5 Simetrias da Lógica Proposicional
Resumo:
Ao longo desta aula, exploraremos como a dupla negação, o silogismo hipotético, o contrarrecíproco da implicação, os teoremas de dedução e as definições dos conectivos se combinam para formar as simetrias da lógica proposicional. Com demonstrações claras e simples, você aprenderá a dominar as equivalências e aplicá-las aos seus próprios desafios lógicos.
As simetrias abordadas na aula incluem: \downarrow-Simetria, \vee-Simetria, \wedge-Simetria, \leftrightarrow-Simetria e \veebar-Simetria. Além disso, são destacadas as interações entre as demonstrações, mostrando como cada uma apoia as anteriores para simplificar deduções futuras. Esta aula não só fornecerá um conhecimento profundo da Lógica Proposicional, mas também ensinará a usar demonstrações anteriores para otimizar seu processo de aprendizado.
Objetivos de Aprendizagem:
Até o final desta aula, o aluno será capaz de
- Recordar conceitos básicos da lógica proposicional, como o silogismo hipotético e a dupla negação.
- Reconhecer as 5 Simetrias da Lógica Proposicional.
- Compreender o processo de demonstração das equivalências de simetrias.
- Aplicar Presunção, Teorema de Dedução e seu Recíproco nas demonstrações.
- Relacionar as definições de conectivos lógicos com as simetrias.
- Valorizar a importância de realizar demonstrações apenas uma vez e reutilizá-las em futuras demonstrações.
- Desenvolver habilidades analíticas e críticas ao realizar demonstrações lógicas.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS
\vee – SIMETRIA
\downarrow – SIMETRIA
\wedge – SIMETRIA
\leftrightarrow – SIMETRIA
\veebar – SIMETRIA
OBSERVAÇÕES FINAIS
Uma consequência direta do silogismo hipotético, da dupla negação e do contrarrecíproco da implicação, dos teoremas de dedução e das definições dos conectivos são as 5 simetrias da lógica proposicional que revisaremos a seguir.
| (\alpha \downarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\downarrow \alpha) | \downarrow-Simetria |
| (\alpha \vee \beta) \dashv\vdash (\beta\vee \alpha) | \vee-Simetria |
| (\alpha \wedge \beta) \dashv\vdash (\beta\wedge \alpha) | \wedge-Simetria |
| (\alpha \leftrightarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\leftrightarrow \alpha) | \leftrightarrow-Simetria |
| (\alpha \veebar \beta) \dashv\vdash (\beta\veebar\alpha) | \veebar-Simetria |
As demonstrações dessas equivalências não são totalmente triviais, mas, ao contrário de algumas demonstrações que já vimos, são bastante simples. Abaixo está a demonstração de cada uma em uma direção; a demonstração na direção inversa é quase idêntica e fica como exercício para o leitor.
\vee-Simetria
| (1) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\alpha \vee\beta) | ; Pre |
| (2) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \alpha \rightarrow \beta) | ; porque (\alpha \vee \beta) := (\neg \alpha \rightarrow \beta) |
| (3) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \alpha) | ; CPI(2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash ( \beta \vee \alpha)} | ; porque ( \beta \vee \alpha) := (\neg\beta\rightarrow\alpha) |
O raciocínio na direção inversa é obtido com muito poucas variações, começando com a presunção \{(\beta\vee\alpha)\}\vdash (\beta\vee\alpha)
\downarrow-Simetria
| (1) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash \neg(\alpha \downarrow \beta) | ; Pre |
| (2) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\alpha \vee \beta) | ; de (1) porque (\alpha\vee\beta) := \neg(\alpha \downarrow \beta) |
| (3) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\beta \vee \alpha) | ; \vee-Simetria |
| (4) | \vdash (\neg(\alpha \downarrow \beta) \rightarrow (\beta \vee \alpha)) | ; TD(3) |
| (5) | \vdash (\neg(\beta \vee \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; CPI(4) |
| (6) | \vdash ((\beta \downarrow \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; de (5) porque (\beta\vee\alpha) := \neg(\beta \downarrow \alpha) |
| (7) | \boxed{\{(\beta \downarrow \alpha) \} \vdash (\alpha \downarrow \beta)} | ; RTD(6) |
Finalmente, raciocinando na direção inversa, a dedução é obtida na direção oposta começando com a presunção \{\neg(\beta\downarrow\alpha)\}\vdash \neg(\beta\downarrow\alpha)
\wedge-Simetria
| (1) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\alpha \wedge \beta) | ; Pre |
| (2) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) | ; de (1) porque (\alpha \wedge \beta) := (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) |
| (3) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) | ; \downarrow-Simetria (2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash ( \beta \wedge \alpha)} | ; de (3) porque (\beta \wedge \alpha) := (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) |
Assim como antes, se você raciocinar na direção inversa, é obtido com muito poucas variações, começando com a presunção \{( \beta \wedge \alpha)\}\vdash ( \beta \wedge \alpha)
\leftrightarrow-Simetria
| (1) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; Pre |
| (2) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) | ; De (1) porque (\alpha \leftrightarrow \beta) := ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\beta \rightarrow \alpha)) |
| (3) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta) ) | ; \wedge-Simetria(2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha)} | ; De (3) porque (\beta \leftrightarrow \alpha) := ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) |
Assim como o anterior, mas começando com a presunção \{( \beta \leftrightarrow \alpha)\}\vdash ( \beta\leftrightarrow \alpha)
\veebar-Simetria
| (1) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; Pre |
| (2) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ( \beta \leftrightarrow \alpha) | ; \leftrightarrow-Simetria(1) |
| (3) | \vdash ((\alpha \leftrightarrow \beta) \rightarrow ( \beta \leftrightarrow \alpha)) | ; TD(2) |
| (4) | \vdash (\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha) \rightarrow \neg (\alpha \leftrightarrow \beta)) | ; CPI(3) |
| (5) | \{\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; RTD(4) |
| (6) | \boxed{\{ ( \beta \veebar \alpha)\} \vdash (\alpha \veebar \beta)} | ; De (5) porque ( \beta \veebar \alpha) := \neg\beta \leftrightarrow \alpha) e (\alpha \veebar \beta) := \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) |
Como em todos os outros casos, basta testar a presunção na direção inversa \{(\beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha) para obter a dedução nessa direção.
Observações Finais
Um aspecto ao qual o leitor deve prestar atenção é a ordem em que essas 5 simetrias da lógica proposicional foram escolhidas para serem demonstradas. Note que cada uma é feita de tal forma que usa algumas das demonstrações previamente realizadas. Isso reflete a abordagem que deve ser seguida ao realizar demonstrações: elas são feitas apenas uma vez (e nunca mais!); depois disso, seu objetivo deve ser usar as demonstrações anteriores para simplificar as futuras.