二次多项式和2n次多项式的因式分解
摘要：
在本课中，我们将详细回顾二次多项式 P(x) = ax^2 + bx + c 和 2n 次多项式 (2n)-多项式 P(x) = ax^{2n} + bx^n + c 的因式分解过程，将它们分解为简单因式。我们将数学地推导这些过程，并展示实际例子。
学习目标
- 学习如何对形如 P(x) = ax^2 + bx + c 的二次多项式进行因式分解。
- 推导并使用二次公式 x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 来找到根。
- 应用因式分解技术到形如 P(x) = ax^{2n} + bx^n + c 的 2n 次多项式。
- 识别二次多项式因式分解所需的条件。
- 使用完全平方的方法来进行因式分解。
简介
学习如何对二次多项式进行因式分解是开始学习许多其他因式分解技术的第一步。正因为如此，我们将深入探讨这一技术，并尽可能扩展它的应用。在结束时，您将不仅学会对二次多项式（2次方程）进行因式分解，还将使用这些技术来分解任意的 2n 次多项式。
二次多项式和2n次多项式
二次多项式是二次方程。 从这一点出发，二次多项式是任何形如
P(x) = ax^{2}+bx +c
其中 a,b,c\in\mathbb{R} 且 a\neq 0。然而，我们的研究不仅仅集中在因式分解这种形式的多项式上，我们还会讨论其中的广义形式，其中二次多项式只是一个特殊的例子。我们称之为 2n 次多项式。这一广义形式涵盖了所有可以写成如下形式的多项式：
P(x) = ax^{2n}+bx^n +c
除此之外，假设 a,b,c\in\mathbb{R} 且 a\neq 0，取任意 n\in\mathbb{N}。此类多项式的示例包括：
- P(x) = 3x^2 -x + 1
- Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
- R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
- S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9
等等。
二次多项式的因式分解
P(x) = ax^{2}+bx +c \;\; , \;\; a\neq 0
因式分解是将复杂多项式分解为两个更简单多项式乘积的过程。因此，如果可以进行因式分解，则存在常数 \alpha,\beta,\gamma,\delta \in\mathbb{R}，且 \alpha, \gamma \neq 0，使得：
| P(x) = ax^2 + bx + c | = (\alpha x + \beta)(\gamma x + \delta) |
| = \alpha \gamma \left(x +\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}\right)\left(x + \frac{\delta}{\gamma}\right) |
由于左右两边相等，因此当一边为零时，另一边也必须为零。结果是右边在 x=-\beta/\alpha 或 x=-\delta/\gamma 时为零。现在让我们看看左边在什么情况下为零。我们将得到
| ax^2 + bx + c | = 0 |
| ax^2 + bx | = -c |
| x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x | = - \displaystyle \frac{c}{a} |
| x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} | =\displaystyle \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} = \frac{ab^2 - 4a^2 c}{4a^3} = \frac{b^2 - 4ac }{4a^2} |
| \left(x + \displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2 | = \displaystyle \frac{b^2 - 4ac }{4a^2} |
| x + \displaystyle \frac{b}{2a} | = \pm \sqrt{\displaystyle \frac{b^2 - 4ac }{4a^2}} = \frac{\pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} |
| x | = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} ✅ |
根据这一推理，我们可以得出因式分解的希腊字母常数必须满足以下条件（一般情况下）：
- \alpha\gamma = a
- \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = - \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
- \displaystyle \frac{\delta}{\gamma} = - \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
由此我们得出一项技术，可以分解任何二次多项式。如果不能分解，则通过根号内的数告诉你答案：如果该数为负，则无法分解（使用实数）。我们可以通过引入符号约定简化这一过程：
- x_1 =\displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
- x_2 =\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
总而言之，因式分解可以简化为：
\color{blue}{x_{1,2} = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}} ✅
因此，最终的因式分解形式为：
\color{blue}{P(x) = ax^2 +bx + c = a(x-x_1)(x - x_2)}✅
二次四次多项式的因式分解扩展
该技术还可以用于分解二次四次多项式，方法如下：
Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a(x^2)^2 + bx^2 + c =a (x^2 - x_1^2)(x^2-x_2^2)
其中 x^2_{1,2} = \displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}。因此，你可以写作：
Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a\left(x^2 - \displaystyle \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right) \left(x^2- \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right)
在这一点上，你需要小心，因为接下来的步骤有其限制。如果 x_1^2 不是正数，你可以通过和差公式将 (x^2 - x_1^2) = (x-x_1)(x + x_1) 进行分解；否则，你将遇到复数，因此无法在实数范围内继续分解。如果所有根都很好地定义，你可以写作：
\begin{array}{rl} Q(x) &= ax^4 + bx^2 + c \\ \\ & = a \left(x -\displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x + \displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \\ \\ & \left(x- \displaystyle \sqrt{\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x+ \sqrt{\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \end{array}
否则，你将停在前一步。
2n次多项式的因式分解扩展
通过这种方法，我们可以理解它指向何处，对于 2n 次多项式的因式分解，只需重新表达它并在根明确时应用上述方法。因此，我们得到：
R(x) = a(x^n)^{2}+b (x^n) +c = a(x^n-x_1^n)(x^n-x_2^n)
其中 x^n_{1,2} =\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}。然后，在没有复数的情况下，可以使用和差公式进行分解。
例题
现在轮到你运用这些技术解决一些练习。这些随机选择的多项式将帮助你识别因式分解时可能遇到的难点。
第一轮
这些多项式是本文开头的示例
- P(x) = 3x^2 -x + 1
- Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
- R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
- S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9
第二轮
这些多项式稍微困难一些。
- P(x) = 78x^2 -21x - 13
- Q(x) = 27x^4 +5x^2 - 14
- R(x) = 9x^6 +12x^3 - 16
- S(x) = -9x^8 -2 x^4 + 10
- T(x) = 5x^{12} -2 x^6 - 15