{"id":34526,"date":"2021-09-18T13:00:26","date_gmt":"2021-09-18T13:00:26","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34526"},"modified":"2025-09-08T05:31:31","modified_gmt":"2025-09-08T05:31:31","slug":"die-lichtbrechung-und-das-snelliussche-gesetz","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/die-lichtbrechung-und-das-snelliussche-gesetz\/","title":{"rendered":"Die Lichtbrechung und das Snelliussche Gesetz"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Die Lichtbrechung und das Snelliussche Gesetz<\/h1>\n<p><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn dieser Vorlesung wird die Brechung des Lichts anhand der Analyse des Snelliusschen Gesetzes untersucht. Es wird das Konzept des Brechungsindexes erl\u00e4utert, das Snelliussche Gesetz mithilfe des Fermatschen Prinzips hergeleitet und gezeigt, wie dieses Gesetz die Berechnung der Bahn eines Lichtstrahls beim \u00dcbergang zwischen verschiedenen Medien erm\u00f6glicht. Dar\u00fcber hinaus werden die Ph\u00e4nomene der Reflexion und der Totalreflexion behandelt, wobei diese Konzepte auf eine Reihe praktischer \u00dcbungen angewandt werden. Ziel ist es, das Snelliussche Gesetz in optischen Problemen zu verstehen und anzuwenden.<\/em><\/p>\n<p><strong>Lernziele<\/strong><\/p>\n<ol style=\"text-align:left\">\n<li><strong>Verstehen<\/strong> des Konzepts des Brechungsindexes und seines Zusammenhangs mit der Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Medien.<\/li>\n<li><strong>Anwenden<\/strong> des Fermatschen Prinzips, um zu verstehen, wie das Licht die Bahn w\u00e4hlt, die die Laufzeit zwischen zwei Punkten minimiert.<\/li>\n<li><strong>Herleiten<\/strong> des Snelliusschen Gesetzes aus dem Fermatschen Prinzip, um die Bahn eines Lichtstrahls beim \u00dcbergang durch verschiedene Medien zu bestimmen.<\/li>\n<li><strong>Berechnen<\/strong> der Einfalls- und Brechungswinkel unter Verwendung des Snelliusschen Gesetzes in Situationen mit unterschiedlichen Brechungsindizes.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> des Konzepts der Totalreflexion und dessen Zusammenhang mit dem Grenzwinkel und den Brechungsindizes.<\/li>\n<li><strong>Bestimmen<\/strong> des Grenzwinkels f\u00fcr die Totalreflexion an der Grenzfl\u00e4che zwischen zwei Medien.<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Der Brechungsindex<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Das Fermatsche Prinzip<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Das Snelliussche Gesetz der Lichtbrechung<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\"><strong>Brechung, Reflexion und Totalreflexion des Lichts<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#5\"><strong>\u00dcbungen<\/strong><\/a><\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/LxhWbErujpo\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Der Brechungsindex<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=LxhWbErujpo&amp;t=186s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Der Brechungsindex wird definiert<\/span><\/strong><\/a> eines Mediums als das Verh\u00e4ltnis zwischen der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit in diesem Medium. Dies ist eine dimensionslose Gr\u00f6\u00dfe und wird im Allgemeinen durch den Buchstaben <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_k:<\/span><\/span> dargestellt.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_k=\\displaystyle \\frac{c}{c_k}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span><\/span> die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c_k<\/span><\/span> die Lichtgeschwindigkeit im Medium <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k.<\/span><\/span> ist.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Da sich das Licht in jedem Medium immer langsamer bewegt als im Vakuum, ist der Brechungsindex stets gr\u00f6\u00dfer oder gleich 1.