O que é o movimento retilíneo uniformemente acelerado?

O movimento retilíneo uniformemente acelerado, MRUA para abreviar, é um tipo de movimento que já estudamos de forma implícita. Você verá quando revisarmos como ele é modelado usando equações de itinerário. Mas se quisermos uma descrição rápida, o MRUA é um tipo de movimento no qual a aceleração é constante, tanto em magnitude quanto em direção, e se desenvolve ao longo de uma linha reta; ou seja, em uma dimensão.

Movimento retilíneo uniformemente acelerado a partir das equações de itinerário

A obtenção do MRUA é um calque direto do trabalho que realizamos ao obter as equações de itinerário por integração em aulas anteriores. Como o MRUA é um movimento com aceleração constante e unidimensional, basta fazermos as deduções sobre um único eixo coordenado; se raciocinarmos sobre o eixo \hat{x}, obtemos o seguinte:

\begin{array}{rcl} a_x(t) & =& a_{0x} \\ \\ v_x(t) & =& \int a_{0x}dt = a_{0x}t + v_{0x} \\ \\ x(t) & =& \displaystyle \int v_{x}(t)dt = \frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0 \end{array}

Aqui, a_{0x}, v_{0x} e x_0 são todas constantes, e as últimas duas são constantes de integração. Com isso, temos um modelo completo do movimento retilíneo uniformemente acelerado na direção do eixo \hat{x}. O raciocínio para qualquer outro eixo é completamente análogo.

O MRUA e o caso da Queda Livre

Um dos casos mais representativos do MRUA é a queda livre. Este é um movimento retilíneo uniformemente acelerado que se desenvolve verticalmente e é produzido pela aceleração da gravidade. Seu modelo através das equações de itinerário é o seguinte:

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt + v_{0y} \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t+ y_0 \end{array}

Aqui, a aceleração da gravidade é g=9,81[m/s^2]. O típico na queda livre é que ela se desenvolva inicialmente a partir do repouso (v_{0y}=0) e com altura inicial y_0=h, de modo que as equações se reduzem a

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + h \end{array}

Independentemente do conjunto de equações que você tenha, com isso já é possível extrair informações “fazendo as perguntas certas” às equações.

Se um corpo parte do repouso a partir de uma altura h

Quanto tempo leva para cair?

Se perguntarmos isso às equações, elas nos dirão que “o corpo toca o chão quando a altura é zero”, ou seja, y(t)=0. Se tal coisa ocorrer, então devemos isolar o tempo na equação \displaystyle \frac{1}{2}gt^2 + h = 0. A partir disso, temos dois resultados possíveis:

\displaystyle t=\pm\sqrt{\frac{2h}{g}}

O tempo negativo se olha para o passado, e o positivo para o futuro. Como a queda ocorre no futuro, podemos definir o tempo de queda como

\displaystyle t_{queda}=+\sqrt{\frac{2h}{g}}

Com que velocidade chega ao chão?

Esta pergunta podemos responder simplesmente substituindo o tempo de queda na equação da velocidade. Se fizermos isso, obtemos a velocidade de queda:

\displaystyle v_{queda} = v_y(t_{queda})=-g\sqrt{\frac{2h}{g}}=-\sqrt{\frac{2g^2h}{g}} = -\sqrt{2gh}

Exercícios relativos ao movimento retilíneo e uniforme

1. Um móvel passa pela origem com velocidade inicial v_0=10[km/h] e com uma aceleração de a_0=\displaystyle \frac{20[km/h]}{5[s]}. Calcule a posição e velocidade do móvel nos instantes a) t=5[s], b) t=10[s], c) t=15[s] e d) t=1[min]. [SOLUÇÃO]
2. Uma pessoa deixa cair uma bola de aço e uma pedra de uma altura de 20[m] ao mesmo tempo a partir do repouso. Ambos os objetos têm as mesmas dimensões, mas pesos diferentes. Quanto tempo eles levam para cair e com que velocidade se movem no momento do impacto com o chão?; Pode um desses corpos cair mais rápido que o outro ou chegar com maior velocidade? [SOLUÇÃO]
3. Uma moeda é lançada ao fundo de um poço. O ruído que indica que a moeda chegou ao fundo é ouvido após 10 [s]. Qual é a profundidade do poço? [SOLUÇÃO]
4. Uma pessoa cospe verticalmente para o céu e em 1,2[s] cai de volta em seu rosto. a) Com que velocidade ela cuspiu? b) Que altura o cuspe atingiu? [SOLUÇÃO]