{"id":34544,"date":"2021-10-06T13:00:49","date_gmt":"2021-10-06T13:00:49","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34544"},"modified":"2025-09-08T05:51:44","modified_gmt":"2025-09-08T05:51:44","slug":"brechung-an-sphaerischen-grenzflaechen","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/brechung-an-sphaerischen-grenzflaechen\/","title":{"rendered":"Brechung an sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4chen"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Brechung an sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4chen<\/h1>\n<p><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn dieser Vorlesung analysieren wir die Brechung an sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4chen und heben hervor, wie sich das Licht beim Durchgang durch sph\u00e4rische Oberfl\u00e4chen verh\u00e4lt und wie Bilder entstehen. Es werden die Schl\u00fcsselformeln zur Berechnung der Position und Gr\u00f6\u00dfe der Bilder vorgestellt. Au\u00dferdem werden praktische F\u00e4lle wie Linsen und die Sch\u00e4tzung scheinbarer Tiefen behandelt.<\/em><\/p>\n<p><strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Vorlesung ist der Studierende in der Lage,<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>zu verstehen<\/strong>, wie sich Licht beim Durchgang durch sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4chen bricht.<\/li>\n<li><strong>abzuleiten<\/strong> und die Objekt-Bild-Beziehung f\u00fcr sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4chen zu verwenden.<\/li>\n<li><strong>das Snelliussche Gesetz<\/strong> im Kontext sph\u00e4rischer Grenzfl\u00e4chen anzuwenden.<\/li>\n<li><strong>die Position<\/strong> des durch eine sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4che gebildeten Bildes zu bestimmen.<\/li>\n<li><strong>die Vergr\u00f6\u00dferung<\/strong> des Bildes durch Brechung an sph\u00e4rischen Oberfl\u00e4chen zu berechnen.<\/li>\n<li><strong>das Vorzeichenkonzept<\/strong> f\u00fcr die Position und Gr\u00f6\u00dfe von Objekten und Bildern zu verstehen.<\/li>\n<li><strong>sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4chen<\/strong> mit ebenen Grenzfl\u00e4chen als Grenzfall in Beziehung zu setzen.<\/li>\n<li><strong>die Bildung erweiterter Bilder<\/strong> durch sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4chen zu analysieren.<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Einleitung<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Die Objekt-Bild-Beziehung f\u00fcr die Brechung an sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4chen<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Beziehungen zwischen den Winkeln ableiten<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Einf\u00fchrung des Snelliusschen Gesetzes<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\"><strong>Bildentstehung durch Brechung auf der anderen Seite sph\u00e4rischer Grenzfl\u00e4chen<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Synthese<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\"><strong>Ebenen Grenzfl\u00e4chen als Grenzfall der sph\u00e4rischen<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#8\"><strong>\u00dcbungen<\/strong><\/a><\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/13kntUA9n-I\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><br \/>\n<\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Einleitung<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=13kntUA9n-I&amp;t=146s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wir haben bereits untersucht, wie die Brechung funktioniert;<\/span><\/strong><\/a> das hei\u00dft, was geschieht, wenn Licht von einem Medium in ein anderes \u00fcbergeht. Bisher haben wir dies jedoch nur f\u00fcr den Fall betrachtet, dass die Grenzfl\u00e4che zwischen den Medien eine ebene Oberfl\u00e4che ist. In der Natur wie auch in praktischen Anwendungen ist es jedoch nicht schwierig, Brechungsprozesse an sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4chen zu finden. Beispiele hierf\u00fcr sind das menschliche Auge (und in Wirklichkeit das fast jedes Tieres) sowie die meisten optischen Ger\u00e4te, die sowohl im Alltag als auch in industriellen Anwendungen eingesetzt werden.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">In der folgenden Abbildung ist dargestellt, wie eine Linse durch zwei sph\u00e4rische Oberfl\u00e4chen aufgebaut wird.