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h3>Das Fermatsche Prinzip<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=LxhWbErujpo&amp;t=397s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die Geschwindigkeit des Lichts h\u00e4ngt ab<\/span><\/strong><\/a> vom Medium, in dem es sich bewegt. Je gr\u00f6\u00dfer der Brechungsindex des Mediums ist, desto geringer ist die Lichtgeschwindigkeit darin; und in Bezug darauf wird das Fermatsche Prinzip formuliert:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; background-color: #80ff80;\">Wenn das Licht von einem Punkt zu einem anderen reist, folgt es dem Weg, der die Laufzeit minimiert.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dieses Prinzip gilt auch dann, wenn das Licht durch verschiedene Medien geht.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Das Snelliussche Gesetz der Lichtbrechung<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=LxhWbErujpo&amp;t=608s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Auf der Grundlage des Fermatschen Prinzips<\/span><\/strong><\/a> ist es m\u00f6glich, ein Optimierungsproblem zu formulieren, das es erlaubt, die Bahn zu bestimmen, die ein Lichtstrahl beim Durchgang durch verschiedene Medien nimmt. Dies f\u00fchrt schlie\u00dflich zum Snelliusschen Gesetz, dessen Formulierung und Herleitung wir im Folgenden betrachten werden.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Angenommen, ein Strahl tritt von einem Punkt A zu einem Punkt B und \u00fcberquert dabei eine Grenzfl\u00e4che, die zwei Medien mit den Brechungsindizes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_1<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_2<\/span><\/span> trennt. Unser Ziel ist es, eine Beziehung zu finden, die es uns erm\u00f6glicht, die Bahn des Lichtstrahls zu berechnen, indem wir das Fermatsche Prinzip des minimalen Zeitweges anwenden, und hierf\u00fcr wird das folgende Schema aufgestellt:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-1CdoEOp5SHc\/YUDNPnQyOxI\/AAAAAAAAFjE\/RG-kYgV4KKwAE3QwiM9nB3cA-OOXesONQCLcBGAsYHQ\/s0\/n1n2leydeSnell.PNG\" width=\"875\" height=\"518\" alt=\"Snelliussches Gesetz\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-1CdoEOp5SHc\/YUDNPnQyOxI\/AAAAAAAAFjE\/RG-kYgV4KKwAE3QwiM9nB3cA-OOXesONQCLcBGAsYHQ\/s0\/n1n2leydeSnell.PNG\" width=\"875\" height=\"518\" alt=\"Snelliussches Gesetz\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die \u00dcberlegung beginnt mit der Analyse der Form der Reisezeit des Lichtstrahls. Wir haben:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}{Reisezeit} &amp; =\\displaystyle \\frac{{Strecke}}{{Geschwindigkeit}} \\\\ \\\\ &amp; \\displaystyle =\\frac{{Strecke\\,im\\,Medium\\,1}}{{Geschwindigkeit\\,im\\,Medium\\,1}} + \\frac{{Strecke\\,im\\,Medium\\,2}}{{Geschwindigkeit\\,im\\,Medium\\,2}}\\\\ \\\\&amp; =\\displaystyle \\frac{\\sqrt{a^2 + x^2}}{c_1} + \\frac{\\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c_2}\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Damit ergibt sich, dass bei festen Punkten A und B die Reisezeit durch den Punkt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> bestimmt wird, an dem der Strahl die Grenzfl\u00e4che zwischen den Medien trifft. Damit k\u00f6nnen wir eine Zeitfunktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t(x)<\/span><\/span> definieren durch<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t(x) = \\displaystyle \\frac{1}{c_1}\\sqrt{a^2 + x^2} + \\frac{1}{c_2}\\sqrt{b^2 + (d-x)^2}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun, da das Fermatsche Prinzip besagt, dass das Licht den Weg w\u00e4hlt, der die Reisezeit minimiert, ist es m\u00f6glich, daraus das <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> zu finden, das die Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t(x)<\/span><\/span> minimiert. Wir stehen vor einem Optimierungsproblem.