我们已经看到了推理的结构和简单的例子。现在我们将通过 4 种命题逻辑的推理技巧 来检验这些知识。通过这点，我们不仅会看到这些东西如何工作，而且还会开始引入一些丰富的程序，这将使迄今为止展示的初步命题计算摆脱其初步状态。

如果 \alpha、\beta 和 \gamma 是命题计算的表达式，那么可以从基础推导出以下推理技巧：

假设规则 (Pre)

最简单的推理规则 是假设规则。这是通过对定理 \vdash(\alpha\rightarrow\alpha) 应用 推理定理的逆命题 直接获得的。如果这些听起来像是晦涩难懂的语言，那么你需要知道的一切都在 这里。

\{\alpha\}\vdash \alpha

与单调性规则结合，它将允许你在推理中添加方便的表达式。

假设三段论 (SH)

假设三段论，或蕴涵的传递性，是肯定前件法则的一种演变。其公式如下：

\{(\alpha\rightarrow\beta), (\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash (\alpha\rightarrow\gamma)

有几种方法可以获得这个推理规则，我们很快就会看到其中的一些。

如果我们从表达式开始推理，构建以下推理将很容易：

因此 \{\alpha,(\alpha\rightarrow\beta),(\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash\gamma

最后，应用推理定理在这个最后的表达式上，我们得到：

\{(\alpha\rightarrow\beta),(\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash(\alpha\rightarrow \gamma)

另一种获得这个规则的证明方法是通过推理推理，利用假设和单调性构建。请观察以下推理推理：

你应该注意到，这两种证明是相同的，只是用不同的风格开发的。在实践中，你可以根据自己觉得更舒适的情况在两种风格之间交替。

双重否定等价 (DN)

双重否定等价 复现了直观的概念，即一个命题的双重否定等于该命题本身。这用符号表示如下：

\alpha\dashv\vdash\neg\neg\alpha

现在我们来看一个证明：

因此\{\neg\neg \alpha \} \vdash \alpha

为了从另一个方向进行证明，我们可以使用刚才的证明，通过简单的替换来重新适应，得到以下结果：

\{\neg\neg \neg \alpha \} \vdash \neg \alpha

然后从这一点开始构建相反方向的证明：

因此 \{\alpha \} \vdash \neg\neg \alpha

最后，通过这两个证明，我们得出 \alpha \dashv\vdash \neg\neg \alpha 。

蕴涵的逆否命题等价 (CpI)

这对应于 以下等价关系

(\alpha \rightarrow \beta) \dashv\vdash (\neg\beta \rightarrow \neg\alpha)

(\neg\alpha\rightarrow\beta)\dashv\vdash (\neg\beta\rightarrow\alpha)

(\alpha\rightarrow\neg\beta) \dashv\vdash (\beta\rightarrow\neg\alpha)

第一个关系的证明如下：

从一个方面，它可以直接从第三公理获得：

因此 \{(\neg\beta\rightarrow \neg\alpha)\}\vdash (\alpha \rightarrow \beta)

在另一个方向上，证明可以从以下推理中获得：

因此 \{(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )

因此，从前面的两个推理中我们可以得出：

(\alpha \rightarrow \beta) \dashv\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )

为了证明第二个等价关系，我们可以做以下两个推理：

因此 \{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\} \vdash(\neg\beta \rightarrow \alpha)

现在我们需要做出相反方向的证明。我们可以通过以下推理来实现：

因此 \{(\neg\beta\rightarrow\alpha)\}\vdash (\neg\alpha \rightarrow \beta)

最后，通过这两个推理，我们可以得出 (\neg\beta\rightarrow\alpha) \dashv \vdash (\neg\alpha \rightarrow \beta) ，这就是我们想要证明的。

最后一个等价关系将作为练习。为了证明它，你可以参考我已经给出的两个证明。这是掌握推理技巧的最佳方式。