{"id":34751,"date":"2021-06-18T13:00:53","date_gmt":"2021-06-18T13:00:53","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34751"},"modified":"2025-09-20T08:06:05","modified_gmt":"2025-09-20T08:06:05","slug":"gleichung-und-zustandsfunktion","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/gleichung-und-zustandsfunktion\/","title":{"rendered":"Gleichung und Zustandsfunktion"},"content":{"rendered":"<style>\n\tp, ul, ol {\n\t\ttext-align: justify;\n\t}\n\th1, h2 {\n\ttext-align:center;\n\t}\n<\/style>\n<h1>Gleichung und Zustandsfunktion<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em>Die Thermodynamik zeigt uns, wie man den Zustand eines Systems durch Konzepte wie Zustandsfunktionen und Zustandsgleichungen beschreibt und verbindet. Wie h\u00e4ngen Eigenschaften wie Druck, Temperatur und die ideale Gasgleichung zusammen? Dieser Inhalt wird dich anleiten, die mathematischen und physikalischen Regeln zu verstehen, die die Gleichgewichte des Universums bestimmen, deine Intuition herausfordern und deine Perspektive erweitern.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein,<\/p>\n<ol>\n<li><strong>das Konzept<\/strong> der Zustandsfunktion und deren Beziehung zum thermischen Gleichgewicht in thermodynamischen Systemen zu beschreiben.<\/li>\n<li><strong>zwischen Zustandsfunktionen und Gr\u00f6\u00dfen,<\/strong> die keine Zustandsfunktionen sind, zu unterscheiden und konkrete Beispiele beider Kategorien zu identifizieren.<\/li>\n<li><strong>zu analysieren,<\/strong> wie Zustandsgleichungen, wie die ideale Gasgleichung, die Zustandsfunktionen in Systemen im Gleichgewicht verbinden.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Die Zustandsfunktion und die Systeme und das thermische Gleichgewicht<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Die Gleichung und die Zustandsvariablen<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Mathematischer Begriff der Zustandsfunktion<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Die ideale Gasgleichung ist eine Zustandsgleichung<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ZXX3KAS5WKs\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>Eines der Schl\u00fcsselkonzepte der klassischen Thermodynamik ist das der Zustandsgleichungen und Zustandsfunktionen. Durch diese werden wir, wie der Name schon sagt, in der Lage sein, den Zustand der Systeme im thermodynamischen Gleichgewicht zu beschreiben. <\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Zustandsfunktion, die Systeme und das thermische Gleichgewicht<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ZXX3KAS5WKs&amp;t=115s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>In der Thermodynamik wird ein System definiert<\/strong><\/a> als der Teil des Universums, der f\u00fcr die Untersuchung ausgew\u00e4hlt wird, und in der N\u00e4he des Systems befindet sich die Umgebung. Erinnern wir uns daran, dass sich ein System im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung befindet, wenn seine makroskopischen Observablen (z. B. Druck, Temperatur) \u00fcber die Zeit unver\u00e4ndert bleiben. So sagen wir zum Beispiel, wenn wir ein Gas in einem Beh\u00e4lter betrachten und dessen Temperatur \u00fcber die Zeit stabil bleibt, dass sich das Gas im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, und diese Gesamtheit makroskopischer Observablen ist das, was <strong>seinen Zustand bestimmt.<\/strong> Im Gegensatz dazu, wenn pl\u00f6tzlich eine gro\u00dfe W\u00e4rmemenge an einer Stelle des Beh\u00e4lters zugef\u00fchrt wird, dann befindet sich das Gas zumindest f\u00fcr eine gewisse Zeit in einem anderen Zustand als dem thermischen Gleichgewicht, und sein Zustand wird sich mit der Zeit ver\u00e4ndern.