{"id":34763,"date":"2021-07-03T13:00:42","date_gmt":"2021-07-03T13:00:42","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34763"},"modified":"2025-09-20T08:19:14","modified_gmt":"2025-09-20T08:19:14","slug":"das-erste-gesetz-der-thermodynamik","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/das-erste-gesetz-der-thermodynamik\/","title":{"rendered":"Das Erste Gesetz der Thermodynamik"},"content":{"rendered":"<style>\n\tp, ul, ol {\n\t\ttext-align: justify;\n\t}\n\th1, h2 {\n\ttext-align:center;\n\t}\n<\/style>\n<h1>Das Erste Gesetz der Thermodynamik<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em>Das Erste Gesetz der Thermodynamik bildet die Grundlage, die fundamentale Konzepte wie W\u00e4rme, Arbeit und innere Energie miteinander verbindet. Es legt fest, dass Energie weder erschaffen noch zerst\u00f6rt wird, sondern sich lediglich umwandelt. Dieses Material untersucht, wie dieses Gesetz auf geschlossene Systeme angewendet wird, und vertieft die Analyse der thermodynamischen Arbeit, der W\u00e4rmekapazit\u00e4ten und der statistischen Eigenschaften von Gasen. Durch eine Kombination aus mathematischen Formulierungen und physikalischen \u00dcberlegungen wirst du wesentliche Werkzeuge entdecken, um Energieprozesse in komplexen Systemen zu verstehen.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Studierende in der Lage sein,\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Zu begr\u00fcnden<\/strong>, warum das Erste Gesetz der Thermodynamik f\u00fcr geschlossene Systeme gilt, und die Zusammenh\u00e4nge zwischen W\u00e4rme, Arbeit und innerer Energie zu erkl\u00e4ren.<\/li>\n<li><strong>Das Konzept<\/strong> der thermodynamischen Arbeit bei Kompressions- und Expansionsprozessen unter Verwendung von Differentialformeln <strong>zu analysieren<\/strong>.<\/li>\n<li><strong>Die W\u00e4rmekapazit\u00e4t<\/strong> unter Bedingungen konstanten Volumens und konstanten Drucks zu berechnen, indem thermodynamische Einschr\u00e4nkungen angewendet werden.<\/li>\n<li><strong>Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung<\/strong> und das Prinzip der Energieequitpartition in molekularen Systemen <strong>zu erkl\u00e4ren<\/strong>.<\/li>\n<li><strong>Spezifische Beziehungen<\/strong> zwischen W\u00e4rmekapazit\u00e4ten, dem Adiabatenexponenten und anderen thermodynamischen Eigenschaften idealer Gase <strong>nachzuweisen<\/strong>.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center\"><strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Formulierung des Ersten Gesetzes der Thermodynamik<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Thermodynamische Arbeit<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">W\u00e4rmekapazit\u00e4t<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Maxwell-Boltzmann-Verteilung und Energieequitpartition<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">\u00dcbungen<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/T6K1Nizc5NE\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Formulierung des Ersten Gesetzes der Thermodynamik<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=T6K1Nizc5NE&amp;t=140s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Das Erste Gesetz der Thermodynamik<\/strong><\/a> besagt:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #c0ffc0;\"><span style=\"color: #000080;\">ERSTES GESETZ DER THERMODYNAMIK<br \/>\n<strong>Energie wird weder erschaffen noch zerst\u00f6rt; zudem sind W\u00e4rme und Arbeit Energieformen (vom Prozess emittiert, absorbiert oder genutzt)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Die innere Energie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U<\/span> ist eine Zustandsgr\u00f6\u00dfe, da sie f\u00fcr jeden Gleichgewichtszustand des Systems einen wohldefinierten Wert besitzt. Die innere Energie des Systems kann durch W\u00e4rmezufuhr <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q<\/span> oder durch Arbeit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">W<\/span> ver\u00e4ndert werden; Arbeit und W\u00e4rme sind jedoch keine Zustandsgr\u00f6\u00dfen. Dies liegt daran, dass beide vom Prozess abh\u00e4ngen, durch den Energie hinzugef\u00fcgt oder entzogen wird, und es nach Abschluss des Prozesses unm\u00f6glich ist zu bestimmen, welche Menge an W\u00e4rme oder Arbeit erforderlich war, um diesen Gleichgewichtszustand zu erreichen.<\/p>\n<p>Die \u00c4nderung der inneren Energie eines Systems kann in der Form geschrieben werden als:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta U = \\Delta Q + \\Delta W<\/span><\/span>,<\/p>\n<p>wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta Q<\/span><\/span> die zugef\u00fchrte W\u00e4rmemenge und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta W<\/span><\/span> die auf das System verrichtete Arbeit ist. Nach Konvention ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta Q<\/span><\/span> positiv, wenn dem System W\u00e4rme zugef\u00fchrt wird; ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta Q<\/span><\/span> negativ, so wird dem System W\u00e4rme entzogen; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta W<\/span><\/span> ist positiv f\u00fcr Arbeit, die am System verrichtet wird; ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta W<\/span><\/span> negativ, verrichtet das System Arbeit an der Umgebung.