自然数とペアノの公理

要約

本課は、ペアノの五つの公理によって自然数を定義する。すなわち、集合 $\mathbb{N}$ と、その元 $1$ と、後者関数 $S$ （ $\mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への関数）があり、それは単射で $1$ には到達せず、この集合のなかでは、 $1$ と自分の各元の後者とを含むどの部分集合も集合全体に一致する。本課は $1$ の順次の後者に名前を与え、第五公理から性質に関する数学的帰納法の原理を導き、それをまず後者のある性質に、次に難易度が上がっていく問題に適用する。最初のいくつかの自然数の和、強めてはじめて証明できる不等式、ベルヌーイの不等式、L 字型のピースによる盤の敷き詰め、そして加法の交換法則である。

学習目標

ペアノの公理を述べ、それぞれが自然数のどの性質を保証するかを示す。
最初のいくつかの自然数を $1$ の後者の繰り返しとして書き、記号による表記から通常の表記へ移る。
簡単な証明において数学的帰納法の原理を用いる。

自然数に対するペアノの公理

自然数は正の整数とも呼ばれ、ものを数えたり測ったりするのに用いる数である。自然数は、算術のなかで最も単純な操作である「数える」という操作に、最も自然な形で現れる。自然数はペアノの公理によって定義される。すなわち、ある集合が存在し（それを $\mathbb{N}$ で表し、その元を自然数と呼ぶ）、そこには特別な元 $1$ と、後者と呼ばれる関数 $S$ があって、それは各自然数 $n$ に別の自然数 $S(n)$ を対応させ、さらに次の五つの公理が成り立つことを認める。ここに現れる集合、関数、単射の概念は、集合・関係・関数の課で定義される。

$1$ は自然数である： $1 \in \mathbb{N}$ 。
$S$ は $\mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への関数である： $n$ が自然数ならば、その後者 $S(n)$ も自然数である。
$1$ はどの自然数の後者でもない： $S(n) \neq 1$ がすべての $n$ （ $\mathbb{N}$ の元）について成り立つ。
$S$ は単射である： $S(n) = S(m)$ ならば $n = m$ である。
自然数からなる集合 $A$ が $1$ を含み、かつ任意の $k$ （ $A$ の元）について $S(k)$ も含むならば、 $A$ はすべての自然数からなる集合である： $A = \mathbb{N}$ 。

ペアノの公理を調べると、記号 $1$ は、ある特定の自然数、すなわちこれらの性質を満たす自然数を指し示す表現にすぎないことに気づく。 $1$ が最初の自然数を表すのと同じように、その後者たちを表すのにも見慣れた記号を用いる：

2 = S(1), \quad 3 = S(2), \quad 4 = S(3), \quad \ldots

こうして、記号 $2, 3, 4, \ldots$ は、 $1$ の順次の後者を表す抽象的な対象である。 $1$ とそれらすべてからなる集まりが、自然数の集合である：

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}

自然数は一列に並んで数列をなす、ともいう。自然数の数列である：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, \ldots