{"id":35299,"date":"2025-01-01T13:00:55","date_gmt":"2025-01-01T13:00:55","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=35299"},"modified":"2025-12-14T22:04:55","modified_gmt":"2025-12-14T22:04:55","slug":"maximos-y-minimos-de-una-funcion","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/maximos-y-minimos-de-una-funcion\/","title":{"rendered":"M\u00e1ximos y M\u00ednimos de una Funci\u00f3n"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>M\u00e1ximos y M\u00ednimos de una Funci\u00f3n<\/h1>\n<p style=\"text-align:center\"><em>\u00bfD\u00f3nde est\u00e1 el \u201cmejor\u201d punto de una funci\u00f3n: el m\u00e1ximo que quieres alcanzar o el m\u00ednimo que necesitas evitar? Esa pregunta, que aparece en optimizaci\u00f3n, f\u00edsica, econom\u00eda e ingenier\u00eda, es el una de las principales aplicaciones del c\u00e1lculo diferencial. Y aqu\u00ed viene lo potente: el <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/teorema-de-weierstrass-de-los-valores-extremos\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Teorema de Weierstrass<\/a> te asegura que, si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> es continua y trabajas en un intervalo cerrado y acotado, entonces <strong>los extremos absolutos existen<\/strong>. Desde ah\u00ed, el juego se vuelve pr\u00e1ctico: aprender a detectar <strong>extremos locales<\/strong> con <strong>puntos cr\u00edticos<\/strong> (<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f&#039;(x)=0<\/span><\/span> o no existe) y usar herramientas como Rolle y el Valor Medio para convertir una b\u00fasqueda \u201ca ciegas\u201d en un m\u00e9todo claro, verificable y eficiente.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center\">\n<strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong>\n<\/p>\n<ol>\n<li><b>Ejecutar<\/b> un procedimiento completo para hallar extremos absolutos en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span>: evaluar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> en puntos cr\u00edticos interiores y en los extremos del intervalo, y comparar valores para decidir m\u00e1ximo y m\u00ednimo absolutos.\n  <\/li>\n<li><strong>Contrastar<\/strong> el valor de una condici\u00f3n necesaria versus suficiente: reconocer que \u201c<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f&#039;(x_0)=0<\/span><\/span>\u201d no garantiza extremo local, y decidir qu\u00e9 evidencias adicionales (comparaci\u00f3n de valores, an\u00e1lisis de signos, comportamiento local) son pertinentes en cada caso.\n  <\/li>\n<li><strong>Determinar<\/strong> la estrategia m\u00e1s eficiente seg\u00fan el tipo de problema: extremos absolutos en intervalos compactos (Weierstrass + evaluaci\u00f3n finita) versus extremos locales en puntos interiores (puntos cr\u00edticos + an\u00e1lisis local), justificando la elecci\u00f3n.\n  <\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\">\n<strong><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>M\u00e1ximos y m\u00ednimos, extremos absolutos y locales<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Criterio de la 1\u00b0 Derivada<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\"><strong>El Teorema de Rolle<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#4\"><strong>El Teorema del Valor Medio Diferencial<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Intervalos de crecimiento y decrecimiento<\/a>\n<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">\n  <iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/OscTlX3raaE\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  El <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/teorema-de-weierstrass-de-los-valores-extremos\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Teorema de Weierstrass<\/a> nos asegura que, si una funci\u00f3n real est\u00e1 definida y es continua en un subconjunto cerrado y acotado de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span>, entonces necesariamente alcanza valores m\u00e1ximo y m\u00ednimo (extremos absolutos). La b\u00fasqueda de m\u00e1ximos y m\u00ednimos de una funci\u00f3n es lo que se conoce como un <strong>problema de optimizaci\u00f3n<\/strong>, y el teorema de Weierstrass nos garantiza la existencia de soluciones en el sentido de extremos absolutos, siempre que la funci\u00f3n sea continua y el dominio sea compacto. Teniendo asegurada la existencia, ahora solo falta desarrollar estrategias que permitan encontrar esas soluciones.\n<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>M\u00e1ximos y m\u00ednimos, extremos absolutos y locales<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&amp;t=156s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Antes de comenzar a revisar<\/span><\/a> estrategias para la b\u00fasqueda de m\u00e1ximos y m\u00ednimos, definamos con claridad qu\u00e9 es lo que queremos buscar.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0ffe0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>DEFINICI\u00d3N:<\/strong><\/span><br \/>\nSea <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> una funci\u00f3n con dominio <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span>. Diremos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> alcanza un <strong>m\u00e1ximo absoluto<\/strong> en un punto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in D<\/span><\/span> si:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left( \\forall x \\in D \\right)\\bigl(f(x) \\leq f(x_0)\\bigr)<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          y alcanzar\u00e1 un <strong>m\u00ednimo absoluto<\/strong> en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> si:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left( \\forall x \\in D \\right)\\bigl( f(x_0) \\leq f(x)\\bigr)<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  De forma an\u00e1loga se definen los extremos locales (relativos al dominio).