<\/p>\n<p>Der Zusammenhang zwischen Arbeit, W\u00e4rme und innerer Energie kann auch in Differentialform durch die Beziehung ausgedr\u00fcckt werden<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dU = \\delta Q + \\delta W<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Hier wird der Buchstabe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span> verwendet, um ungenaue Differentiale darzustellen.<\/p>\n<p>Ein thermisch isoliertes System wird definiert als ein System, das keinen W\u00e4rmeaustausch mit seiner Umgebung haben kann. Wenn dies der Fall ist, dann gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d U = \\delta W<\/span><\/span>. Dies ist das <strong>Erste Gesetz der Thermodynamik<\/strong>, eingeschr\u00e4nkt auf ein adiabatisches System.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Thermodynamische Arbeit<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=T6K1Nizc5NE&amp;t=418s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn wir eine Feder zusammendr\u00fccken<\/strong><\/a> \u00fcber eine Distanz <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dx<\/span><\/span>, reagiert sie mit einer elastischen Kraft der Gr\u00f6\u00dfe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span> und wir verrichten somit eine Arbeit<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta W = Fdx<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Wenn wir ein Gas komprimieren, k\u00f6nnen wir uns vorstellen, dass es aus vielen Federn besteht, die nebeneinander angeordnet sind und einen bestimmten Raum f\u00fcllen. In diesem Fall gilt: Wenden wir eine Kraft <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span> auf eine Fl\u00e4che <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> an, so \u00fcben wir einen Druck <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P=F\/A<\/span><\/span> aus und k\u00f6nnen daher schreiben, dass die verrichtete Arbeit lautet<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta W = PAdx = -PdV <\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Das Minuszeichen in der letzten Gleichung ergibt sich daraus, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Adx=-dV<\/span><\/span>. Dies liegt daran, dass sich das Volumen verringert, wenn die \u201eFedern\u201c um eine Distanz <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dx<\/span><\/span> zusammengedr\u00fcckt werden. Wird Arbeit an einem thermodynamischen System verrichtet, reagiert dieses, indem es sein Volumen reduziert.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>W\u00e4rmekapazit\u00e4t<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=T6K1Nizc5NE&amp;t=677s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Nehmen wir nun an<\/strong><\/a>, dass wir genauer verstehen m\u00f6chten, wie sich die innere Energie eines Systems ver\u00e4ndert, wenn W\u00e4rme zugef\u00fchrt wird. Im Allgemeinen ist die innere Energie eine Funktion der Temperatur und des Volumens, sodass wir schreiben k\u00f6nnen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U=U(T,V)<\/span><\/span>. Da die Energie ein exaktes Differential ist, l\u00e4sst sich die \u00c4nderung von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U<\/span> in Bezug auf <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span> durch die Beziehung ausdr\u00fccken<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle dU = \\left(\\frac{\\partial U}{\\partial T}\\right)_V dT + \\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V}\\right)_T dV<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Nun k\u00f6nnen wir aus den Beziehungen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dU=\\delta Q + \\delta W<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta W=-PdV<\/span><\/span> das <strong>Erste Gesetz der Thermodynamik<\/strong> anhand der folgenden \u00dcberlegungen umformulieren:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\delta Q &amp;= dU + PdV\\\\ \\\\\n\n&amp; \\displaystyle  =\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial T}\\right)_V dT + \\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V}\\right)_T dV + PdV\\\\ \\\\\n\n&amp; \\displaystyle =\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial T}\\right)_V dT + \\left[\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V}\\right)_T + P\\right]dV \\\\ \\\\\n\n\\displaystyle  \\frac{\\delta Q}{dT} &amp; \\displaystyle  =\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial T}\\right)_V + \\left[\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V}\\right)_T + P\\right]\\frac{dV}{dT}.\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Dies ist eine g\u00fcltige Beziehung f\u00fcr jede \u00c4nderung von Temperatur und Volumen.<\/p>\n<p>Auf Grundlage dessen k\u00f6nnen wir die W\u00e4rmemenge bestimmen, die hinzugef\u00fcgt werden muss, um unter bestimmten Einschr\u00e4nkungen eine Temperatur\u00e4nderung zu bewirken.