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-xuCmdVLtNcc\/YVuCvXoOfZI\/AAAAAAAAFmc\/mCuYiHaNfxM4I6RcxEJcLln6uLC5MMIKQCLcBGAsYHQ\/s0\/lente%2Bde%2Bvidrio.PNG\" width=\"661\" height=\"378\" alt=\"Glaslinse, die aus zwei sph\u00e4rischen Oberfl\u00e4chen gebildet ist\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-xuCmdVLtNcc\/YVuCvXoOfZI\/AAAAAAAAFmc\/mCuYiHaNfxM4I6RcxEJcLln6uLC5MMIKQCLcBGAsYHQ\/s0\/lente%2Bde%2Bvidrio.PNG\" width=\"661\" height=\"378\" alt=\"Glaslinse, die aus zwei sph\u00e4rischen Oberfl\u00e4chen gebildet ist\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">F\u00fcr die detaillierte Untersuchung dieser Art von Ger\u00e4ten ist es notwendig zu \u00fcberpr\u00fcfen, wie sich Licht verh\u00e4lt, wenn es durch eine sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4che von einem Medium in ein anderes \u00fcbergeht.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Objekt-Bild-Beziehung f\u00fcr die Brechung an sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4chen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=13kntUA9n-I&amp;t=235s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wir beginnen unsere Untersuchung, indem wir erforschen,<\/span><\/strong><\/a> wie sich Licht beim \u00dcbergang von einem Medium in ein anderes durch eine sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4che verh\u00e4lt. Dazu betrachten wir eine Kugel mit dem Radius <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R<\/span><\/span>, die aus einem Material mit Brechungsindex <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_b<\/span><\/span> besteht und in einem Medium mit Brechungsindex <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_a<\/span><\/span> eingetaucht ist.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-x0g44iZ6LDo\/YVuDO2nkD3I\/AAAAAAAAFmk\/8gQHFBnQxvEG-5B6XUAgTTZHtxntx6YogCLcBGAsYHQ\/s0\/inteface%2Besf%25C3%25A9rica.PNG\" width=\"987\" height=\"371\" alt=\"Sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4che, die zwei Medien trennt\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-x0g44iZ6LDo\/YVuDO2nkD3I\/AAAAAAAAFmk\/8gQHFBnQxvEG-5B6XUAgTTZHtxntx6YogCLcBGAsYHQ\/s0\/inteface%2Besf%25C3%25A9rica.PNG\" width=\"987\" height=\"371\" alt=\"Sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4che, die zwei Medien trennt\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><br \/>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Ableitung von Beziehungen zwischen den Winkeln<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir die in dieser Abbildung beteiligten Winkel analysieren, stellen wir fest, dass:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n{(1)}&amp; \\theta_a &amp; =\\alpha + \\phi \\\\ \\\\\n\n{(2)}&amp; \\phi &amp; =\\beta + \\theta_b\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<h4>Beweis<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die erste Gleichung ergibt sich daraus, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks zwei rechten Winkeln entspricht:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-0ILYFKDJRo0\/YVvJaKwoZxI\/AAAAAAAAFms\/arUYkIwSz18wvNntSE_WHuknjoYolOXSQCLcBGAsYHQ\/s0\/triangulorectangulo-optica.PNG\" width=\"346\" height=\"148\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-0ILYFKDJRo0\/YVvJaKwoZxI\/AAAAAAAAFms\/arUYkIwSz18wvNntSE_WHuknjoYolOXSQCLcBGAsYHQ\/s0\/triangulorectangulo-optica.PNG\" width=\"346\" height=\"148\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n&amp; \\alpha + \\phi + (\\pi - \\theta_a) = \\pi\\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\alpha + \\phi - \\theta_a = 0 \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\color{blue}{\\theta_a = \\alpha + \\phi}\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die zweite wird in analoger Weise erhalten:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-R5siuLq4gJs\/YVvJ22k7m6I\/AAAAAAAAFm0\/D6gmIAHjXFY4cNmUwrnq4yvxQ_2PcBSjgCLcBGAsYHQ\/s0\/triangulorectangulo-optica2.PNG\" width=\"329\" height=\"216\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-R5siuLq4gJs\/YVvJ22k7m6I\/AAAAAAAAFm0\/D6gmIAHjXFY4cNmUwrnq4yvxQ_2PcBSjgCLcBGAsYHQ\/s0\/triangulorectangulo-optica2.PNG\" width=\"329\" height=\"216\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n&amp; \\beta + \\theta_b + (\\pi - \\phi) = \\pi\\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp;  \\beta + \\theta_b - \\phi = 0\\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\color{blue}{\\phi = \\beta + \\theta_b }\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Einf\u00fchrung des Snelliusschen Gesetzes<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aus der Abbildung ergeben sich au\u00dferdem die folgenden