{"id":35396,"date":"2025-01-01T13:00:26","date_gmt":"2025-01-01T13:00:26","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=35396"},"modified":"2025-12-14T23:51:25","modified_gmt":"2025-12-14T23:51:25","slug":"maxima-und-minima-einer-funktion","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/maxima-und-minima-einer-funktion\/","title":{"rendered":"Maxima und Minima einer Funktion"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Maxima und Minima einer Funktion<\/h1>\n<p style=\"text-align:center\"><em>Wo liegt der \u201ebeste\u201c Punkt einer Funktion: das Maximum, das man erreichen m\u00f6chte, oder das Minimum, das man vermeiden muss? Diese Frage, die in der Optimierung, Physik, \u00d6konomie und Ingenieurwissenschaften auftritt, ist eine der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung. Und hier kommt der entscheidende Punkt: Der <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/weierstrass-satz-ueber-die-extremalwerte\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Satz von Weierstrass<\/a> garantiert, dass, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> stetig ist und man auf einem abgeschlossenen und beschr\u00e4nkten Intervall arbeitet, dann <strong>absolute Extrema existieren<\/strong>. Von dort an wird das Vorgehen praktisch: zu lernen, <strong>lokale Extrema<\/strong> mithilfe von <strong>kritischen Punkten<\/strong> zu erkennen (<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f&#039;(x)=0<\/span><\/span> oder nicht existent) und Werkzeuge wie den Satz von Rolle und den Mittelwertsatz zu verwenden, um eine \u201eblinde\u201c Suche in eine klare, \u00fcberpr\u00fcfbare und effiziente Methode zu verwandeln.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center\">\n<strong>Lernziele:<\/strong>\n<\/p>\n<ol>\n<li><b>Durchf\u00fchren<\/b> eines vollst\u00e4ndigen Verfahrens zur Bestimmung absoluter Extrema in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span>: Auswertung von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> an inneren kritischen Punkten und an den Randpunkten des Intervalls sowie Vergleich der Werte zur Entscheidung \u00fcber absolutes Maximum und absolutes Minimum.\n  <\/li>\n<li><strong>Gegen\u00fcberstellen<\/strong> des Wertes einer notwendigen gegen\u00fcber einer hinreichenden Bedingung: erkennen, dass \u201e<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f&#039;(x_0)=0<\/span><\/span>\u201c kein lokales Extremum garantiert, und entscheiden, welche zus\u00e4tzlichen Evidenzen (Wertevergleich, Vorzeichenanalyse, lokales Verhalten) in jedem Fall relevant sind.\n  <\/li>\n<li><strong>Bestimmen<\/strong> der effizientesten Strategie je nach Problemtyp: absolute Extrema auf kompakten Intervallen (Weierstrass + endliche Auswertung) versus lokale Extrema an inneren Punkten (kritische Punkte + lokale Analyse), mit entsprechender Begr\u00fcndung der Wahl.\n  <\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\">\n<strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Maxima und Minima, absolute und lokale Extrema<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Kriterium der 1. Ableitung<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\"><strong>Der Satz von Rolle<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#4\"><strong>Der Differentiale Mittelwertsatz<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Intervalle des Wachstums und der Abnahme<\/a>\n<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">\n  <iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/OscTlX3raaE\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  Der <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/weierstrass-satz-ueber-die-extremalwerte\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Satz von Weierstrass<\/a> garantiert uns, dass, wenn eine reelle Funktion auf einer abgeschlossenen und beschr\u00e4nkten Teilmenge von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span> definiert und stetig ist, sie notwendigerweise maximale und minimale Werte (absolute Extrema) annimmt. Die Suche nach Maxima und Minima einer Funktion ist das, was man als ein <strong>Optimierungsproblem<\/strong> bezeichnet, und der Satz von Weierstrass garantiert die Existenz von L\u00f6sungen im Sinne absoluter Extrema, sofern die Funktion stetig ist und der Definitionsbereich kompakt ist. Nachdem die Existenz gesichert ist, bleibt nun nur noch, Strategien zu entwickeln, die es erlauben, diese L\u00f6sungen zu finden.\n<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Maxima und Minima, absolute und lokale Extrema<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&amp;t=156s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Bevor wir mit der Betrachtung beginnen<\/span><\/a> von Strategien zur Suche nach Maxima und Minima, definieren wir klar, wonach wir eigentlich suchen wollen.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0ffe0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>DEFINITION:<\/strong><\/span><br \/>\nSei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> eine Funktion mit Definitionsbereich <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span>. Wir sagen, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> ein <strong>absolutes Maximum<\/strong> an einem Punkt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in D<\/span><\/span> annimmt, wenn:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left( \\forall x \\in D \\right)\\bigl(f(x) \\leq f(x_0)\\bigr)<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          und ein <strong>absolutes Minimum<\/strong> in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> annimmt, wenn:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left( \\forall x \\in D \\right)\\bigl( f(x_0) \\leq f(x)\\bigr)<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  In analoger Weise werden lokale Extrema (relativ zum Definitionsbereich) definiert.