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Leitet man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t<\/span><\/span> nach <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> ab, erh\u00e4lt man:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\begin{array}{rl}\\dfrac{dt}{dx} &amp;\\displaystyle = \\frac{1}{c_1}\\frac{d}{dx}\\sqrt{a^2 + x^2} + \\frac{1}{c_2}\\frac{d}{dx}\\sqrt{b^2+(d-x)^2}\\\\ \\\\ &amp;\\displaystyle = \\frac{1}{c_1} \\frac{2x}{2\\sqrt{a^2 + x^2}} + \\frac{1}{c_2}\\frac{2(d-x)(-1)}{2\\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\\\ \\\\ &amp;\\displaystyle = \\frac{1}{c_1} \\frac{x}{\\sqrt{a^2 + x^2}} - \\frac{1}{c_2}\\frac{(d-x)}{\\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun beachten wir, dass:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\\sin(\\theta_1) &amp;\\displaystyle =\\frac{x}{\\sqrt{a^2 + x^2}}\\\\ \\\\ \\sin(\\theta_2) &amp;\\displaystyle = \\frac{(d-x)}{\\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\\\ \\\\ c_1 &amp; \\displaystyle = \\frac{c}{n_1} \\\\ \\\\ c_2 &amp; \\displaystyle = \\frac{c}{n_2} \\end{array} <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Somit erh\u00e4lt man, wenn man diese Ausdr\u00fccke in die Ableitung der Zeit einsetzt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{dt}{dx} = \\frac{n_1}{c} \\sin(\\theta_1) - \\frac{n_2}{c}\\sin(\\theta_2)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Schlie\u00dflich, wenn der Punkt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> die Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t(x)<\/span><\/span> minimiert, muss die Ableitung verschwinden, und man erh\u00e4lt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{n_1 \\sin(\\theta_1) = n_2 \\sin(\\theta_2)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies ist das Snelliussche Gesetz f\u00fcr die Brechung eines Lichtstrahls, der zwischen zwei Medien hindurchtritt, und zeigt uns den Zusammenhang zwischen dem Einfallswinkel <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_1<\/span><\/span> und dem Brechungswinkel <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_2<\/span><\/span>.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Brechung, Reflexion und Totalreflexion des Lichts<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=LxhWbErujpo&amp;t=1614s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wir haben gesehen, dass wenn Licht<\/span> <\/strong><\/a>von einem Medium in ein anderes \u00fcbergeht, es gebrochen wird, aber im Allgemeinen tritt eine Kombination aus Brechung und Reflexion auf; und je nach Brechungsindizes und Einfallswinkel des Lichtstrahls kann die Brechung verschwinden, sodass nur die Reflexion verbleibt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Angenommen, ein Lichtstrahl f\u00e4llt von einem Material <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> in ein anderes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> mit den Brechungsindizes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_a<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_b<\/span><\/span> ein. Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_a \\gt n_b,<\/span><\/span> dann gilt nach dem Snelliusschen Gesetz:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\sin(\\theta_b) = \\frac{n_a}{n_b}\\sin(\\theta_a)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_a\/n_b \\gt 1<\/span><\/span>, ergibt sich <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(\\theta_b) \\gt \\sin(\\theta_a)<\/span><\/span>, was bedeutet, dass der gebrochene Strahl sich weiter von der Normalen entfernt. Dies impliziert, dass es ein <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_a\\lt 90^o<\/span><\/span> geben muss, f\u00fcr das <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(\\theta_b)=1<\/span><\/span> und somit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_b=90^o<\/span><\/span>, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Einfallswinkel, bei dem der Strahl an der Grenzfl\u00e4che gebrochen wird, wird als Grenzwinkel bezeichnet und erf\u00fcllt die Beziehung<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\sin(\\theta_{kritisch}) = \\frac{n_b}{n_a}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies ist gleichbedeutend mit:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\theta_{kritisch} = \\arcsin\\left( \\frac{n_b}{n_a} \\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_a \\gt \\theta_{kritisch}<\/span><\/span>, dann tritt Totalreflexion auf.