Ausdr\u00fccke:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-x0g44iZ6LDo\/YVuDO2nkD3I\/AAAAAAAAFmk\/8gQHFBnQxvEG-5B6XUAgTTZHtxntx6YogCLcBGAsYHQ\/s0\/inteface%2Besf%25C3%25A9rica.PNG\" width=\"987\" height=\"371\" alt=\"Sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4che, die zwei Medien trennt\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-x0g44iZ6LDo\/YVuDO2nkD3I\/AAAAAAAAFmk\/8gQHFBnQxvEG-5B6XUAgTTZHtxntx6YogCLcBGAsYHQ\/s0\/inteface%2Besf%25C3%25A9rica.PNG\" width=\"987\" height=\"371\" alt=\"Sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4che, die zwei Medien trennt\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n{(3)}&amp;\\tan(\\alpha) &amp;=\\displaystyle \\frac{h}{s+\\delta}\\\\ \\\\\n\n{(4)}&amp;\\tan(\\beta) &amp;=\\displaystyle \\frac{h}{s^\\prime - \\delta}\\\\ \\\\\n\n{(5)}&amp;\\tan(\\phi) &amp;=\\displaystyle \\frac{h}{R - \\delta}\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und aus dem Snelliusschen Gesetz erhalten wir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{(6)} &amp;  n_a\\sin(\\theta_a) = n_b \\sin(\\theta_b)\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir nun die N\u00e4herung machen, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_a<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_b<\/span><\/span> klein sind, dann werden auch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha, \\beta<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi<\/span><\/span> klein sein, und es gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aus der Abbildung ergeben sich au\u00dferdem die folgenden Ausdr\u00fccke:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\sin(\\theta_a) &amp;\\approx \\theta_a \\\\ \\\\\n\n\\sin(\\theta_b) &amp;\\approx \\theta_b \\\\ \\\\\n\n\\delta &amp;\\approx 0 \\\\ \\\\\n\n\\tan(\\alpha) &amp;\\approx \\alpha \\\\ \\\\\n\n\\tan(\\beta) &amp;\\approx \\beta \\\\ \\\\\n\n\\tan(\\phi) &amp;\\approx \\phi\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Daraus und aus dem Snelliusschen Gesetz ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{(7)} &amp; n_a \\theta_a \\approx n_b \\theta_b \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp;  \\theta_b \\approx \\displaystyle \\frac{n_a}{n_b} \\theta_a\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun ergibt sich aus (7), (1) und (2):<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{(8)} &amp; \\phi - \\beta \\approx \\displaystyle \\frac{n_a}{n_b}(\\alpha + \\phi) \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\phi \\approx \\beta + \\displaystyle  \\frac{n_a}{n_b}(\\alpha + \\phi) \\\\ \\\\\n\n{}\\equiv &amp;  n_b\\phi \\approx n_b\\beta + n_a \\alpha + n_a\\phi \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\color{blue}{n_a \\alpha + n_b\\beta \\approx (n_b - n_a) \\phi }\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Schlie\u00dflich erh\u00e4lt man aus (8), den N\u00e4herungen und den Gleichungen (3), (4) und (5):<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{(9)} &amp; \\displaystyle n_a \\left( \\frac{\\color{red}{h}}{S + \\underbrace{\\delta}_{\\to 0}} \\right) + n_b \\left(\\frac{\\color{red}{h}}{S^\\prime - \\underbrace{\\delta}_{\\to 0} } \\right) \\approx (n_b - n_a) \\left(\\frac{\\color{red}{h}}{R-\\underbrace{\\delta}_{\\to 0}}\\right) \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\displaystyle \\color{blue}{\\frac{n_a}{S } + \\frac{ n_b}{S^\\prime } \\approx \\frac{n_b - n_a}{R} }\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies wird als <strong>Objekt-Bild-Beziehung f\u00fcr die Brechung an sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4chen<\/strong> bezeichnet.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Bildentstehung erweiterter Objekte durch Brechung auf der anderen Seite sph\u00e4rischer Grenzfl\u00e4chen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=13kntUA9n-I&amp;t=1211s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Sehen wir uns nun an, was geschieht, wenn wir<\/span><\/strong><\/a> die punktf\u00f6rmige Lichtquelle durch ein erweitertes Objekt ersetzen. Dies wird in der folgenden Abbildung dargestellt:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-Nnk1qsJET0k\/YVvLLFbEWPI\/AAAAAAAAFm8\/zWNnZMpqHSMT_38PJgKqIhqzLO53CCMSwCLcBGAsYHQ\/s0\/objeto-extendido-frente-interfaz-esferica.PNG\" width=\"1005\" height=\"409\" alt=\"Erweitertes Objekt vor einer sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4che\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-Nnk1qsJET0k\/YVvLLFbEWPI\/AAAAAAAAFm8\/zWNnZMpqHSMT_38PJgKqIhqzLO53CCMSwCLcBGAsYHQ\/s0\/objeto-extendido-frente-interfaz-esferica.PNG\" width=\"1005\" height=\"409\" alt=\"Erweitertes Objekt vor einer sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4che\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die vorherige Analyse gibt uns bereits die Beziehung zwischen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime,<\/span><\/span> nun fehlt uns nur noch die Beziehung zwischen den Gr\u00f6\u00dfen des Objekts und des Bildes.