{"id":34726,"date":"2021-05-07T13:00:18","date_gmt":"2021-05-07T13:00:18","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34726"},"modified":"2025-09-20T06:48:58","modified_gmt":"2025-09-20T06:48:58","slug":"thermisches-gleichgewicht-temperatur-und-ihre-statistische-definition","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/thermisches-gleichgewicht-temperatur-und-ihre-statistische-definition\/","title":{"rendered":"Thermisches Gleichgewicht, Temperatur und ihre statistische Definition"},"content":{"rendered":"<style>\n\tp, ul, ol {\n\t\ttext-align: justify;\n\t}\n\th1, h2 {\n\ttext-align:center;\n\t}\n<\/style>\n<h1>Thermisches Gleichgewicht, Temperatur und ihre statistische Definition<\/h1>\n<p style=\"text-align:center\"><em>Die thermodynamische Temperatur, verstanden als die Verbindung zwischen Energie und Wahrscheinlichkeit, entsteht aus dem Gleichgewicht zwischen Makrozust\u00e4nden und Mikrozust\u00e4nden in thermischen Systemen. Dieser Inhalt untersucht, wie die Maximierung der Anzahl von Mikrozust\u00e4nden das thermische Gleichgewicht definiert, wobei mathematische Ableitungen und der Rahmen der statistischen Mechanik verwendet werden, um den Zusammenhang mit der Boltzmann-Konstanten und der Kelvin-Skala zu erkl\u00e4ren.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein,\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Zu verstehen<\/strong> die Beziehung zwischen Makrozust\u00e4nden und Mikrozust\u00e4nden in thermodynamischen Systemen sowie das Konzept der Temperatur.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Makrozust\u00e4nde und Mikrozust\u00e4nde von Systemen im thermischen Kontakt<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Thermodynamische Temperatur: Die gemeinsame Eigenschaft von Systemen im Gleichgewicht<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/7LPUN_vBoXE\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Makrozust\u00e4nde und Mikrozust\u00e4nde von Systemen im thermischen Kontakt<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=7LPUN_vBoXE&amp;t=218s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Um den Begriff der thermodynamischen Temperatur zu behandeln <\/strong><\/a>m\u00fcssen wir zun\u00e4chst sehen, wie thermodynamische Systeme interagieren und wie sie sich auf Mikro- und Makrozust\u00e4nde beziehen. Betrachten wir den Fall von zwei Systemen, die miteinander in thermischen Kontakt gebracht, aber vom Rest des Universums isoliert sind.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-kL0Rr2L4wys\/YJPlhBUTueI\/AAAAAAAAFEw\/OWpuyASOdGANXsSG5O-d09ed034DtMTuwCLcBGAsYHQ\/s0\/contacto%2Btermico.PNG\" alt=\"Thermischer Kontakt\" class=\"aligncenter lazyload\" width=\"372\" height=\"158\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-kL0Rr2L4wys\/YJPlhBUTueI\/AAAAAAAAFEw\/OWpuyASOdGANXsSG5O-d09ed034DtMTuwCLcBGAsYHQ\/s0\/contacto%2Btermico.PNG\" alt=\"Thermischer Kontakt\" class=\"aligncenter lazyload\" width=\"372\" height=\"158\" \/><\/noscript><\/p>\n<p>Einerseits, da die Systeme isoliert bleiben, wird die Gesamtenergie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E=E_1+E_2<\/span> konstant sein, und daher wird der Makrozustand des Systems durch eine der drei Energien <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E, E_1<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_2<\/span> definiert. Andererseits, wenn wir \u00fcber die Mikrozust\u00e4nde sprechen, hat das System mit der Energie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_1<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_1(E_1)<\/span> Mikrozust\u00e4nde, und analog dazu hat das mit der Energie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_2<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_2(E_2)<\/span> andere, sodass das zusammengesetzte System aus insgesamt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_1(E_1)\\Omega_2(E_2)<\/span> Mikrozust\u00e4nden besteht.<\/p>\n<h3>Annahmen \u00fcber das thermodynamische Gleichgewicht<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=7LPUN_vBoXE&amp;t=392s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn jedes System Energie austauschen kann<\/strong><\/a>, bis es das <strong>thermodynamische Gleichgewicht<\/strong> erreicht, wird irgendwann eintreten, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_1<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_2<\/span> sich konstanten Werten ann\u00e4hern. Die Idee, die wir uns in diesem Moment vor Augen halten m\u00fcssen, ist, dass der Makrozustand mit der h\u00f6chsten Wahrscheinlichkeit derjenige sein wird, der die Anzahl der Mikrozust\u00e4nde maximiert, und daraus ergeben sich die folgenden Annahmen:<\/p>\n<ol>\n<li>Jeder einzelne Mikrozustand hat die gleiche Wahrscheinlichkeit aufzutreten<\/li>\n<li>Die innere Dynamik des Systems ist so beschaffen, dass sich die Mikrozust\u00e4nde st\u00e4ndig ver\u00e4ndern.