{"id":34478,"date":"2024-09-16T13:00:46","date_gmt":"2024-09-16T13:00:46","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34478"},"modified":"2025-09-08T03:57:47","modified_gmt":"2025-09-08T03:57:47","slug":"die-newtonschen-gesetze","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/die-newtonschen-gesetze\/","title":{"rendered":"Die Newtonschen Gesetze"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Die Newtonschen Gesetze<\/h1>\n<p><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\n    Diese Vorlesung behandelt die Newtonschen Gesetze und ihre Rolle in der Dynamik der K\u00f6rper. Es wird untersucht, wie Masse und Geschwindigkeit den linearen Impuls bestimmen, und die drei Gesetze werden beschrieben: die Tr\u00e4gheit, die den Bewegungszustand in Abwesenheit \u00e4u\u00dferer Kr\u00e4fte aufrechterh\u00e4lt, der Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung sowie die Wechselwirkung von Aktion und Reaktion zwischen K\u00f6rpern. Anhand von Beispielen wie dem Gleiten auf Ebenen und der Bewegung von Pendeln wird die Anwendung dieser Gesetze veranschaulicht, was schlie\u00dflich mit praktischen \u00dcbungen zur Festigung des Lernens abschlie\u00dft.<\/em><\/p>\n<p><strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\n    Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Die drei Newtonschen Gesetze zu verstehen<\/strong> und ihre Anwendung in der Dynamik der K\u00f6rper zu erl\u00e4utern.<\/li>\n<li><strong>Die Newtonschen Gesetze anzuwenden<\/strong>, um Probleme der Dynamik zu analysieren und zu l\u00f6sen.<\/li>\n<li><strong>Die Beziehung zwischen Masse, Geschwindigkeit und linearem Impuls zu identifizieren.<\/strong><\/li>\n<li><strong>Die Bedeutung von Inertialsystemen<\/strong> in der Untersuchung der Dynamik zu analysieren.<\/li>\n<li><strong>Zu erkl\u00e4ren<\/strong>, wie das zweite Newtonsche Gesetz Kraft und Beschleunigung miteinander verkn\u00fcpft.<\/li>\n<li><strong>Den Begriff der tr\u00e4gen Masse zu beschreiben<\/strong> und wie man diese zwischen verschiedenen K\u00f6rpern vergleicht.<\/li>\n<\/ol>\n<p>    <strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n    <a href=\"#1\">Einf\u00fchrung<\/a><br \/>\n    <a href=\"#2\">Die Newtonschen Gesetze \u00fcber die Dynamik der K\u00f6rper<\/a><br \/>\n    <a href=\"#3\">Wie benutzt man die Newtonschen Gesetze?<\/a><br \/>\n    <a href=\"#4\">L\u00f6sung von Problemen mit den Newtonschen Gesetzen<\/a><br \/>\n    <\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Einf\u00fchrung<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn die Kinematik, die wir in den <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/posicion-velocidad-y-aceleracion-cinematica\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">vorherigen Vorlesungen<\/a> behandelt haben, es uns erlaubt, die Bewegung der K\u00f6rper zu beschreiben, so gewinnen wir durch die Newtonschen Gesetze die Dynamik, die es uns erm\u00f6glicht, \u00fcber die Ursachen der Bewegung (oder Zustands\u00e4nderungen der Bewegung) nachzudenken. Hier sind die Konzepte von Position und Zeit wichtig, weil wir in deren Begriffen Geschwindigkeit und Beschleunigung definieren; hinzu kommt jedoch ein weiteres Element: die Masse.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Tcp_1M1a7H0&amp;t=127s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Die Masse ist wichtig, um den Bewegungszustand<\/strong><\/a> der K\u00f6rper oder den linearen Impuls zu definieren. Man sagt, dass der lineare Impuls eines K\u00f6rpers, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{p}<\/span>, das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit ist.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Large \\vec{p}=m\\vec{v}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Bewegungszustand ist die Schl\u00fcsselidee hinter den Newtonschen Gesetzen.<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Tcp_1M1a7H0\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Newtonschen Gesetze \u00fcber die Dynamik der K\u00f6rper<\/h2>\n<h4>Erstes Gesetz (Tr\u00e4gheitsgesetz):<\/h4>\n<p style=\"text-align: center; color: #000080; background-color: #80ff80;\"><strong>In Abwesenheit \u00e4u\u00dferer Einwirkungen behalten alle K\u00f6rper ihren Bewegungszustand bei.