Já vimos como é a estrutura de um raciocínio e exemplos simples. Agora colocaremos esse conhecimento à prova raciocinando com 4 técnicas de dedução da lógica proposicional. Através disso, não apenas veremos que essas coisas funcionam, mas também começaremos a dar uma certa riqueza de procedimentos que tirará o cálculo proposicional do estado rudimentar em que foi apresentado até agora.

Se \alpha, \beta e \gamma são expressões do cálculo proposicional, então é possível inferir as seguintes técnicas de dedução a partir dos fundamentos:

Regra da Presunção (Pre)

A regra de dedução mais simples de todas é a presunção. Esta é obtida diretamente pela aplicação do recíproco do teorema da dedução sobre o teorema \vdash(\alpha\rightarrow\alpha). Se isso te pareceu linguagem arcaica, tudo o que você precisa saber está aqui.

\{\alpha\}\vdash \alpha

Combinada com a regra da monotonia, permitirá adicionar expressões convenientes dentro de suas deduções.

O Silogismo Hipotético (SH)

O silogismo hipotético, ou transitividade da implicação, é uma espécie de evolução do modus ponens. Sua formulação é a seguinte:

\{(\alpha\rightarrow\beta), (\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash (\alpha\rightarrow\gamma)

Existem várias formas de obter essa regra de dedução, veremos algumas delas em breve.

Se raciocinarmos a partir de expressões, será fácil construir o seguinte raciocínio:

Portanto \{\alpha,(\alpha\rightarrow\beta),(\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash\gamma

Finalmente, aplicando o teorema da dedução sobre esta última expressão, temos que:

\{(\alpha\rightarrow\beta),(\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash(\alpha\rightarrow \gamma)

Outra forma de obter a demonstração desta regra é raciocinando a partir de deduções, construindo através da presunção e da monotonia. Observe o seguinte raciocínio a partir de deduções:

Você deve notar aqui que ambas as demonstrações são idênticas, apenas desenvolvidas em estilos diferentes. Na prática, você pode alternar entre ambos os estilos dependendo do que achar mais confortável.

Equivalências de Dupla Negação (DN)

As equivalências de dupla negação reproduzem a noção intuitiva de que a dupla negação de uma afirmação é equivalente à própria afirmação. Isso, escrito simbolicamente, será na forma

\alpha\dashv\vdash\neg\neg\alpha

Vamos agora ver uma demonstração:

Portanto\{\neg\neg \alpha \} \vdash \alpha

Para fazer a demonstração na outra direção, podemos usar esta que acabamos de fazer readaptando-a através de uma simples substituição, obtendo o seguinte:

\{\neg\neg \neg \alpha \} \vdash \neg \alpha

E a partir disso, construímos a demonstração na outra direção:

Portanto \{\alpha \} \vdash \neg\neg \alpha

Finalmente, dessas duas demonstrações, temos que \alpha \dashv\vdash \neg\neg \alpha .

Equivalência do Contrarrecíproco da Implicação (CpI)

Isso corresponde às seguintes equivalências

(\alpha \rightarrow \beta) \dashv\vdash (\neg\beta \rightarrow \neg\alpha)

(\neg\alpha\rightarrow\beta)\dashv\vdash (\neg\beta\rightarrow\alpha)

(\alpha\rightarrow\neg\beta) \dashv\vdash (\beta\rightarrow\neg\alpha)

A demonstração dessa primeira relação é feita da seguinte maneira:

De um lado, obtém-se diretamente do terceiro axioma

Portanto \{(\neg\beta\rightarrow \neg\alpha)\}\vdash (\alpha \rightarrow \beta)

E na outra direção, a demonstração pode ser obtida a partir do seguinte raciocínio:

Portanto \{(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )

Portanto, dos dois raciocínios anteriores, temos que

(\alpha \rightarrow \beta) \dashv\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )

Para demonstrar a segunda, podemos fazer os seguintes dois raciocínios:

Portanto \{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\} \vdash(\neg\beta \rightarrow \alpha)

Agora precisamos fazer a demonstração na direção inversa. Podemos fazê-lo através do seguinte raciocínio:

Portanto \{(\neg\beta\rightarrow\alpha)\}\vdash (\neg\alpha \rightarrow \beta)

Finalmente, desses dois raciocínios, conclui-se que (\neg\beta\rightarrow\alpha) \dashv \vdash (\neg\alpha \rightarrow \beta) , que é o que se queria demonstrar.

A última equivalência ficará como exercício. Para demonstrá-la, você pode se guiar com as duas demonstrações que já dei. Esta é a melhor forma que existe para dominar as técnicas de dedução.