<\/p>\n<h3>Einschr\u00e4nkung bei konstantem Volumen<\/h3>\n<p>Um zu sehen, was bei konstantem Volumen geschieht, erinnern wir uns an die Definition der W\u00e4rmekapazit\u00e4t bei konstantem Volumen: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C_V=(\\partial Q\/ \\partial T)_V<\/span><\/span>. Beschr\u00e4nken wir uns also in der zuvor durchgef\u00fchrten Analyse darauf, das Volumen konstant zu halten, so heben wir den Term <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dV\/dT<\/span><\/span> im Ausdruck von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta Q\/dT<\/span><\/span> auf. Dies dient uns als Begr\u00fcndung, um zu schreiben:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  C_V = \\left(\\frac{\\partial U}{\\partial T} \\right)_V<\/span><\/span><\/p>\n<h3>Einschr\u00e4nkung bei konstantem Druck<\/h3>\n<p>Wenn wir den Druck konstant halten, dann gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle C_p =\\left(\\frac{\\partial Q}{\\partial T}\\right)_P=\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial T}\\right)_V + \\left[\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V}\\right)_T + P\\right]\\left(\\frac{\\partial V}{\\partial T}\\right)_p<\/span><\/span>.<\/p>\n<h3>W\u00e4rmekapazit\u00e4t eines einatomigen Gases<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=T6K1Nizc5NE&amp;t=974s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn wir betrachten<\/strong><\/a> ein einatomiges Gas, so hat die innere Energie aufgrund der kinetischen Energie seiner Teilchen die Form <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n U=\\frac{3}{2}Nk_BT<\/span>. Dieses Ergebnis wird durch das Prinzip der Energieequipartition gerechtfertigt, das aus einem statistischen Ansatz der Teilchenbewegung untersucht werden kann.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Maxwell-Boltzmann-Verteilung und Energieequipartition<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=T6K1Nizc5NE&amp;t=1027s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Da die Energie eines Systems<\/strong><\/a> proportional zu seinem <strong>Boltzmann-Faktor<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">e^{-E\/(k_BT)}<\/span><\/span> ist. Wenn wir davon ausgehen und ber\u00fccksichtigen, dass die kinetische Energie der Teilchen die Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  E_{cin}=\\frac{1}{2}mv^2<\/span><\/span> hat, k\u00f6nnen wir folgern, dass die mit der Bewegung der Teilchen des Systems verbundene Energie, projiziert auf eine der drei Koordinatenachsen (konzentrieren wir uns zun\u00e4chst auf die Achse <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span><\/span>), folglich einer Geschwindigkeitsverteilung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(v_x)<\/span><\/span> entspricht, die proportional ist zu <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">e^{-mv_x^2\/(2k_BT)}<\/span><\/span>. Das hei\u00dft:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(v_x)= A e^{-mv_x^2\/(2k_BT)}<\/span><\/span>,<\/p>\n<p>wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> eine zu bestimmende Konstante ist. Da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(v_x)<\/span><\/span> eine Verteilungsfunktion ist, muss sie normalisiert sein, sodass gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\int_{-\\infty}^{+\\infty} g(v_x)dv_x= 1<\/span><\/span><\/p>\n<p>Ein n\u00fctzliches Ergebnis zur Analyse dieser Situation ist das der Gau\u00dfschen Integralformel<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-x^2}dx= \\sqrt{\\pi}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Daraus folgt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle 1= \\int_{-\\infty}^{+\\infty} Ae^{\\frac{-mv_x^2}{2k_BT}}dv_x= A\\sqrt{\\frac{\\pi}{m\/(2k_BT)}} = A\\sqrt{\\frac{2\\pi k_BT}{m}}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Und daher<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  g(v_x) = \\sqrt{\\frac{m}{2\\pi k_BT}}e^{-mv_x^2\/(2k_BT)}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Damit ist es nun m\u00f6glich, die mittlere Geschwindigkeit in Projektion auf die Achse <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span><\/span>, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left&lt; v_x^2\\right&gt;<\/span><\/span>, zu berechnen. Das Ergebnis lautet:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left&lt; v_x^2\\right \\gt = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} v_x^2 g(v_x) dv_x = \\sqrt{\\frac{m}{2\\pi k_BT}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} v_x^2 e^{-mv_x^2\/(2k_BT)} = \\frac{k_BT}{m} <\/span><\/span><\/p>\n<p>Und da die mittlere quadratische Geschwindigkeit in der Form zerlegt werden kann <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  \\left\\lt v^2\\right\\gt = \\left\\lt v_x^2\\right\\gt + \\left\\lt v_y^2\\right\\gt + \\left\\lt v_z^2\\right\\gt<\/span><\/span> und jede dieser Komponenten die gleiche Herleitung und dasselbe Ergebnis hat, l\u00e4sst sich die mittlere kinetische Energie des Teilchensystems schreiben als<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  \\left\\lt E_{cin}\\right\\gt =\\frac{1}{2}m\\left\\lt v^2\\right\\gt  = \\frac{1}{2}m \\cdot 