<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Tcp_1M1a7H0&amp;t=208s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Das erste der Newtonschen Gesetze<\/strong><\/a> hat die Genialit\u00e4t, zwei Fragen von tiefgreifender Bedeutung f\u00fcr die Physik aufzustellen. Die erste und offensichtlichste: es etabliert den linearen Impuls als eine erhaltene Gr\u00f6\u00dfe; und die zweite, ebenso wichtige, aber viel implizitere, erm\u00f6glicht es uns, festzulegen, was ein <strong>Inertialsystem<\/strong> ist.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Tcp_1M1a7H0&amp;t=322s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Es gibt viele M\u00f6glichkeiten, einen Beobachter zu definieren,<\/strong><\/a> aber unter all diesen gibt es eine besondere Klasse, die wir Inertialbeobachter nennen. Der Unterschied besteht darin, dass aus der Perspektive eines Inertialbeobachters in Abwesenheit einer \u00e4u\u00dferen Einwirkung der Bewegungszustand der K\u00f6rper eine erhaltende Gr\u00f6\u00dfe ist.<\/p>\n<h5>Was unterscheidet einen Inertialbeobachter von einem, der es nicht ist?<\/h5>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Unterschied besteht darin, dass aus der Perspektive eines Inertialbeobachters in Abwesenheit einer \u00e4u\u00dferen Einwirkung der Bewegungszustand der K\u00f6rper eine erhaltende Gr\u00f6\u00dfe ist.<\/p>\n<h4>Zweites Gesetz (Kraft und Masse):<\/h4>\n<p style=\"text-align: center; color: #000080; background-color: #80ff80;\"><strong>Aus der Perspektive eines Inertialbeobachters ist die von einer \u00e4u\u00dferen Ursache auf einen K\u00f6rper ausge\u00fcbte Kraft gleich der \u00c4nderung seines Bewegungszustandes.<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Tcp_1M1a7H0&amp;t=396s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Mit anderen Worten, wenn auf einen K\u00f6rper eine Kraft<\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}<\/span> ausge\u00fcbt wird, dann gilt.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Large \\displaystyle \\vec{F}=\\frac{d\\vec{p}}{dt}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die bekannte Beziehung \u201eKraft gleich Masse mal Beschleunigung\u201c, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}=m\\vec{a},<\/span><\/span> ist nichts anderes als eine Konsequenz des Zweiten Newtonschen Gesetzes, die sich aus den Eigenschaften der Ableitungen und der Massenerhaltung ergibt.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\vec{F} &amp; =\\displaystyle \\frac{d\\vec{p}}{dt} = \\frac{d}{dt}\\left(m\\vec{v} \\right) \\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle \\underbrace{\\frac{dm}{dt}}_{= 0}\\vec{v} + m \\underbrace{\\frac{d\\vec{v}}{dt}}_{= \\vec{a}} = m\\vec{a}\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">In diesem letzten Schritt wurde ber\u00fccksichtigt, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dm\/dt=0<\/span><\/span>, da angenommen wird, dass weder Masse hinzugef\u00fcgt noch entfernt wird, und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d\\vec{v}\/dt<\/span><\/span> ist die Definition der Beschleunigung.<\/p>\n<h5>Tr\u00e4ge Masse<\/h5>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Tcp_1M1a7H0&amp;t=572s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Das zweite der Newtonschen Gesetze<\/strong><\/a> erm\u00f6glicht es au\u00dferdem, den Begriff der Masse zu pr\u00e4zisieren. Hier erscheint sie als eine Proportionalit\u00e4tskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung. Je gr\u00f6\u00dfer die Masse, desto gr\u00f6\u00dfer muss die ausge\u00fcbte Kraft sein, um die gleiche Beschleunigung zu erreichen; als Folge davon wird die Masse als Ma\u00df f\u00fcr die Tr\u00e4gheit der K\u00f6rper verstanden, daher der Name <strong>tr\u00e4ge Masse.<\/strong> Wenn auf zwei K\u00f6rper, die sich relativ zu einem Inertialbeobachter in Ruhe befinden, die gleiche Kraft wirkt (ohne Materieaustausch), dann gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m_1 \\vec{a}_1 = \\vec{F} = m_2 \\vec{a}_2<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Daraus k\u00f6nnen wir die Massen der K\u00f6rper durch das Verh\u00e4ltnis der Betr\u00e4ge der Beschleunigungen vergleichen<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{m_1}{m_2} = \\frac{\\|\\vec{a_2}\\|}{\\|\\vec{a_1}\\|}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Daher, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m_2<\/span><\/span> ein \u201eKilogramm-Standard\u201c w\u00e4re, gen\u00fcgt es, den Quotienten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{a}_2\\|\/\\|\\vec{a}_1\\|<\/span><\/span> zu betrachten, um zu wissen, wie viele Kilogramm <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m_1<\/span><\/span> hat.