<\/li>\n<li>Nach einer gewissen Zeit wird das System alle m\u00f6glichen Mikrozust\u00e4nde durchlaufen und die gleiche Zeitspanne in jedem einzelnen von ihnen verbringen<\/li>\n<\/ol>\n<p>Diese Annahmen implizieren, dass das System die meiste Zeit in den Makrozust\u00e4nden verweilen wird, die die gr\u00f6\u00dfte Anzahl von Mikrozust\u00e4nden repr\u00e4sentieren, und daher die wahrscheinlichsten sind. Nun bedeutet in den Systemen, die normalerweise in der Thermodynamik untersucht werden, der Ausdruck \u201ewahrscheinlichster\u201c in Wirklichkeit \u201epraktisch und verdammt unm\u00f6glich nicht einzutreten\u201c; was wie eine einfache statistische Aussage erscheint, ist in Wirklichkeit eine fast absolute Gewissheitserkl\u00e4rung.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Thermodynamische Temperatur: Die gemeinsame Eigenschaft von Systemen im Gleichgewicht<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=7LPUN_vBoXE&amp;t=617s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>F\u00fcr unser Problem der beiden K\u00f6rper<\/strong><\/a>, die in thermischen Kontakt gebracht werden, ist die wahrscheinlichste Energieverteilung diejenige, die die Anzahl <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_1(E_1)\\Omega_2(E_2)<\/span> der Mikrozust\u00e4nde maximiert. Da die Systeme riesig sind, k\u00f6nnen wir als gute N\u00e4herung die Werkzeuge der Differentialrechnung verwenden, um R\u00fcckschl\u00fcsse auf die Bedeutung dieser Aussagen zu ziehen und ihre Eigenschaften abzuleiten.<\/p>\n<p>Wenn wir infinitesimale Variationen der Energie eines der Systeme durchf\u00fchren und den Fall betrachten, in dem die Anzahl der Mikrozust\u00e4nde maximiert wird, dann erhalten wir die folgende \u00dcberlegung:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n(1) &amp; \\dfrac{d}{dE_1}\\left[  \\Omega_1(E_1) \\Omega_2(E_2) \\right] = 0 \\\\\n\n&amp; \\text{; Weil die Anzahl der Mikrozust\u00e4nde maximiert wurde} \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\dfrac{d\\Omega_1(E_1)}{dE_1} \\Omega_2(E_2) + \\Omega_1(E_1) \\dfrac{d\\Omega_2(E_2)}{E_2}\\dfrac{dE_2}{dE_1} = 0 \\\\\n\n&amp; \\text{; Anwendung der Produktregel und der Kettenregel} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp; E = E_1 + E_2 = \\text{Konstant} \\\\\n\n&amp; \\text{; Gesamtenergie der beiden Systeme im thermischen Kontakt} \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; E_1 = E-E_1 \\\\ \\\\\n\n(3) &amp; \\dfrac{dE_2}{dE_1} = \\dfrac{d}{dE_1} (E - E_1) = -1\\;\\text{; Aus (2)} \\\\ \\\\\n\n(4) &amp; \\dfrac{d\\Omega_1}{dE_1}\\Omega_2 - \\Omega_2 \\dfrac{d\\Omega_2}{dE_2} = 0\\;\\text{; Aus (1) und (3)} \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\dfrac{d\\Omega_1}{dE_1} \\Omega_2 = \\Omega_1 \\dfrac{d\\Omega_2}{dE_2} \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\dfrac{1}{\\Omega_1} \\dfrac{d\\Omega_1}{dE_1} = \\dfrac{1}{\\Omega_2} \\dfrac{d\\Omega_2}{dE_2} \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\dfrac{d\\ln(\\Omega_1)}{dE_1} = \\dfrac{d\\ln(\\Omega_2)}{dE_2}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Daraus ergibt sich, dass das thermische Gleichgewicht, da es der wahrscheinlichste Makrozustand ist, den zwei K\u00f6rper im anhaltenden thermischen Kontakt haben, derjenige ist, der die Anzahl der Mikrozust\u00e4nde maximiert. Wenn dies geschieht, folgt aus der soeben angestellten \u00dcberlegung, dass es eine gemeinsame Gr\u00f6\u00dfe beider Systeme gibt, die wir <strong>Temperatur<\/strong> nennen.<\/p>\n<h3>Definition der thermodynamischen Temperatur<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=7LPUN_vBoXE&amp;t=972s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn dies geschieht, sagen wir, dass die K\u00f6rper<\/strong><\/a> \u201edie gleiche Temperatur haben\u201c und wir bringen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d\\ln\\Omega\/dE<\/span> mit der Temperatur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span> in Beziehung (so dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_1 = T_2<\/span>). Somit wird die thermodynamische Temperatur definiert als<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{1}{k_B T} = \\frac{d\\ln\\Omega}{dE}<\/span>\n<p>wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k_B=1.3807\\cdot 10^{-23}[J\/K]<\/span> die <strong>Boltzmann-Konstante<\/strong> ist.<\/p>\n<p>Mit dieser Wahl der Konstanten wird erreicht, dass die Temperatur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span>, die wir definiert haben, ihre \u00fcbliche Interpretation in dem, was wir als <strong>Kelvin-Skala<\/strong> kennen, erh\u00e4lt.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Thermisches Gleichgewicht, Temperatur und ihre statistische Definition Die thermodynamische Temperatur, verstanden als die Verbindung zwischen Energie und Wahrscheinlichkeit, entsteht aus dem Gleichgewicht zwischen Makrozust\u00e4nden und Mikrozust\u00e4nden in thermischen Systemen. 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