夹逼定理在极限计算中的应用
摘要:
本课程介绍了夹逼定理，这是一种在微积分中用更简单的上下界函数来评估复杂极限的重要工具。课程提供了图形解释和正式证明，并附有实际例子。目标是帮助学生理解如何应用该定理更高效地计算极限。
学习目标:
完成本课程后，学生将能够
- 理解夹逼定理在极限计算中的作用。
- 识别可以为目标函数提供上下界的函数，以应用该定理。
- 应用夹逼定理来计算复杂的极限。
- 图形化地展示夹逼定理的概念。
- 正式证明夹逼定理。
内容目录:
介绍
夹逼定理的图形化理解
夹逼定理的证明
实例
介绍
夹逼定理的作用在于它通过更简单的极限计算一些复杂极限的便利性。该定理的名字由来是因为，与其直接计算当 x\to x_0 时的函数极限，不如使用另一对函数，一个提供上界，另一个提供下界，它们在 x_0 的极限是相同且易于计算的。由于原函数始终位于这两个函数之间，因此它就像”夹在两片面包中的奶酪”。
夹逼定理的图形化理解
实际上，定理的核心思想相当简单。 假设我们想要计算一个复杂的极限
\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)
通常的做法是利用我们所有的函数代数知识来尝试 将其简化到可以求值的程度。然而，有时采用不同的方法效率更高。假设我们有一个封闭区间 I，其中 x_0 \in I，并且存在另外两个函数 m(x) 和 M(x) 满足以下关系
(\forall x\in I)(m(x)\leq f(x) \leq M(x) )
并且
\displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = \lim_{x\to x_0} M(x) = L
则可以得出
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
这就是我们可以在下图中看到的内容。
夹逼定理的证明
为了证明夹逼定理，我们将遵循以下推理：
| (1) | x_0\in I; 前提 |
| (2) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = L ; 前提 |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_1 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_1 \rightarrow |m(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (3) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} M(x) = L ; 前提 |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_2 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_2 \rightarrow |M(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (4) | (\forall x \in I)(m(x) \leq f(x) \leq M(x) ); 前提 |
| (5) | (\forall x \in I)(m(x) - L \leq f(x) - L \leq M(x) - L ); 来自 (4) |
| (6) | (|m(x) -L|\lt \epsilon) \rightarrow (-\epsilon \lt m(x) - L \lt \epsilon) |
| (7) | (|M(x) -L|\lt \epsilon ) \rightarrow (-\epsilon \lt M(x) - L \lt \epsilon) |
| (8) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( |M(x) -L| \lt \epsilon \wedge |m(x) -L| \lt \epsilon ) ); 来自 (2,3) |
| (9) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( - \epsilon \lt f(x) - L \lt \epsilon ) ); 来自 (1,5,6,7,8) |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow |f(x) - L| \lt \epsilon ) ) | |
| \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L\;\blacksquare |
实例
通过使用夹逼定理，我们可以计算函数的极限，即使我们没有其显式代数表达式。以下是几个实例：
一个例子出现在以下情况中：
- 如果 \sqrt{5-2x^2}\leq f(x) \leq \sqrt{5-x^2}，当 -1\leq x\leq 1 时。 \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x) 的值是多少？[解答]
夹逼定理的另一个实际应用是当极限本身不明显时，使用其他更简单的上下界来限定它，如在计算以下情况时得到的结果：
- 计算： \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} [解答]