什么是σ-代数？定义和示例

摘要
这节课探讨了σ-代数在概率论中的重要性。σ-代数是一个包含样本空间中所有可测事件的结构，它允许定义概率测度。通过实际例子，如抛硬币和电子设备的寿命，我们解释了σ-代数是如何从样本空间的部分构建而来的。还介绍了与连续样本空间相关的Borel σ-代数，并解释了其Borelian事件。

学习目标：
完成本课后，学生将能够：

可测事件出现在概率空间中，通过σ-代数得到。通过这个概念，我们将最初直观的概念转化为一种形式化的数学结构，从而定义概率测度。

σ-代数的定义

σ-代数（或σ-代数）是一个包含样本空间中所有可测事件的结构。如果满足以下条件，那么对于一个样本空间 $\Omega$ ，我们称其为σ-代数对 $\Sigma_{\Omega} = (\Omega, \mathcal{A}_{\Omega})$ ：

$\emptyset,\Omega \in \mathcal{A}_\Omega$
$\left(E \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E^c = \Omega\setminus E \in \mathcal{A}_\Omega)$
$\left(E_1, E_2 \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E_1 \cup E_2 \in \mathcal{A}_\Omega)$

所有 $E\in\mathcal{A}_\Omega$ 中的对象称为样本空间 $\Omega$ 的事件。

示例 1

对于抛一枚硬币的情况，σ-代数由

\Sigma_{1m}=(\Omega_{1m}, \mathcal{A}_{1m})

给出，其中

\mathcal{A}_{1m}

中的每个元素表示一个事件：

示例 2

如果我们抛两枚硬币，可以通过

\Omega_{2m}

的部分得到一个可能的σ-代数

\Sigma_{2m}=(\Omega_{2m}, \mathcal{A}_{2m})

。我们有以下内容：

$\Omega_{2m}= \{(C,C);(C,S); (S,C); (S,S)\}$
$\mathcal{A}_{2m}=\mathcal{P}(\Omega_{2m}) = \cdots$ $\cdots = \{\emptyset; \{(C,C)\}; \left\{(C,S)\}; \{(S,C)\}; \{(S,S)\}; \cdots \right.$ $\cdots; \{(C,C);(C,S)\};\{(C,C);(S,C)\};\{(C,C);(S,S)\};\cdots$ $\cdots; \{(C,S);(S,C)\};\{(C,S);(S,S)\};\{(S,C);(S,S)\};\cdots$ $\cdots; \{(C,C);(C,S);(S,C)\};\{(C,C);(C,S);(S,S)\}\cdots$ $\left.\cdots; \{(C,C);(S,C);(S,S)\}; \{(C,S);(S,C);(S,S)\}; \Omega_{2m}\right\}$

\mathcal{A}_{2m}

中的每个元素表示

\Omega_{2m}

的一个事件。以下是其中一些事件的名称：

示例 3

对于电子设备的寿命（以小时为单位），它可能在任何时刻损坏，σ-代数

\Sigma_e = (\Omega_e, \mathcal{A}_e)

给出如下：

因此， $I_t = ]0,t[\in\mathcal{A}_e$ 可以解释为”电子设备连续运行[t[/latex]小时直到损坏”。

与连续样本空间相关的概率σ-代数也被称为Borel σ-代数，其事件称为Borelian事件。