\n<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0ffe0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>DEFINICI\u00d3N:<\/strong><\/span><br \/>\n          Sea <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> una funci\u00f3n con dominio <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D<\/span><\/span> y sea <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in D<\/span><\/span>. Diremos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> alcanza un <strong>m\u00e1ximo local<\/strong> en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> si:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\exists h&gt;0)\\left( \\forall x\\in [x_0-h, x_0+h] \\cap D \\right)\\bigl(f(x) \\leq f(x_0)\\bigr)<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          y alcanzar\u00e1 un <strong>m\u00ednimo local<\/strong> en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> si:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\exists h&gt;0)\\left( \\forall x\\in [x_0-h, x_0+h] \\cap D \\right)\\bigl( f(x_0) \\leq f(x)\\bigr)<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  A partir de esto podemos enunciar el siguiente resultado:\n<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #ffe0e0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #800000;\"><strong>TEOREMA:<\/strong><\/span><br \/>\n          <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&amp;t=833s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n            <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Sea <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> un punto<\/span><\/strong><\/a> interior de un intervalo compacto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span><\/span>. Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> alcanza un m\u00e1ximo o m\u00ednimo <strong>local<\/strong> en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(x_0)<\/span><\/span> existe, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(x_0)=0<\/span><\/span>.\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0e0ff;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>DEMOSTRACI\u00d3N:<\/strong><\/span><br \/>\n          Supongamos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> alcanza un m\u00e1ximo local en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span>. Entonces existe <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h_0 \\gt 0<\/span><\/span> tal que, para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|h|\\lt h_0<\/span><\/span> y con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0+h\\in I<\/span><\/span>, se cumple:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_0 + h)\\leq f(x_0)<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          lo cual es equivalente a:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_0 + h) - f(x_0)\\leq 0<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Consideremos ahora dos casos:\n        <\/p>\n<ul>\n<li>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n              Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h&gt;0<\/span><\/span>, entonces:\n            <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n              <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\\leq 0<\/span><\/span>\n            <\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n              Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h\\lt 0<\/span><\/span>, entonces:\n            <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n              <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\\geq 0<\/span><\/span>\n            <\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(x_0)<\/span><\/span> existe, entonces el l\u00edmite del cociente incremental cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h\\to 0<\/span><\/span> existe y debe ser compatible con ambas desigualdades, lo que obliga a que:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle f^\\prime(x_0)=\\lim_{h\\to 0}\\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Que es lo que se quer\u00eda demostrar.\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  Debe notarse que esta demostraci\u00f3n tambi\u00e9n es v\u00e1lida para m\u00ednimos locales. En ese caso se inicia con: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_0+h)\\ge f(x_0)<\/span><\/span> para <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|h|<\/span><\/span> suficientemente peque\u00f1o.\n<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/p>\n<h3>Criterio de la 1\u00b0 Derivada<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&amp;t=1257s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n    <strong><span style=\"color: #ff0000;\">El resultado que acabamos de revisar<\/span><\/strong><\/a> se puede resumir en la siguiente implicancia:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n  <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n  \\left\\{\\begin{matrix}f \\text{ alcanza un}\\\\ \\text{extremo local en }x_0 \\end{matrix}\\right\\}\n\n  \\Longrightarrow\n\n  \\left\\{\\begin{matrix} \\displaystyle f^\\prime(x_0) = 0 \\\\ \\\\ \\vee \\\\ \\\\ \\text{La derivada no existe en }x_0 \\end{matrix}\\right\\}\n\n  <\/span><\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  Si bien el rec\u00edproco de esta implicancia no es cierto en general, s\u00ed es muy \u00fatil a la hora de acotar la b\u00fasqueda de extremos locales. En funci\u00f3n de esto se definen los puntos cr\u00edticos de la primera derivada.\n<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0ffe0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>DEFINICI\u00d3N:<\/strong><\/span><br \/>\n          Se dice que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> es un <strong>punto cr\u00edtico de la primera derivada<\/strong> si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(x_0)=0<\/span><\/span> o si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(x_0)<\/span><\/span> no existe.