\n<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0ffe0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>DEFINITION:<\/strong><\/span><br \/>\n          Sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> eine Funktion mit Definitionsbereich <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span> und sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in D<\/span><\/span>. Wir sagen, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> ein <strong>lokales Maximum<\/strong> in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> annimmt, wenn:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\exists h&gt;0)\\left( \\forall x\\in [x_0-h, x_0+h] \\cap D \\right)\\bigl(f(x) \\leq f(x_0)\\bigr)<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          und ein <strong>lokales Minimum<\/strong> in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> annimmt, wenn:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\exists h&gt;0)\\left( \\forall x\\in [x_0-h, x_0+h] \\cap D \\right)\\bigl( f(x_0) \\leq f(x)\\bigr)<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  Ausgehend davon k\u00f6nnen wir das folgende Resultat formulieren:\n<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #ffe0e0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #800000;\"><strong>THEOREM:<\/strong><\/span><br \/>\n          <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&amp;t=833s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n            <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> ein Punkt<\/span><\/strong><\/a> im Inneren eines kompakten Intervalls <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span><\/span>. Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> ein <strong>lokales<\/strong> Maximum oder Minimum annimmt und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(x_0)<\/span><\/span> existiert, dann gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(x_0)=0<\/span><\/span>.\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0e0ff;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>BEWEIS:<\/strong><\/span><br \/>\n          Angenommen, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> nimmt in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> ein lokales Maximum an. Dann existiert ein <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h_0 \\gt 0<\/span><\/span>, sodass f\u00fcr alle <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|h|\\lt h_0<\/span><\/span> und mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0+h\\in I<\/span><\/span> gilt:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_0 + h)\\leq f(x_0)<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          was \u00e4quivalent ist zu:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_0 + h) - f(x_0)\\leq 0<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Betrachten wir nun zwei F\u00e4lle:\n        <\/p>\n<ul>\n<li>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n              Falls <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h&gt;0<\/span><\/span>, dann gilt:\n            <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n              <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\\leq 0<\/span><\/span>\n            <\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n              Falls <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h\\lt 0<\/span><\/span>, dann gilt:\n            <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n              <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\\geq 0<\/span><\/span>\n            <\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Existiert <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(x_0)<\/span><\/span>, so existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten f\u00fcr <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h\\to 0<\/span><\/span> und muss mit beiden Ungleichungen vereinbar sein, was erzwingt, dass:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle f^\\prime(x_0)=\\lim_{h\\to 0}\\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Genau das war zu zeigen.\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  Es ist zu beachten, dass dieser Beweis auch f\u00fcr lokale Minima g\u00fcltig ist. In diesem Fall beginnt man mit: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_0+h)\\ge f(x_0)<\/span><\/span> f\u00fcr hinreichend kleines <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|h|<\/span><\/span>.\n<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/p>\n<h3>Kriterium der 1. Ableitung<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&amp;t=1257s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n    <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Das Ergebnis, das wir gerade betrachtet haben<\/span><\/strong><\/a> l\u00e4sst sich in der folgenden Implikation zusammenfassen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n  <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n  \\left\\{\\begin{matrix}f \\text{ nimmt ein}\\\\ \\text{lokales Extremum in }x_0 \\text{ an} \\end{matrix}\\right\\}\n\n  \\Longrightarrow\n\n  \\left\\{\\begin{matrix} \\displaystyle f^\\prime(x_0) = 0 \\\\ \\\\ \\vee \\\\ \\\\ \\text{Die Ableitung existiert in }x_0 \\text{ nicht} \\end{matrix}\\right\\}\n\n  <\/span><\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  Auch wenn die Umkehrung dieser Implikation im Allgemeinen nicht gilt, ist sie dennoch sehr n\u00fctzlich, um die Suche nach lokalen Extrema einzugrenzen. Auf dieser Grundlage werden die kritischen Punkte der ersten Ableitung definiert.\n<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0ffe0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>DEFINITION:<\/strong><\/span><br \/>\n          Man sagt, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> ein <strong>kritischer Punkt der ersten Ableitung<\/strong> ist, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(x_0)=0<\/span><\/span> gilt oder wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(x_0)<\/span><\/span> nicht existiert.