को पूरा करती है।

समाधान का अंतिम समायोजन

अंतिम समायोजनों के बाद, ब्रैकिस्टोक्रोन वक्र की पैरामीट्रिक रूपरेखा होती है:

\begin{array} {} x(\theta) &= b(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &= -b(1-\cos(\theta)) \end{array}

यहाँ a=-b, को प्रतिस्थापित किया गया है, जहाँ 0\lt b. वक्र की अवधि 2b\pi होती है और इसे x_2 \in ]0,2b\pi[ और y_2 \in ]-2b,0[. की स्थिति को पूरा करना चाहिए। यह अंतिम स्थिति महत्वपूर्ण है क्योंकि यह ब्रैकिस्टोक्रोन वक्र को एक ही चाप के रूप में प्रदर्शित करने की मांग करती है, क्योंकि समाधान मान्य नहीं रहेगा यदि कण शून्य ऊंचाई पर लौटता है।

इन समीकरणों को समस्या के लिए समायोजित करने के लिए, हमें \theta और b के वे मान खोजने होंगे जो प्रणाली को संतुष्ट करते हैं:

\begin{array} {} x_2 &= b(\theta - \sin(\theta))\\ y_2 &= - b(1-\cos(\theta)) \end{array}

यह गैर-रेखीय प्रणाली विश्लेषणात्मक समाधान नहीं रखती, इसलिए हम Wolfram Mathematica में संख्यात्मक विधियों का उपयोग करेंगे। यहां समस्या को हल करने के लिए चरण दिए गए हैं:

चरण 1: प्रणाली स्थापित करें

हल करने के लिए प्रणाली की समीकरणों को स्थापित करें

eq1 = x2 == b*(theta - Sin[theta])
eq2 = y2 == -b*(1 - Cos[theta])

चरण 2: अंतिम बिंदु निर्दिष्ट करें

उस बिंदु को निर्दिष्ट करें जहाँ कण अपनी यात्रा के अंत में पहुंचेगा। इस मामले में हम इसे (x_2,y_2)=(1,-2). पर निर्दिष्ट करेंगे। आप इन मानों को अन्य समान संरचनाओं का परीक्षण करने के लिए बदल सकते हैं।

x2val = 1; y2val = -2;

चरण 3: आवश्यक मानों की संख्यात्मक गणना करें

“FindRoot” फ़ंक्शन का उपयोग करके समस्या का संख्यात्मक समाधान करें

sol = FindRoot[{eq1, eq2} /. {x2 -> x2val, y2 -> y2val}, {{b,1}, {theta, 1}}]

यहाँ b=1 और \theta=1 मानों का उपयोग किया गया है ताकि संख्यात्मक समाधान के लिए प्रारंभिक बिंदु दिया जा सके। इसके साथ, हमें समाधान b\approx 2.4056 और \theta \approx 1.40138 मिलता है।

चरण 4: परिणाम की पुष्टि

याद रखें कि भौतिक रूप से इन उत्तरों का अर्थपूर्ण होना जरूरी है, जिसके लिए यह आवश्यक है कि x_2 \in ]0,2b\pi[ और y_2 \in ]-2b, 0[. हम इसे तेजी से सत्यापित कर सकते हैं निम्न प्रक्रिया के माध्यम से:

पहले समाधान से प्राप्त b और \theta के मानों को निकालें

bval = sol[[1, 2]]; thetaval = sol[[2, 2]];

फिर पुष्टि करें

If[0 < x2val < 2*Pi*bval && -2*bval < y2val < 0 "मान्य मान", "अमान्य मान"]

अगर सब कुछ ठीक हो गया है, तो हमें "मान्य मान" के रूप में आउटपुट प्राप्त होना चाहिए। यह कोड का टुकड़ा आपकी मदद करेगा यह सत्यापित करने में कि भौतिक स्थिति सही ढंग से मॉडल की गई है।

इन प्रक्रियाओं के साथ, हम आखिरकार अपनी समाधान वक्र को पूरी तरह से समायोजित कर चुके हैं, जो बिंदुओं (x_1,y_1)=(0,0) और (x_2,y_2)=(1,-2). को जोड़ती है। प्राप्त वक्र है:

\begin{array} {} x(\theta) &\approx 2.4056(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &\approx -2.4056(1-\cos(\theta)) \end{array}\;\;;\theta\in [0, 1.40138]

ग्राफिकल रूप में यह इस प्रकार दिखती है:

वोल्फ्राम एल्गोरिदम के साथ गिटहब रिपॉजिटरी

ब्रैकिस्टोक्रोन समस्या के समाधान का पूरा कोड, जिसमें वोल्फ्राम मैथेमैटिका में विकसित एल्गोरिदम शामिल है, मेरे गिटहब रिपॉजिटरी में डाउनलोड और समीक्षा के लिए उपलब्ध है। इस रिपॉजिटरी में इंटरैक्टिव नोटबुक फॉर्मेट में कोड के साथ `.nb` फ़ाइल और सीधे कोड देखने के इच्छुक लोगों के लिए एक सादा पाठ संस्करण `.m` शामिल है।

आप गिटहब से रिपॉजिटरी डाउनलोड कर सकते हैं यहां.

कोड के अलावा, रिपॉजिटरी में "README" फ़ाइल है जिसमें एल्गोरिदम का उपयोग और समझने के बारे में विस्तृत निर्देश हैं, साथ ही ब्रैकिस्टोक्रोन समस्या के समाधान की चरण-दर-चरण व्याख्या भी है। मुझे उम्मीद है कि यह आपको उपयोगी लगेगा!