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Gleichung und die Zustandsvariablen<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ZXX3KAS5WKs&amp;t=115s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn sich ein System im thermischen Gleichgewicht befindet,<\/strong><\/a> k\u00f6nnen wir zwei Arten von Gr\u00f6\u00dfen unterscheiden: Einige h\u00e4ngen von der Art und Weise ab, wie das System dieses Gleichgewicht erreicht hat, und andere sind unabh\u00e4ngig von diesem Prozess. Die letzteren werden als <strong>Zustandsfunktionen<\/strong> (manchmal auch <strong>Zustandsvariablen<\/strong> genannt) bezeichnet. Eine Zustandsfunktion ist jede physikalische Gr\u00f6\u00dfe, die f\u00fcr jeden Gleichgewichtszustand des Systems einen eindeutig bestimmten Wert hat. Im thermischen Gleichgewicht h\u00e4ngen diese Variablen somit nicht von der Zeit ab. Einige Beispiele sind:<\/p>\n<ul>\n<li>der Druck<\/li>\n<li>die Temperatur<\/li>\n<li>das Volumen<\/li>\n<li>die innere Energie<\/li>\n<\/ul>\n<p>Beispiele f\u00fcr Gr\u00f6\u00dfen, die keine Zustandsfunktionen sind, umfassen die Position des soundsovielten Teilchens des Systems, die Arbeit und die insgesamt auf das System \u00fcbertragene W\u00e4rme. Letzteres l\u00e4sst sich intuitiv verstehen, wenn man beobachtet, dass deine H\u00e4nde dieselbe Temperatur (und somit denselben Zustand) durch zwei verschiedene Prozesse erreichen k\u00f6nnen: entweder durch das Aufbringen einer bestimmten Menge Arbeit, indem du sie aneinander reibst, oder durch W\u00e4rmezufuhr, indem du die H\u00e4nde in warmes Wasser tauchst.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Mathematische Vorstellung der Zustandsfunktion<\/h2>\n<p>Mit diesen intuitiven Ideen fehlt uns f\u00fcr ein vollst\u00e4ndigeres Verst\u00e4ndnis nur noch eine st\u00e4rker mathematische Entwicklung der Bedeutung hinter einer Zustandsfunktion. Betrachten wir ein System, das durch einen Vektor von Parametern beschrieben wird <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}=(x_1, x_2, x_3, \\cdots)<\/span>, und sei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(\\vec{x})<\/span> eine Zustandsfunktion. Wenn dann das System der Parameter von einem Anfangswert <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}_i<\/span> zu einem Endwert <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}_f<\/span> \u00fcbergeht, dann ist die Variation der Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta f = \\displaystyle \\int_{\\vec{x}_i}^{\\vec{x}_f}df = f(\\vec{x}_f) - f(\\vec{x}_i)<\/span>\n<p>Wenn die Dinge auf diese Weise verlaufen, dann h\u00e4ngt die Variation der Zustandsfunktion nur von den Anfangs- und Endwerten von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> ab. Dies tritt auf, wenn die Gr\u00f6\u00dfe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">df<\/span> ein <strong>exaktes Differential<\/strong> ist. Alle Zustandsfunktionen besitzen exakte Differentiale; und umgekehrt kann eine Gr\u00f6\u00dfe, deren Differential nicht exakt ist, keine Zustandsfunktion sein.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Die ideale Gasgleichung ist eine Zustandsgleichung<\/h2>\n<p>Im Allgemeinen ist es immer m\u00f6glich, zumindest n\u00e4herungsweise, eine Zustandsgleichung zu finden, die die Zustandsfunktionen verbindet. Ein Beispiel ist die <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/la-ecuacion-de-los-gases-ideales\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Zustandsgleichung der idealen Gase<\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(P,V,T)=0<\/span>, die die Form annimmt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(P,V,T) = PV - nRT = 0<\/span>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Gleichung und Zustandsfunktion Die Thermodynamik zeigt uns, wie man den Zustand eines Systems durch Konzepte wie Zustandsfunktionen und Zustandsgleichungen beschreibt und verbindet. Wie h\u00e4ngen Eigenschaften wie Druck, Temperatur und die ideale Gasgleichung zusammen? 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