\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  Die kritischen Punkte der ersten Ableitung sind relevant, da jeder Punkt, an dem die Funktion ein Extremum annimmt (lokal oder absolut), zur Menge der kritischen Punkte geh\u00f6ren muss:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n  <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\left\\{\\begin{matrix}\\text{Punkte, die}\\\\ \\text{absolute Extrema annehmen}\\end{matrix}\\right\\}\n\n  \\subseteq\n\n  \\left\\{\\begin{matrix}\\text{Punkte, die}\\\\ \\text{lokale Extrema annehmen}\\end{matrix}\\right\\}\n\n  \\subseteq\n\n  \\left\\{\\begin{matrix}\\text{kritische Punkte der}\\\\ \\text{ersten Ableitung}\\end{matrix}\\right\\}\n\n  <\/span><\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  Dies ist das, was wir als <strong>Kriterium der ersten Ableitung<\/strong> bezeichnen, verstanden als eine notwendige Bedingung f\u00fcr die Existenz lokaler Extrema an inneren Punkten.\n<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Der Satz von Rolle<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&amp;t=1454s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n    <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wir haben bereits gesehen, dass die Bestimmung<\/span><\/strong><\/a> kritischer Punkte der ersten Ableitung entscheidend f\u00fcr die Suche nach lokalen Extrema ist. Aus diesem Grund ist es naheliegend zu untersuchen, unter welchen Bedingungen die Existenz solcher kritischer Punkte garantiert werden kann. Ein Fortschritt in dieser Hinsicht ergibt sich aus dem Satz von Rolle.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #ffe0e0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #800000;\"><strong>THEOREM:<\/strong><\/span><br \/>\n          Sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> eine auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span> definierte und stetige Funktion und in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span> differenzierbar. Gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(a)=f(b)<\/span><\/span>, so existiert ein <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in]a,b[<\/span><\/span> derart, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c)=0<\/span><\/span>.\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0e0ff;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>BEWEIS:<\/strong><\/span><br \/>\n          Wir analysieren zwei M\u00f6glichkeiten:\n        <\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>\n            Gilt f\u00fcr alle <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in]a,b[<\/span><\/span>, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=f(a)=f(b)<\/span><\/span>, so ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> konstant und folglich gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(x)=0<\/span><\/span> f\u00fcr alle <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in]a,b[<\/span><\/span>. Insbesondere existiert ein <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in]a,b[<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c)=0<\/span><\/span>.\n          <\/li>\n<li>\n            Existiert ein <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in]a,b[<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)\\neq f(a)=f(b)<\/span><\/span>, so ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> nicht konstant. Da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span> stetig ist, erreicht sie nach dem Satz von Weierstrass ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Au\u00dferdem muss, da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(a)=f(b)<\/span><\/span> gilt und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> nicht konstant ist, mindestens eines dieser Extrema im Inneren <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span> auftreten.<\/p>\n<p>Ist somit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in]a,b[<\/span><\/span> ein innerer Punkt, an dem <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> ein lokales Extremum annimmt, so existiert aufgrund der Differenzierbarkeit von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span> insbesondere <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c)<\/span><\/span>, und nach dem vorherigen Satz folgt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c)=0<\/span><\/span>.\n          <\/li>\n<\/ol>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Der Differentiale Mittelwertsatz<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&amp;t=1878s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n    <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ein weiteres Ergebnis, das eine direkte Konsequenz<\/span><\/strong><\/a> der soeben betrachteten Resultate ist und n\u00fctzliche Informationen f\u00fcr das Studium von Funktionen liefert, ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.\n<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #ffe0e0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #800000;\"><strong>THEOREM:<\/strong><\/span><br \/>\n          Sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> eine auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span> definierte und stetige Funktion und in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span> differenzierbar. Dann existiert ein <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in]a,b[<\/span><\/span> derart, dass:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c) =\\displaystyle \\frac{f(b) - f(a)}{b-a}<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0e0ff;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>BEWEIS:<\/strong><\/span><br \/>\n          Sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> die durch\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x) = f(x) - \\displaystyle \\frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          definierte Funktion.