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aus der Abbildung ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\tan(\\theta_a) &amp; =\\displaystyle \\frac{y}{S} \\\\ \\\\\n\n\\tan(\\theta_b) &amp; =\\displaystyle - \\frac{y^\\prime}{S^\\prime}\n\n\\end{array}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies werden wir mit dem Snelliusschen Gesetz kombinieren<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_a\\sin(\\theta_a) = n_b\\sin(\\theta_b). <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dabei st\u00fctzen wir uns auf die Tatsache, dass f\u00fcr kleine Winkel die N\u00e4herung gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\sin(\\theta_a) &amp; \\approx \\tan(\\theta_a) \\\\ \\\\\n\n\\sin(\\theta_b) &amp; \\approx \\tan(\\theta_b)\n\n\\end{array}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">So k\u00f6nnen wir schreiben<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n&amp;\\displaystyle n_a \\frac{y}{S} \\approx- n_b \\dfrac{y^\\prime}{S^\\prime} \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\displaystyle \\dfrac{y^\\prime}{y} \\approx - \\dfrac{n_a S^\\prime}{n_b S} \\\\ \\\\\n\n\\end{array}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Erinnern wir uns nun an das, was wir f\u00fcr sph\u00e4rische Spiegel gesehen haben, so erhalten wir etwas Analoges. An diesem Punkt k\u00f6nnen wir den Vergr\u00f6\u00dferungsfaktor <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span><\/span> (wieder) definieren durch:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nm=\\displaystyle \\frac{y^\\prime}{y}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">so dass gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle \\color{blue}{m\\approx -\\frac{n_a S^\\prime}{n_b S}}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h3>Synthese<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Zusammenfassend haben wir bisher zwei Ergebnisse abgeleitet, die es uns erm\u00f6glichen, die Bildentstehung zu bestimmen, wenn das von einem Objekt emittierte Licht durch eine sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4che geht. Diese sind die folgenden Gleichungen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\dfrac{n_a}{S} + \\dfrac{n_b}{S^\\prime} &amp; \\approx \\dfrac{n_b - n_a}{R} \\\\ \\\\\n\nm &amp; \\displaystyle \\approx - \\dfrac{n_a S^\\prime}{n_b S}\n\n\\end{array}\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Mit diesen beiden Gleichungen kannst du sowohl die Position des Bildes als auch die Orientierung und Gr\u00f6\u00dfe des Bildes berechnen, und sie gelten unabh\u00e4ngig davon, ob die Grenzfl\u00e4che konkav oder konvex ist. An diesem Punkt ist es jedoch notwendig, das Vorzeichenkonzept zu pr\u00e4zisieren.<\/p>\n<h4>Vorzeichenkonvention<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=13kntUA9n-I&amp;t=1682s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Mit diesen beiden Gleichungen kannst du berechnen<\/span><\/strong><\/a>, sowohl die Position des Bildes als auch die Orientierung und Gr\u00f6\u00dfe des Bildes, und sie gelten unabh\u00e4ngig davon, ob die Grenzfl\u00e4che konkav oder konvex ist. An diesem Punkt ist es jedoch notwendig, das Vorzeichenkonzept zu pr\u00e4zisieren.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Grenzfl\u00e4che teilt den Raum in zwei Bereiche, einen, in dem sich das Objekt befindet, und den anderen, in dem sich das Bild befindet. Dementsprechend gilt:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><strong>Objektposition <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span><\/span>:<\/strong> Positiv, wenn sie sich auf der Objektseite befindet, negativ, wenn sie sich auf der Bildseite befindet.<\/li>\n<li><strong>Bildposition <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span><\/span> und Kr\u00fcmmungsradius <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R<\/span><\/span>:<\/strong> Positiv, wenn sie sich auf der Bildseite befinden, negativ, wenn sie sich auf der Objektseite befinden.