功和动能

当我们对块体施加一个力时， 我们感觉自己向系统中添加了一些东西；直觉上我们说“我们正在增加能量”，尽管这不一定是真的。如果力不足以打破静摩擦，那么就无法说块体是否发生了变化。显然，我们向系统中添加了一些东西，可以说是一种“努力”，但同样可以肯定的是，静摩擦力会以相反和互补的方向返回这种“努力”。然而，当静摩擦力被打破时，就可以区分系统中的变化：它现在处于不同的运动状态。为了产生这种新的运动状态，我们必须向系统中添加“新的东西”：这个“东西”就是我们所说的动能。

现在我们有两个描述物理对象或系统状态的物理量：我们熟悉的线性动量，它代表运动状态，以及我们将要开始研究的动能，它目前代表我们必须增加的量，以将物体或系统从静止带到这个运动状态。

功和动能之间的关系

让我们回到块体和施加的力上，这个力让它开始运动。如果力没有产生运动，那么我们说它没有向系统添加任何东西；而如果它产生了运动，我们说它增加了动能。 在运动发生时，物体必然沿着一定的路径移动，而在此过程中，力会增加能量。我们将这种增加或减少动能的行为称为“做功”，因此，通过方程定义了机械功元dW

\begin{array}{lr} dW =\vec{F} \cdot d\vec{r} & (1) \end{array}

其中 \vec{F} 是施加的力，d\vec{r} 是力作用下的位移元。由于这个力施加在质量为 m, 的物体上，使用 牛顿第二定律 我们可以写出

\begin{array}{lr} \displaystyle\vec{F} =\frac{d\vec{p}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} & (2) \end{array}

因此，根据方程 (1) 和 (2) 我们有

\begin{array}{llr} dW & \displaystyle =m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{r}}{dt} \cdot d\vec{v} = m\vec{v} \cdot d\vec{v} & (3) \end{array}

通过对这个表达式积分以获得所做的总功，我们得到：

\begin{array}{llr} W & = \displaystyle {\int_{i}^{f}} m\vec{v} \cdot d\vec{v} = \left.\frac{1}{2}m \|\vec{v}\|^2 \right|_i^f & \\ \\ & \displaystyle = \frac{1}{2}m \|\vec{v}_f\|^2 - \frac{1}{2}m\|\vec{v}_i\|^2 & (4) \end{array}

根据这个推理，我们可以看到机械功相当于在两个不同状态下相同量的差异，一个对应于最终状态，另一个对应于初始状态。这样的量对应于我们必须添加（或移除）的量，以改变运动状态，这就是我们所说的动能，因此通过以下方程定义：

\begin{array}{llr} E_{cin} & \displaystyle = \frac{1}{2}m\|\vec{v}\|^2 & (5) \end{array}

因此我们有

\begin{array}{llr} W & = \Delta E_{cin} & (6) \end{array}

这就是所谓的活力定理。

动能与制动距离

驾驶员常犯的一个错误是直觉认为制动距离与速度成正比：如果我们将速度加倍，制动距离也会加倍。在本节中，我们将检查这种直觉背后的错误，并证明实际上制动距离与速度的平方成正比。

假设我们有一个质量为 m 的块体在水平面上以初始速度 v_i\hat{x} 移动，且存在动摩擦系数 \mu_c. 从中我们可以看到存在一个与运动方向相反的摩擦力 \vec{F}_{roce}=-\mu_c mg\hat{x}，这个力将作用到物体停止后并经过制动距离 x_{fre}. 这个力所做的功是：

\displaystyle W_{roce}= \int_{0}^{x_{fre}} \vec{F}_{roce} \cdot d\vec{l} = \int_{0}^{x_{fre}} -\mu_c mg dx = -\mu_cmgx_{fre}

另一方面，一个以初始速度 v_i 开始并达到静止的物体（最终速度 v_f=0）的动能变化是：

\displaystyle \Delta E_{cin}= \frac{1}{2}m (\underbrace{\color{red}{v_f^2}}_{= 0} - v_i^2) = - \frac{1}{2}mv_i^2

因此，如果所有动能都通过摩擦被消耗直到将物体带到静止状态，我们将有：

\displaystyle \begin{array}{rrl} & W_{roce} & \displaystyle = \Delta E_{cin} \\ \\ \equiv & -\mu_cmg x_{fre} & \displaystyle = - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \\ \equiv & x_{fre} & = \frac{1}{2} \frac{v_i^2}{\mu_c g} \end{array}

由此我们得到了想要证明的结果，即制动距离与速度的平方成正比。

功和势能

想象我们有一个物体质量为 m，从高度 h_i 下落到最终高度 h_f （其中 h_f \leq h_i）。那么由重力做的功为：

\displaystyle W_g = \int_{h_i}^{h_f} \vec{F}_g \cdot d\vec{l} = \int_{h_i}^{h_f} -mgdz = -mg(h_f - h_i)

从中我们可以知道，如果初始高度是 h_i = h，而最终高度在地面 h_f = 0，那么我们将有：

\displaystyle W_g = -mg(0 - h) = mgh

因此，我们得出，当一个物体从高度 h 下落时，会释放与其在空间中的相对位置相关的能量。这种能量我们称之为势能。

\displaystyle \begin{array}{rr}{E_{pot} = mgh} & (7)\end{array}

势能与自由落体

让我们回顾自由落体问题。现在利用我们所研究的势能和动能，我们可以用一个简单得多的程序来找到下落速度。能量是另一种具有保守性质的物理量；也就是说，它不会被创造或毁灭，只会被转化。当我们有一个物体放置在离地面高度 h 处，当它在重力作用下掉到地面时，它的势能不会消失，而是转化为另一种形式的能量：运动能量，因此我们将有：

\begin{array}{rl} E_{pot,inicial} & = E_{cin, final} \\ \\ mgh &\displaystyle = \frac{1}{2}mv^2 \\ \\ v^2 & = 2gh \\ \\ v& =\sqrt{2gh}\end{array}