单侧极限：定义、发展与练习
摘要：
本文解释了微积分中的单侧极限和双侧极限，展示了它们如何直观地和形式化地定义和应用。本文提供了图形和代数示例，讨论了在这些情况下使用极限代数的条件，并包含了解答练习，以加强理解。本文旨在提供对这些微积分基础概念的清晰简明的理解。
学习目标：
在本课结束时，学生将能够：
- 理解单侧极限和双侧极限之间的区别。
- 正式定义右侧和左侧的单侧极限。
- 应用单侧极限的定义于微积分问题中。
- 图形化解释单侧极限和双侧极限。
- 识别双侧极限存在的必要条件。
- 在单侧极限情境下使用极限代数。
- 解决与单侧极限相关的微积分练习。
内容目录：
介绍
单侧极限和双侧极限的直观概念
单侧极限的正式定义
极限代数的条件
建议和解答练习
介绍
当我们遇到只能从左侧或右侧存在的极限时， 就会出现单侧极限，而不是从两侧都存在的极限。我们到目前为止所研究的正是后一种类型：函数 f 当 x\to x_0 时的极限存在，要求 f 在 x_0 的两侧都定义良好；如果没有发生这种情况，那么极限的定义将无法成立。由于这种类型的极限出现的情况很频繁，因此需要找到一种方法来处理它们。这通过正式定义来解决。
单侧极限和双侧极限的直观概念
函数极限存在的条件 是，当 x\to x_0 时，函数在 x_0 的两侧都定义良好。如果这种情况发生，那么我们就讨论双侧极限。而如果该极限的结果为 L，那么我们可以写
\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L
现在，假设我们重新定义这个函数，使其定义域仅包含大于 x_0 的值。如果我们这样做，我们会发现极限不再存在（因为会有 x 的值没有意义）；然而，图形上我们仍然可以说，当 x\to x_0 时，f(x) 仍然趋向于 L。我们在这里产生的直观概念是右侧极限，我们可以通过书写表示
\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L
同样的，我们将得到左侧极限
\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = L
最后，当左右极限都存在且相等时，双侧极限才会存在
\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0^-}f(x)
单侧极限的正式定义
正式定义单侧极限时，只需 对原始极限定义进行小幅修改。
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L := \left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. 0\lt|x-x_0|\lt\delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)
对于右侧极限，定义如下：
\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)
对于左侧极限，定义如下：
\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)
极限代数的条件
这些定义的有趣之处在于它们都包含在 传统极限定义中，这很重要，因为这使我们免于重新证明我们已经证明的所有双侧极限性质。只要涉及的极限性质相同（都是从左侧或都是从右侧，从不混合）、指向同一点并存在于该点，所有的极限代数都将如我们之前的课程中所见的那样运作。
建议和解答练习
- \displaystyle \lim_{x\to {\frac{1}{2}}^- } \sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}} [解答]
- \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} [解答]
- \displaystyle \lim_{x\to 2^+} \left(\dfrac{x}{x+1} \right) \left(\dfrac{2x+5}{x^2+x} \right) [解答]
- \displaystyle \lim_{x\to 1^-} \left(\dfrac{1}{x+1} \right) \left(\dfrac{x+6}{x} \right) \left(\dfrac{3-x}{x} \right) [解答]
- \displaystyle \lim_{h\to 0^+ } \dfrac{\sqrt{h^2 + 4h +5} - \sqrt{5}}{h} [解答]
- \displaystyle \lim_{h\to 0^-} \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5h^2 + 11h +6}}{h} [解答]
a. \displaystyle \lim_{x\to -2^+} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2} b. \displaystyle \lim_{x\to -2^-} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2} a. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|} b. \displaystyle \lim_{x\to 1^-}\dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}