自然数的运算及其顺序关系
摘要：
在这节课中，我们将深入了解自然数及其基本运算，从加法、乘法和乘方的起源和性质开始，与皮亚诺公理相关。我们将检查关键性质，如交换性、结合性、分配性以及简化和逆运算规则。我们将使用数学归纳法来证明定理和性质。此外，我们将分析自然数之间的顺序关系，包括三段论和传递性、单调性的性质，并通过实践练习应用这些概念。最后，我们将讨论逆运算（减法和除法）并探索自然数的乘方及其性质。
学习目标：
完成这节课后，学生将能够：
- 理解自然数基本运算的起源和性质。
- 应用自然数运算的性质，如交换性、结合性、分配性以及简化和逆运算规则。
- 应用数学归纳法来证明简单的性质和定理。
- 分析自然数的顺序性质，如三段论以及传递性和单调性。
内容目录:
自然数基本运算的起源
自然数运算诱导的顺序
自然数的逆运算：减法和除法
自然数的乘方
提出和解决的问题
尽管自然数的运算是众所周知的，但我们需要用更加“数学的方式”来综合这些知识。因此，我们将复习自然数的加法、乘法和乘方运算及其性质。
自然数基本运算的起源
加法运算
我们在关于 自然数和皮亚诺公理的课程中复习了加法运算的起源，因为自然数的后继也可以这样表示：
S(n) = n+1
正如我们所说的，2=S(1), 3=S(2), 4=S(3), \cdots 等等，因此我们可以将加法解释为连续的后继操作。
n+1 =S(n),
n+2 =S(S(n)),
n+3 =S(S(S(n))),
\vdots
总的来说：
n+m = \underbrace{S(S(\cdots S(}_{m\;次} n)\cdots))
加法的性质
如果 a,b,c\in\mathbb{N}, 那么从这里我们可以得出我们都知道的加法性质：
| 交换性 a+b=b+a |
| 结合性 a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) |
| 简化 a+b=a+c \leftrightarrow b=c |
所有这些性质都可以通过归纳法证明，但我们不会在这里展开。不过，我鼓励你尝试这样做，作为练习归纳法技巧的一种方式。
乘法运算
类似地，自然数的乘法被定义为加法的连续应用。因此我们有：
n\cdot m = \underbrace{n+ n+ \cdots + n}_{m\;次}
乘法的性质
同样地可以得出它的性质：
| 交换性 ab=ba |
| 结合性 abc=(ab)c=a(bc) |
| 简化 ab=ac \leftrightarrow b=c |
此外，根据乘法的定义，“1”在自然数中获得了使其成为单位的特性：
| 单位 1a=a=a1 |
加法和乘法的组合
当加法和乘法结合时，我们得到了加法相对于乘法的分配性质
| 分配性 a(b+c)=ab+ac |
自然数运算引导的顺序
从我们复习的加法和乘法运算中，可以在自然数中引导出一种顺序关系，通过以下定义：
| a小于b a\lt b := (\exists k \in \mathbb{N}) (a + k = b) |
| a大于b a\gt b := (\exists k \in \mathbb{N}) (a = b + k) |
自然数的顺序性质
三段论法则
- a\lt b
- a = b
- a\gt b
如果例如a不小于b，则必定发生以下两种情况之一：要么a=b，要么a\gt b，即大于或等于，可以写作：a\geq b. 同理，当小于或等于时，可以写作：a\leq b.。
传递性质
如果a,b和c 是任何自然数，则有：
[(a\lt b) \wedge (b\lt c)] \rightarrow (a\lt c)
同理：
[(a\gt b) \wedge (b\gt c)] \rightarrow (a\gt c)
单调性质
对于加法和乘法都存在单调性质，即：
| 加法的单调性 (a\lt b) \leftrightarrow (a+c \lt b+c) (a\gt b) \leftrightarrow (a+c \gt b+c) |
| 乘法的单调性 (a\lt b) \leftrightarrow (a c \lt b c) (a\gt b) \leftrightarrow (a c \gt b c) |
自然数的逆运算：减法和除法
自然数的减法
如果 a,b,c\in\mathbb{N}，我们说 a 与 b 之间的差（按该顺序），写作 a-b，通过以下关系定义
a-b=c \leftrightarrow a= b+c
正如我们所见，这种关系只有在 a\gt b 时才成立，因为如果 a\leq b，则不存在可以满足这种关系的 c\in \mathbb{N}。
通过减法的定义，我们有一个众所周知的规则：”等式一侧的加法可以变为另一侧的减法，反之亦然”。
自然数的除法
如果 a,b,c\in\mathbb{N}，我们说 a 与 b 之间的除法（按该顺序），写作 a/b，通过以下关系定义
a/b=c \leftrightarrow a= bc
根据除法的定义，我们有一个规则：”等式一侧的乘法可以变为另一侧的除法，反之亦然”。
就像要存在减法 a - b 必须满足 a\gt b 一样，要存在除法 a/b，a 必须能被 b “整除”。我们通过以下方式表示
a 可以被 b 整除 \; :=a|b \; := \; (\exists k \in \mathbb{N})(a = kb)
自然数的乘方
使用自然数可以定义乘方。 将一个自然数 b, 我们称之为底数，乘以另一个自然数 n, 我们称之为指数，意味着将 b 乘以 n 次。因此：
b^n = \underbrace{bb\cdots b}_{n\;次}
如果 a,b,n,m\in\mathbb{N}, 通过归纳法（双重）可以证明以下性质：
- \displaystyle b^nb^m=b^{n+m}
- \displaystyle \frac{b^n}{b^m} = b^{n-m}, 只要 n\lt m
- \displaystyle (ab)^n=a^nb^n
- \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
- \displaystyle (b^n)^m=b^{nm}
提出和解决的问题
- 我们在这里展示的所有性质都可以通过数学归纳法（单一或双重）来证明，但我没有详细展开，因为对于这些直观的结果来说，证明过程不必要地过长。然而，跟随这些课程的人可以尝试作为练习来进行这些证明。[仅提出]
- b^{n^m}（定义为b^{(n^m)})与(b^n)^m是一样的吗？[解决方案]
- 使用我们看到的性质来验证以下等式：
a) (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd [解决方案]
b) (a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd,；如果c\gt d [解决方案]
c) (a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd,；如果a\gt b和c\gt d [解决方案] - 证明：
a) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 [解决方案]
b) (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2；如果c\gt d [解决方案]
c) (a+b)(a-b) = a^2-b^2；如果c\gt d [解决方案]
d) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3 [解决方案]
e) (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3；如果c\gt d [解决方案] - 通过完全归纳法证明以下性质：
a) 1+2+3+4+\cdots+n = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} [解决方案]
b) 1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2 = \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [解决方案]
c) 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3 = \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4} [解决方案]