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00dcbungen:<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Betrachten Sie einen Lichtstrahl, der wie in der folgenden Abbildung vom Wasser ins Glas \u00fcbergeht:<br \/>\n<center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-98FbTK-_FZo\/YT-61nYxRnI\/AAAAAAAAFiM\/JbBsuAnS6IA8aB-4hvroeZ1qDF2ebxQUwCLcBGAsYHQ\/s0\/n1n2snell.PNG\" width=\"442\" height=\"321\" alt=\"Lichtstrahl, der vom Wasser ins Glas \u00fcbergeht\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-98FbTK-_FZo\/YT-61nYxRnI\/AAAAAAAAFiM\/JbBsuAnS6IA8aB-4hvroeZ1qDF2ebxQUwCLcBGAsYHQ\/s0\/n1n2snell.PNG\" width=\"442\" height=\"321\" alt=\"Lichtstrahl, der vom Wasser ins Glas \u00fcbergeht\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><br \/>\nDer Brechungsindex des Wassers ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_1 = 1,33<\/span><\/span> und der des Glases <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_2=1,52.<\/span><\/span> Wenn ein Lichtstrahl, der vom Wasser ins Glas \u00fcbergeht, auf die Grenzfl\u00e4che zwischen beiden Medien mit einem Einfallswinkel von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_1 = 60^o<\/span><\/span> bez\u00fcglich der Normalen trifft, mit welchem Winkel <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_2<\/span><\/span> tritt der gebrochene Strahl aus? <span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e03b929247d\"  tabindex=\"0\" title=\"L\u00d6SUNG\"    >L\u00d6SUNG<\/span><div id=\"target-id69e03b929247d\" class=\"collapseomatic_content \">\nMit dem Snelliusschen Gesetz erh\u00e4lt man:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_1 \\sin(\\theta_1) = n_2 \\sin(\\theta_2)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Snelliussches Gesetz<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\equiv <\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\sin(\\theta_2) = \\frac{n_1}{n_2}\\sin(\\theta_1)<\/span><\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\equiv <\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\theta_2 = \\arcsin\\left(\\frac{n_1}{n_2}\\sin(\\theta_1)\\right)<\/span><\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_1=1,33<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Brechungsindex des Wassers<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(3)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_2=1,52<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Brechungsindex des Glases<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(4)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_1=60^o<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Einfallswinkel an der Grenzfl\u00e4che des Lichtstrahls<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(5)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\theta_2 = \\arcsin\\left(\\frac{1,33}{1,52}\\sin(60^o)\\right) \\approx 49,268^o<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Aus (1,2,3,4), Brechungswinkel<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=LxhWbErujpo&amp;t=1363s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\"><\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li>Drei Fl\u00fcssigkeiten, die durch zwei Grenzfl\u00e4chen getrennt sind, haben die folgenden Brechungsindizes: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_1=1,33,<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_2=1,41<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_3=1,68,<\/span><\/span> und sind wie in der folgenden Abbildung dargestellt angeordnet:<center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-AAZlxjqC4s4\/YUAdiGNMSQI\/AAAAAAAAFiU\/mOE-xMfybOoxenNH2O8sufjpTuzH6-WIwCLcBGAsYHQ\/s0\/n1n2n3snell.PNG\" width=\"443\" height=\"430\" alt=\"Snelliussches Gesetz angewandt auf drei Medien\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-AAZlxjqC4s4\/YUAdiGNMSQI\/AAAAAAAAFiU\/mOE-xMfybOoxenNH2O8sufjpTuzH6-WIwCLcBGAsYHQ\/s0\/n1n2n3snell.PNG\" width=\"443\" height=\"430\" alt=\"Snelliussches Gesetz angewandt auf drei Medien\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center>Wenn der Strahl, der vom Medium mit Index <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_1<\/span><\/span> in das mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_2<\/span><\/span> \u00fcbergeht, auf die Grenzfl\u00e4che mit einem Winkel von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_1=70^o<\/span><\/span> auftrifft, mit welchem Winkel wird er gebrochen, wenn er in das Medium mit Index <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_3<\/span><\/span> \u00fcbergeht?