<br \/>\n          Diese Funktion ist auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span> stetig und in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span> differenzierbar, da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> diese Eigenschaften ebenfalls besitzt. Zudem gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(a)=F(b)<\/span><\/span>, sodass wir den Satz von Rolle anwenden k\u00f6nnen, um zu schlie\u00dfen, dass es einen Punkt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in]a,b[<\/span><\/span> gibt mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F^\\prime(c)=0<\/span><\/span>.\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Leiten wir nun <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> ab, so erhalten wir:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F^\\prime(x) = f^\\prime(x) - \\displaystyle\\frac{f(b) - f(a)}{b-a}<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Auswertung in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span><\/span> und Verwendung von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F^\\prime(c)=0<\/span><\/span> ergibt:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0=F^\\prime(c) = f^\\prime(c) - \\displaystyle\\frac{f(b) - f(a)}{b-a}<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Folglich:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c) = \\displaystyle\\frac{f(b) - f(a)}{b-a}<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Genau das war zu zeigen.\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/br><\/p>\n<h3>Intervalle des Wachstums und der Abnahme<\/h3>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #ffe0e0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #800000;\"><strong>THEOREM:<\/strong><\/span>\n        <\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>\n            <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&amp;t=2402s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> eine Funktion<\/span><\/strong><\/a>, f\u00fcr die <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x\\in ]a,b[)\\left(0\\lt f^\\prime(x)\\right)<\/span><\/span> gilt, dann ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span> streng wachsend.\n          <\/li>\n<li>\n            Ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> eine Funktion, f\u00fcr die <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x\\in ]a,b[)\\left(f^\\prime(x)\\lt 0\\right)<\/span><\/span> gilt, dann ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span> streng fallend.\n          <\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0e0ff;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>BEWEIS:<\/strong><\/span><br \/>\n          Seien <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1,x_2\\in ]a,b[<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1 \\lt x_2<\/span><\/span>. Da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span> differenzierbar ist, k\u00f6nnen wir den Mittelwertsatz auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> \u00fcber das Intervall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[x_1,x_2]\\subset ]a,b[<\/span><\/span> anwenden. Folglich existiert ein Punkt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in]x_1,x_2[<\/span><\/span> mit:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c) = \\displaystyle\\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Daraus folgt:\n        <\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>\n            Ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c) \\gt 0<\/span><\/span>, so gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_2) - f(x_1) = f^\\prime(c)(x_2 - x_1) \\gt 0<\/span><\/span>.<br \/>\nDaher ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> wachsend.\n          <\/li>\n<li>\n            Ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c) \\lt 0<\/span><\/span>, so gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_2) - f(x_1) = f^\\prime(c)(x_2 - x_1) \\lt 0<\/span><\/span>.<br \/>\nDaher ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> fallend.\n          <\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">\nDas Studium von Maxima und Minima bedeutet nicht nur, \u201eAbleitungen zu berechnen\u201c, sondern zu lernen, eine diffuse Suche in ein Verfahren mit Garantien und klaren Kriterien zu \u00fcberf\u00fchren. Weierstrass sagt dir, wann du darauf vertrauen kannst, dass ein Optimum auf einem kompakten Intervall existiert, w\u00e4hrend das Kriterium der ersten Ableitung, der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz dir die Landkarte liefern, um Kandidaten zu finden und Schlussfolgerungen zu begr\u00fcnden: wo eine Funktion extremisieren kann, wann diese Bedingung lediglich notwendig ist und wie das Vorzeichen von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f&#039;<\/span><\/span> Wachstum und Abnahme offenbart. Beherrschst du diese Kette von Ideen, wechselst du von einer intuitiven Betrachtung von Graphen zu einer Optimierung mit \u00fcberpr\u00fcfbaren Argumenten, was genau den Unterschied ausmacht zwischen \u201eich glaube, hier liegt der beste Punkt\u201c und \u201eich wei\u00df, warum er hier liegen muss\u201c.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Maxima und Minima einer Funktion Wo liegt der \u201ebeste\u201c Punkt einer Funktion: das Maximum, das man erreichen m\u00f6chte, oder das Minimum, das man vermeiden muss? Diese Frage, die in der Optimierung, Physik, \u00d6konomie und Ingenieurwissenschaften auftritt, ist eine der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung. 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