<\/li>\n<li><strong>Gr\u00f6\u00dfe des Objekts und des Bildes, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^\\prime<\/span><\/span>:<\/strong> Positiv, wenn sie sich oberhalb der optischen Achse befinden, negativ, wenn sie sich unterhalb der optischen Achse befinden.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h2>Ebenen Grenzfl\u00e4chen als Grenzfall der sph\u00e4rischen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=13kntUA9n-I&amp;t=1897s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Alles, was wir f\u00fcr sph\u00e4rische Grenzfl\u00e4chen entwickelt haben,<\/span><\/strong><\/a> dient auch dazu, ebene Grenzfl\u00e4chen besser zu verstehen. Tats\u00e4chlich k\u00f6nnen wir eine ebene Grenzfl\u00e4che als ein St\u00fcck einer sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4che mit sehr gro\u00dfem Kr\u00fcmmungsradius auffassen; wenn wir n\u00e4mlich Grenzwerte f\u00fcr die Objekt-Bild-Beziehung bei sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4chen bilden, wenn der Radius gegen unendlich geht, ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{n_a}{S } + \\frac{ n_b}{S^\\prime} = \\lim_{R\\to \\infty} \\frac{n_a}{S } + \\frac{ n_b}{S^\\prime } \\approx \\lim_{R\\to \\infty} \\frac{n_b - n_a}{R} = 0\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und wenn wir daraus den Vergr\u00f6\u00dferungsfaktor berechnen, erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=1\n\n<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das hei\u00dft, dass das Bild seine Gr\u00f6\u00dfe und Orientierung beibeh\u00e4lt, sich jedoch seine wahrgenommene Position \u00e4ndert.<\/p>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00dcbungen<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/bwGJYhN3Gv8\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Vor einer zylindrischen Glasstange befindet sich ein Partikel, wie in der folgenden Abbildung gezeigt<center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-ayoBx1gP-cM\/YVvMd0Dv6rI\/AAAAAAAAFnE\/TBz3MtCOMvw5SxoNk0XlR70M11UCopfbACLcBGAsYHQ\/s0\/varilla-de-vidrio1.PNG\" width=\"945\" height=\"327\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-ayoBx1gP-cM\/YVvMd0Dv6rI\/AAAAAAAAFnE\/TBz3MtCOMvw5SxoNk0XlR70M11UCopfbACLcBGAsYHQ\/s0\/varilla-de-vidrio1.PNG\" width=\"945\" height=\"327\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center>. Wenn sich das Partikel in einem Abstand von 30[cm] von der Stange befindet und deren Spitze ann\u00e4hernd sph\u00e4risch mit einem Radius von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R=1,5[cm],<\/span><\/span> ist, berechne die Position des innerhalb der Stange erzeugten Bildes.<\/li>\n<li>Betrachten wir dieselbe Stange wie in der vorherigen Aufgabe, aber nun befindet sie sich unter Wasser. Wenn sich vor ihr eine Nadel mit einer H\u00f6he von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1[cm]<\/span><\/span> im gleichen Abstand von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">30[cm],<\/span><\/span> befindet, berechne den Ort und die H\u00f6he des Bildes.<center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-2Zr1OfLvpAU\/YVvM1MQr1UI\/AAAAAAAAFnM\/9HCljhcB8Ss97L3tLzyXM2E3JzqioJNHgCLcBGAsYHQ\/s0\/varilla-de-vidrio2.PNG\" width=\"948\" height=\"446\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-2Zr1OfLvpAU\/YVvM1MQr1UI\/AAAAAAAAFnM\/9HCljhcB8Ss97L3tLzyXM2E3JzqioJNHgCLcBGAsYHQ\/s0\/varilla-de-vidrio2.PNG\" width=\"948\" height=\"446\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/li>\n<li>Eine Person schaut auf den Boden eines Schwimmbeckens, um dessen Tiefe zu sch\u00e4tzen. Als Orientierung dient ein auf den Boden gemalter Pfeil. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der tats\u00e4chlichen und der scheinbaren Tiefe?<center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-G8Lr7rWgyCw\/YVvNQqC6rLI\/AAAAAAAAFnU\/mF2xOr5TPPgG62N8FZqQYijhYQg8_co0ACLcBGAsYHQ\/s0\/profundidad-real-y-aparente.PNG\" width=\"957\" height=\"658\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-G8Lr7rWgyCw\/YVvNQqC6rLI\/AAAAAAAAFnU\/mF2xOr5TPPgG62N8FZqQYijhYQg8_co0ACLcBGAsYHQ\/s0\/profundidad-real-y-aparente.PNG\" width=\"957\" height=\"658\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Brechung an sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4chen Zusammenfassung: In dieser Vorlesung analysieren wir die Brechung an sph\u00e4rischen Grenzfl\u00e4chen und heben hervor, wie sich das Licht beim Durchgang durch sph\u00e4rische Oberfl\u00e4chen verh\u00e4lt und wie Bilder entstehen. Es werden die Schl\u00fcsselformeln zur Berechnung der Position und Gr\u00f6\u00dfe der Bilder vorgestellt. 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