3\\frac{k_BT}{m}= \\frac{3}{2}k_BT<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Dies nennen wir das \u201ePrinzip der Energieequipartition\u201c. Daraus k\u00f6nnen wir schlie\u00dfen, dass, wenn das System aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> Teilchen mit mittlerer kinetischer Energie <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left\\lt E_{cin}\\right\\gt<\/span><\/span> besteht und die Gesamtenergie des Systems rein kinetischen Ursprungs ist, nicht nur die innere Energie des Systems <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n U=3Nk_BT\/2<\/span> betr\u00e4gt (wie bereits vorhergesagt), sondern auch auf sehr eindeutige Weise gerechtfertigt ist, dass die innere Energie ausschlie\u00dflich von der Temperatur des Systems abh\u00e4ngt, sodass gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V}\\right)_T = 0<\/span><\/span><\/p>\n<h3>Herleitung f\u00fcr das ideale Gas<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=T6K1Nizc5NE&amp;t=1027s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Erinnern wir uns nun an die ideale Gasgleichung<\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">PV=Nk_BT =nRT<\/span><\/span>. Wenn wir nach dem Volumen aufl\u00f6sen, erhalten wir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  V= \\frac{nRT}{P}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Daraus folgt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  \\left(\\frac{\\partial V}{\\partial T} \\right)_P = \\frac{nR}{P}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Und wenn wir zu den Ausdr\u00fccken f\u00fcr <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C_V<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C_P<\/span><\/span> gehen, stellen wir fest, dass<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nC_P - C_V &amp; \\displaystyle = \\left[\\left(\\frac{\\partial U}{\\partial V} \\right)_T + P \\right]\\left(\\frac{\\partial V}{\\partial T} \\right)_P = P\\cdot \\frac{nR}{P} = nR\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Nun, da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle  C_V=(\\partial U \/ \\partial T)_V<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U=3Nk_BT\/2=3nRT\/2<\/span><\/span>, gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle  C_V = \\frac{3}{2}nR\n\n<\/span>\n<p>und daher<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nC_P = C_V + nR = \\displaystyle  \\frac{3}{2}nR + nR = \\frac{5}{2}nR\n\n<\/span>\n<h3>Der Adiabatenexponent<\/h3>\n<p>Eine h\u00e4ufig verwendete Gr\u00f6\u00dfe ist das Verh\u00e4ltnis zwischen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C_P<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C_V<\/span><\/span>, und aus diesem Grund hat sie einen besonderen Namen. Der <strong>Adiabatenexponent<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span> wird definiert durch<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\gamma = \\displaystyle  \\frac{C_P}{C_V}\n\n<\/span>\n<p>Im Fall idealer Gase hat der Adiabatenexponent einen exakten Wert:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\gamma = \\displaystyle \\frac{5}{3}\n\n<\/span>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00dcbungen<\/h2>\n<ol>\n<li>Gilt immer, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dU=C_VdT<\/span><\/span>? Vergleichen Sie den allgemeinen Fall mit dem der idealen Gase und begr\u00fcnden Sie Ihre Antwort.<\/li>\n<li>Angenommen, f\u00fcr ein ideales Gas gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U=C_VT<\/span><\/span>, berechnen Sie: (i) die innere Energie pro Masseneinheit und (ii) die innere Energie pro Volumeneinheit.<\/li>\n<li>Ein Mol eines einatomigen idealen Gases wird in einem Zylinder durch einen Kolben eingeschlossen und durch Kontakt mit einem W\u00e4rmereservoir bei konstanter Temperatur <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_0<\/span><\/span> gehalten. Das Gas expandiert langsam von einem Volumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V_1<\/span><\/span> auf ein anderes Volumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V_2<\/span><\/span>, wobei die Temperatur jederzeit konstant bleibt. (i) \u00c4ndert sich die innere Energie des Gases? (ii) Berechnen Sie die vom Gas verrichtete Arbeit und den W\u00e4rmestrom zum Gas.<\/li>\n<li>Zeigen Sie, dass f\u00fcr ein ideales Gas die folgenden Beziehungen gelten:\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{R}{c_V} = \\gamma-1<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{R}{c_P} = \\frac{\\gamma -1}{\\gamma}<\/span><\/span><\/p>\n<p>wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c_V<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c_P<\/span><\/span> molare W\u00e4rmekapazit\u00e4ten sind.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Das Erste Gesetz der Thermodynamik Das Erste Gesetz der Thermodynamik bildet die Grundlage, die fundamentale Konzepte wie W\u00e4rme, Arbeit und innere Energie miteinander verbindet. Es legt fest, dass Energie weder erschaffen noch zerst\u00f6rt wird, sondern sich lediglich umwandelt. 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