1. 多项式代数: 定义

要理解多项式代数，首先我们需要知道什么是多项式。 多项式是代数函数。如果 x 是一个实变量，那么函数 P(x) 是一个多项式，如果它可以写成：

\displaystyle P(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^i= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n,

其中 n 是一个非负整数，并且所有的 a_i， i\in\{1,2,3,\cdots,n\}, 都是实数系数。如果存在一个 k 使得 a_k\neq 0 并且当 k\lt i 时， a_i=0，那么这个 k 值称为多项式的 次数。换句话说，多项式的次数是伴随非零系数的最大幂。

2. 多项式的类型

多项式按其次数分类； 因此，当提到一个多项式时，通常会说它是一个次数为 k 的多项式，即 k 是伴随非零系数的 x 的最大幂。

2.1. 常数多项式

这是包括所有零次数多项式和零多项式的家族。我们说一个多项式是零次数的，如果它可以写成 P(x)=c, 其中 c\neq 0. 另一方面，零多项式的形式为 P(x) = 0，它没有定义次数。

3. 多项式代数: 运算

多项式继承了实数代数的所有性质。 特别重要的是分配性质和结合性质。

3.1. 加法和减法

如果 P 和 Q 是两个次数分别为 n 和 m 的多项式，分别为

m=n+k 和 0\leq k,

那么会有：

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) \pm Q(x) &=\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \sum_{i=0}^m b_i x^i \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \left( \sum_{i=0}^n b_i x^i + \sum_{i=n+1}^{n+k} b_i x^i \right) \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n (a_i \pm b_i) x^i + \sum_{i=n+1}^m b_i x^i \end{array}

也就是说，伴随相同幂次 x 的系数相加或相减，根据情况而定。

例子：
如果 P(x) = 3+5x+2x^2 和 Q(x) = 6x-3x^2 +23x^5，那么：

P(x) + Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) + (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5+6)x + (2-3)x^2 + 23x^5 \\ = 3 + 11x - x^2 + 23x^5

P(x) - Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) - (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5-6)x + (2+3)x^2 - 23x^5 \\ = 3 - x + 5x^2 - 23x^5

3.2. 乘法

在与多项式加减法相同的背景下， 多项式的乘积将如下发展：

首先区分标量乘法。如果 c \in \mathbb{R}, 那么我们有：

\displaystyle c P(x) = c \sum_{i=0}^n a_i x^i =\sum_{i=0}^n c a_i x^i

然后我们有多项式之间的乘法：

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) Q(x) &\displaystyle = \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) \left(\sum_{j=0}^m b_j x^j\right) \\ \\ &=\displaystyle \left[\sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) b_j x^j\right] \\ \\ &=\displaystyle \sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_ib_j x^{i+j} \right) \\ \\ &=\displaystyle \sum_{i,j=0}^{n,m} a_ib_j x^{i+j} \end{array}

这就是我们通过表达“所有的乘积之和”总结出来的内容。

例子：
如果 P(x) = 4x+ 2x^2-x^4 和 Q(x) = 5 - x + x^2-7x^3, 那么：

P(x)Q(x) =\cdots \\ {} \\= (4x+ 2x^2-x^4)(5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 4x(5 - x + x^2-7x^3) \\ + 2x^2 (5 - x + x^2-7x^3) \\ - x^4 (5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 20x - 4x^2 + 4x^3 - 28x^4 \\ + 10x^2 - 2x^3 + 2x^4 - 14x^5 \\ -5x^4 + x^5 - x^6 + 7x^7 \\ {} \\ = 20x + 6x^2 + 2x^3 - 31x^4 - 13x^5 - x^6 + 7x^7

4. 多项式的因式分解和除法

当我们将两个多项式相乘时，我们是从两个简单的多项式变成一个更复杂的多项式（次数更高）。 当我们因式分解一个多项式时，我们进行相反的过程：将一个复杂的多项式变成两个或更多低次多项式的乘积。

要因式分解一个多项式 P(x), 必须找到使多项式为零的 x 值；如果这些值存在，那么多项式是可分解的。谈论存在性是可以接受的，但找到它们是另一回事。当我们研究二次多项式和（2n）次多项式的因式分解时，我们将详细审查这个问题。

4.1. 特殊乘积

然而，有些情况下因式分解很简单，
如特殊乘积。以下是一些结果：

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2

(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3

x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

4. 除法算法

就像通过整数相乘得到复合数，使用除法算法当余数为零时进行因式分解， 类似的情况也发生在多项式上。用文本解释除法算法可能有点复杂，直接查看其执行情况和算法在何种情况下导致因式分解要容易得多。为了做到这一点，我们将审查一些例子。

例子： 计算 P(x):Q(x) 对于以下情况：

1. P(x)=2 x^3 + x^2 - 2 x - 1, Q(x)=x-1 [解决方案]
2. P(x)=x^4+2x^3-x+1, Q(x)=x^2-4 [解决方案]
3. P(x)=3 x^4 - 2 x^3 - x^2 - 4 x + 1, Q(x)=x^2+x+1 [解决方案]
4. P(x)=x^7+5x^4+5x^2-3x+1, Q(x)=x^3-2x^2+1 [解决方案]