<br \/>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e03b92930d3\"  tabindex=\"0\" title=\"L\u00d6SUNG\"    >L\u00d6SUNG<\/span><div id=\"target-id69e03b92930d3\" class=\"collapseomatic_content \">\nAnalog zur vorherigen Aufgabe ergibt sich folgende \u00dcberlegung:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_1 \\sin(\\theta_1) = n_2 \\sin(\\theta_2) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; Snelliussches Gesetz f\u00fcr den \u00dcbergang vom Medium n1 zu n2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_2 \\sin(\\theta_2) = n_3 \\sin(\\theta_3) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; Snelliussches Gesetz f\u00fcr den \u00dcbergang vom Medium n2 zu n3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(3)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n_1 \\sin(\\theta_1) = n_3 \\sin(\\theta_3) <\/span><\/span><\/td>\n<td>; Aus (1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\equiv<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\sin(\\theta_3) = \\frac{n_1}{n_3}\\sin(\\theta_1) <\/span><\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\equiv<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\theta_3 = \\arcsin\\left(\\frac{n_1}{n_3}\\sin(\\theta_1)\\right) <\/span><\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Schlie\u00dflich, durch Einsetzen der Daten erh\u00e4lt man:<\/p>\n<p><center><br \/>\n<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\theta_3= \\arcsin\\left(\\frac{1,33}{1,68}\\sin(70^o)\\right) \\approx 48,0667^o <\/span><\/span><\/center><br \/>\nBeachten Sie, dass diese \u00dcberlegung uns zeigt, dass wir die Berechnungen nur mit den Ein- und Austrittsmedien des Strahls durchf\u00fchren k\u00f6nnen, wobei das dazwischenliegende Medium vollst\u00e4ndig ignoriert wird.<br \/>\n<\/div>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=LxhWbErujpo&amp;t=1417s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[Video]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li>Vom Boden eines Schwimmbeckens wird ein Lichtstrahl in Richtung der Grenzfl\u00e4che zwischen Luft und Wasser ausgesendet. Bestimmen Sie den Einfallswinkel, bei dem eine Totalreflexion auftritt.<center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-GiDk_G3uybI\/YUDhONr0MaI\/AAAAAAAAFjM\/aSGUOspZeCsm7Cz7DG4r-JrCr03QhYyBgCLcBGAsYHQ\/s0\/%25C3%25A1ngulocr%25C3%25ADtico.PNG\" width=\"588\" height=\"358\" alt=\"Lichtstrahl, der im kritischen Winkel einf\u00e4llt\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-GiDk_G3uybI\/YUDhONr0MaI\/AAAAAAAAFjM\/aSGUOspZeCsm7Cz7DG4r-JrCr03QhYyBgCLcBGAsYHQ\/s0\/%25C3%25A1ngulocr%25C3%25ADtico.PNG\" width=\"588\" height=\"358\" alt=\"Lichtstrahl, der im kritischen Winkel einf\u00e4llt\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><br \/>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e03b929326a\"  tabindex=\"0\" title=\"L\u00d6SUNG\"    >L\u00d6SUNG<\/span><div id=\"target-id69e03b929326a\" class=\"collapseomatic_content \">\nDer kritische Winkel ist gegeben durch:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\theta_{kritisch}= \\arcsin\\left(\\frac{1,00}{1,33}\\right) \\approx 48,7535^o<\/span><\/span><\/p>\n<\/div><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=LxhWbErujpo&amp;t=1869s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[Video]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Lichtbrechung und das Snelliussche Gesetz Zusammenfassung: In dieser Vorlesung wird die Brechung des Lichts anhand der Analyse des Snelliusschen Gesetzes untersucht. Es wird das Konzept des Brechungsindexes erl\u00e4utert, das Snelliussche Gesetz mithilfe des Fermatschen Prinzips hergeleitet und gezeigt, wie dieses Gesetz die Berechnung der Bahn eines Lichtstrahls beim \u00dcbergang zwischen verschiedenen Medien erm\u00f6glicht. 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