\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  Los puntos cr\u00edticos de la primera derivada son relevantes porque todo punto donde la funci\u00f3n extremiza (local o absolutamente) debe pertenecer al conjunto de puntos cr\u00edticos:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n  <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\left\\{\\begin{matrix}\\text{puntos que}\\\\ \\text{extremizan absolutamente}\\end{matrix}\\right\\}\n\n  \\subseteq\n\n  \\left\\{\\begin{matrix}\\text{puntos que}\\\\ \\text{extremizan localmente}\\end{matrix}\\right\\}\n\n  \\subseteq\n\n  \\left\\{\\begin{matrix}\\text{puntos cr\u00edticos de la}\\\\ \\text{primera derivada}\\end{matrix}\\right\\}\n\n  <\/span><\/span>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  Esto es lo que llamamos <strong>criterio de la primera derivada<\/strong>, entendido como una condici\u00f3n necesaria para la existencia de extremos locales en puntos interiores.\n<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>El Teorema de Rolle<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&amp;t=1454s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n    <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ya hemos visto que la determinaci\u00f3n<\/span><\/strong><\/a> de puntos cr\u00edticos de la primera derivada es clave en la b\u00fasqueda de extremos locales. Debido a esto, es natural investigar bajo qu\u00e9 condiciones se puede asegurar la existencia de tales puntos cr\u00edticos. Un avance en este sentido viene de la mano del teorema de Rolle.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #ffe0e0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #800000;\"><strong>TEOREMA:<\/strong><\/span><br \/>\n          Sea <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> una funci\u00f3n definida y continua en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span>, y derivable en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span>. Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(a)=f(b)<\/span><\/span>, entonces existe un <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in]a,b[<\/span><\/span> tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c)=0<\/span><\/span>.\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0e0ff;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>DEMOSTRACI\u00d3N:<\/strong><\/span><br \/>\n          Analizaremos dos posibilidades:\n        <\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>\n            Si para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in]a,b[<\/span><\/span> se cumple <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=f(a)=f(b)<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> es constante y, en consecuencia, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(x)=0<\/span><\/span> para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in]a,b[<\/span><\/span>. En particular, existe un <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in]a,b[<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c)=0<\/span><\/span>.\n          <\/li>\n<li>\n            Si existe <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in]a,b[<\/span><\/span> tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)\\neq f(a)=f(b)<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> no es constante. Como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> es continua en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span>, por el teorema de Weierstrass alcanza un m\u00e1ximo absoluto y un m\u00ednimo absoluto en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(a)=f(b)<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> no es constante, al menos uno de esos extremos debe ocurrir en el interior <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>As\u00ed, si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in]a,b[<\/span><\/span> es un punto interior donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> alcanza un extremo local. Como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> es derivable en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span>, en particular existe <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c)<\/span><\/span>, y por el teorema anterior se concluye que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c)=0<\/span><\/span>.\n          <\/li>\n<\/ol>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>El Teorema del Valor Medio Diferencial<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n  <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&amp;t=1878s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><br \/>\n    <strong><span style=\"color: #ff0000;\">Otro resultado que es consecuencia directa<\/span><\/strong><\/a> de los que acabamos de revisar, y que aporta informaci\u00f3n \u00fatil para el estudio de las funciones, es el teorema del valor medio para el c\u00e1lculo diferencial.\n<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #ffe0e0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #800000;\"><strong>TEOREMA:<\/strong><\/span><br \/>\n          Sea <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> una funci\u00f3n definida y continua en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span>, y derivable en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span>. Entonces existe un <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in]a,b[<\/span><\/span> tal que:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c) =\\displaystyle \\frac{f(b) - f(a)}{b-a}<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0e0ff;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>DEMOSTRACI\u00d3N:<\/strong><\/span><br \/>\n          Sea <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> la funci\u00f3n definida por:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x) = f(x) - \\displaystyle \\frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Esta funci\u00f3n es continua en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span> y derivable en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span> porque <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> tambi\u00e9n lo es. Adem\u00e1s, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(a)=F(b)<\/span><\/span>, de modo que podemos utilizar el teorema de Rolle para concluir que existe un punto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in]a,b[<\/span><\/span> tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F^\\prime(c)=0<\/span><\/span>.