자연수와 페아노 공리

요약

이 수업은 페아노의 다섯 공리로 자연수를 정의한다. 집합 $\mathbb{N}$ , 그 원소 $1$ , 그리고 후자 함수 $S$ ( $\mathbb{N}$ 에서 $\mathbb{N}$ 으로의 함수)가 있어서, 이 함수는 단사이고 $1$ 에 도달하지 않으며, 이 집합 안에서 $1$ 과 자기 각 원소의 후자를 포함하는 모든 부분집합은 집합 전체이다. 이어서 $1$ 의 연속된 후자들에 이름을 붙이고, 다섯째 공리로부터 성질에 관한 수학적 귀납법의 원리를 이끌어 낸 뒤, 이를 먼저 후자의 한 성질에, 다음으로 점점 어려워지는 문제들에 적용한다. 처음 몇 자연수의 합, 강화한 뒤에야 증명되는 부등식, 베르누이 부등식, L자 조각으로 판을 덮는 문제, 그리고 덧셈의 교환법칙이다.

학습 목표

페아노 공리를 진술하고, 각 공리가 자연수의 어떤 성질을 보장하는지 밝힌다.
처음 몇 자연수를 $1$ 의 반복된 후자로 쓰고, 기호 표기에서 일상적인 표기로 옮겨 간다.
간단한 증명에서 수학적 귀납법의 원리를 적용한다.

자연수의 페아노 공리

자연수는 양의 정수라고도 하며, 우리가 세고 재는 데 쓰는 수이다. 자연수는 산술에서 가장 단순한 연산인 세기에서 가장 자연스럽게 나타난다. 자연수는 페아노 공리로 정의된다. 즉 하나의 집합이 존재하고(이를 $\mathbb{N}$ 으로 나타내고 그 원소를 자연수라 부른다), 그 집합에는 특별한 원소 $1$ 과 후자라 불리는 함수 $S$ 가 있으며, 이 함수는 각 자연수 $n$ 에 또 다른 자연수 $S(n)$ 을 대응시키고, 다음 다섯 공리가 성립한다고 받아들인다. 여기에 나오는 집합, 함수, 단사 함수의 개념은 집합, 관계, 함수에 관한 수업에서 정의된다.

$1$ 은 자연수이다: $1 \in \mathbb{N}$ .
$S$ 는 $\mathbb{N}$ 에서 $\mathbb{N}$ 으로의 함수이다: $n$ 이 자연수이면 그 후자 $S(n)$ 도 자연수이다.
$1$ 은 어떤 자연수의 후자도 아니다: $S(n) \neq 1$ (모든 $n$ ( $\mathbb{N}$ 의 원소)에 대하여).
$S$ 는 단사이다: $S(n) = S(m)$ 이면 $n = m$ 이다.
자연수의 집합 $A$ 가 $1$ 을 포함하고, 임의의 $k$ ( $A$ 의 원소)에 대하여 $S(k)$ 도 포함하면, $A$ 는 모든 자연수의 집합이다: $A = \mathbb{N}$ .

페아노 공리를 살펴보면, 기호 $1$ 은 특정한 자연수, 곧 이 성질들을 만족하는 수를 가리키는 하나의 표현일 뿐임을 알게 된다. $1$ 이 첫 번째 자연수를 나타내듯이, 그 후자들을 나타낼 때에도 익숙한 기호를 쓴다:

2 = S(1), \quad 3 = S(2), \quad 4 = S(3), \quad \ldots

이렇게 하여 기호 $2, 3, 4, \ldots$ 은 $1$ 의 연속된 후자들을 나타내는 추상적인 대상이다. $1$ 과 그 모든 후자로 이루어진 모임이 자연수의 집합이다:

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}

자연수는 하나의 수열을 이룬다고도 말한다. 이것이 자연수의 수열이다:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, \ldots