了解概率论的样本空间
摘要
在本课程中，我们探讨了概率空间的概念，这是一个由样本空间、西格玛代数和概率测度组成的数学结构。我们详细审查了样本空间，理解为一个随机过程所有可能状态的集合。通过实际示例，我们展示了离散和连续样本空间的构建，并解释了如何从中构建可测量事件并计算概率测度。这堂课对于理解概率论的基础并为其在不同领域的应用奠定基础至关重要。
学习目标：
完成本课程后，学生将能够：
- 理解 概率空间的概念。
- 识别 构成概率空间的元素。
- 区分 离散和连续样本空间。
- 构建 离散和连续样本空间。
概率空间
概率论基于一个被称为概率空间的对象。 这是一个由以下部分构成的数学结构：(i) 一个样本空间 \Omega，(ii) 一个西格玛代数 \Sigma，以及 (iii) 一个概率测度 P。为了构建概率空间，我们首先回顾样本空间的概念。
所有可能状态 \omega 的集合 \Omega 形成了一个非空集，我们称之为样本空间。
样本空间示例
| 示例 1 |
| 如果我们抛掷一枚硬币，那么我们有两个可能的结果：正面 (C) 和反面 (S)。因此，样本空间将是 \Omega_{1m}=\{C,S\} |
| 示例 2 |
| 如果重复前面的实验，但这次进行两次投掷，那么结果将是： \Omega_{2m}=\{(C,C);(C,S);(S,C);(S,S)\} 即所有可能的正面和反面组合方式。 |
| 示例 3 |
| 掷一个六面骰子的样本空间是： \Omega_{1d6}=\{1,2,3,4,5,6\} 即每一面上的数字。 |
| 示例 4 |
| 一个电器的寿命（以小时计）的样本空间是 \Omega_{ae}=\{t\in \mathbb{R} \;|\; t\geq 0\} 即，电器的寿命是一个位于区间 [0,+\infty[ 内的数字 t |
离散和连续的样本空间
从这些例子中，我们可以区分两种类型的样本空间，它们是离散的和连续的。离散的样本空间是那些由有限集合组成的空间，如前三个示例所示，尽管它们也可以是无限且可数的（如\mathbb{N}的任何子集）。相反，连续的样本空间是无限且不可数的集合；通常通过\mathbb{R}的子区间来表示。
从样本空间的元素（可能的状态）构建概率空间的可测量事件（sigma-代数的对象），并在这些对象上计算概率度量。
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