\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Ahora, derivando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> se obtiene:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F^\\prime(x) = f^\\prime(x) - \\displaystyle\\frac{f(b) - f(a)}{b-a}<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Evaluando en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span><\/span> y usando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F^\\prime(c)=0<\/span><\/span>:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0=F^\\prime(c) = f^\\prime(c) - \\displaystyle\\frac{f(b) - f(a)}{b-a}<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          Luego:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c) = \\displaystyle\\frac{f(b) - f(a)}{b-a}<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          que es lo que se quer\u00eda demostrar.\n        <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/br><\/p>\n<h3>Intervalos de crecimiento y decrecimiento<\/h3>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #ffe0e0;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #800000;\"><strong>TEOREMA:<\/strong><\/span>\n        <\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>\n            <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&amp;t=2402s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> es una funci\u00f3n<\/span><\/strong><\/a> tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x\\in ]a,b[)\\left(0\\lt f^\\prime(x)\\right)<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> es estrictamente creciente en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span>.\n          <\/li>\n<li>\n            Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> es una funci\u00f3n tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x\\in ]a,b[)\\left(f^\\prime(x)\\lt 0\\right)<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> es estrictamente decreciente en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span>.\n          <\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e0e0ff;\">\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          <span style=\"color: #000080;\"><strong>DEMOSTRACI\u00d3N:<\/strong><\/span><br \/>\n          Sean <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1,x_2\\in ]a,b[<\/span><\/span> tales que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1 \\lt x_2<\/span><\/span>. Como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> es derivable en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]a,b[<\/span><\/span>, podemos aplicar el teorema del valor medio a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> sobre el intervalo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[x_1,x_2]\\subset ]a,b[<\/span><\/span>. En consecuencia, existe un punto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in]x_1,x_2[<\/span><\/span> tal que:\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n          <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c) = \\displaystyle\\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}<\/span><\/span>\n        <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n          A partir de esto:\n        <\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>\n            Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c) \\gt 0<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_2) - f(x_1) = f^\\prime(c)(x_2 - x_1) \\gt 0<\/span><\/span>.<br \/>\nPor lo tanto, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> es creciente.\n          <\/li>\n<li>\n            Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f^\\prime(c) \\lt 0<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_2) - f(x_1) = f^\\prime(c)(x_2 - x_1) \\lt 0<\/span><\/span>.<br \/>\nPor lo tanto, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> es decreciente.\n          <\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">\nEstudiar m\u00e1ximos y m\u00ednimos no es solo \u201chacer derivadas\u201d, sino aprender a transformar una b\u00fasqueda difusa en un procedimiento con garant\u00edas y criterios claros. Weierstrass te dice cu\u00e1ndo puedes confiar en que el \u00f3ptimo existe en un intervalo compacto, mientras que el criterio de la primera derivada, Rolle y el Teorema del Valor Medio te entregan el mapa para encontrar candidatos y justificar conclusiones: d\u00f3nde puede extremizar una funci\u00f3n, cu\u00e1ndo esa condici\u00f3n es solo necesaria, y c\u00f3mo el signo de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f&#039;<\/span><\/span> revela crecimiento y decrecimiento. Si dominas esta cadena de ideas, pasas de mirar gr\u00e1ficos con intuici\u00f3n a resolver optimizaci\u00f3n con argumentos verificables, que es exactamente la diferencia entre \u201ccreo que aqu\u00ed est\u00e1 el mejor punto\u201d y \u201cs\u00e9 por qu\u00e9 debe estar aqu\u00ed\u201d.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>M\u00e1ximos y M\u00ednimos de una Funci\u00f3n \u00bfD\u00f3nde est\u00e1 el \u201cmejor\u201d punto de una funci\u00f3n: el m\u00e1ximo que quieres alcanzar o el m\u00ednimo que necesitas evitar? Esa pregunta, que aparece en optimizaci\u00f3n, f\u00edsica, econom\u00eda e ingenier\u00eda, es el una de las principales aplicaciones del c\u00e1lculo diferencial. 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