<\/p>\n<h4>Drittes Gesetz (Aktion und Reaktion):<\/h4>\n<p style=\"text-align: center; color: #000080; background-color: #80ff80;\"><strong>Wenn ein K\u00f6rper A eine \u201eAktionskraft\u201c auf einen anderen K\u00f6rper B aus\u00fcbt, dann \u00fcbt B eine \u201eReaktionskraft\u201c auf A aus, die gleich gro\u00df ist, jedoch in entgegengesetzter Richtung wirkt.<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Tcp_1M1a7H0&amp;t=794s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Das dritte Newtonsche Gesetz erlaubt es nicht nur,<\/strong><\/a> pr\u00e4ziser \u00fcber Kr\u00e4fte zu sprechen, sondern stellt auch ausdr\u00fccklich fest, dass die \u00e4u\u00dferen Agenten, die eine Kraft aus\u00fcben, ebenfalls physikalische Objekte sind, die ihr unterliegen:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>Der \u00e4u\u00dfere Agent ist ein physikalisches Objekt, das von Kr\u00e4ften beeinflusst werden kann.<\/li>\n<li>Kr\u00e4fte treten niemals isoliert auf, sondern entstehen paarweise, sogenannte \u201eAktions-Reaktions-Paare\u201c, und die Vektorsumme dieser Paare ist immer null.<\/li>\n<li>Aktions-Reaktions-Paare treten stets an verschiedenen K\u00f6rpern auf, sodass die Gesamtkraft auf einen K\u00f6rper nicht notwendigerweise null ist.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Da die Aktions-Reaktions-Paare stets entlang einer Geraden wirken, f\u00fchrt dies zu dem, was wir sp\u00e4ter als Erhaltung des Drehimpulses kennenlernen werden.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Abgesehen davon besagt das dritte Newtonsche Gesetz implizit noch einige weitere Dinge:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>Damit eine nicht-null Netto-Kraft auf einen K\u00f6rper ausge\u00fcbt werden kann, ist mindestens ein zweites Objekt erforderlich.<\/li>\n<li>Aktion und Reaktion treten gleichzeitig auf. Da zwei K\u00f6rper \u00fcber Distanz interagieren k\u00f6nnen (durch Gravitation oder Elektromagnetismus), muss es in der Mechanik nach Newton notwendigerweise eine M\u00f6glichkeit geben, Informationen von einem Punkt zu einem anderen mit unendlicher Geschwindigkeit zu \u00fcbertragen. Wir wissen, dass so etwas unm\u00f6glich ist, da gem\u00e4\u00df der speziellen Relativit\u00e4tstheorie die maximale Geschwindigkeit die des Lichts im Vakuum ist, sodass wir sagen, dieses dritte Gesetz sei eine Ann\u00e4herung an die Realit\u00e4t.<\/li>\n<\/ul>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/DuO-cvLNzwQ\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Wie benutzt man die Newtonschen Gesetze?<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um zu verstehen, wie die Newtonschen Gesetze so angewendet werden, dass ihre Bedeutung klar wird, ist es am besten, auf Beispiele zur\u00fcckzugreifen, die auf konkreten Situationen basieren, sowie auf die Konstruktion von Freik\u00f6rperdiagrammen.<\/p>\n<h3>Freik\u00f6rperdiagramme<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=DuO-cvLNzwQ&amp;t=96s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Ein Freik\u00f6rperdiagramm ist<\/strong><\/a> ein schematisches Bild, in dem wir die Kr\u00e4fte darstellen, die auf einen K\u00f6rper wirken. Basierend auf dem, was wir \u00fcber das Gewicht besprochen haben, k\u00f6nnen wir die folgenden Beispiele von Freik\u00f6rperdiagrammen konstruieren.<\/p>\n<h4>Ein K\u00f6rper auf einer horizontalen Ebene<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=DuO-cvLNzwQ&amp;t=180s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Aufgrund der Schwerkraft erf\u00e4hrt jeder K\u00f6rper mit Masse eine Kraft,<\/strong><\/a> die zum Boden gerichtet ist. Durch das zweite Newtonsche Gesetz sehen wir, dass diese Kraft durch das Produkt der Masse und der Erdbeschleunigung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{g}=-g\\hat{y},<\/span><\/span> gegeben ist, wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g=9,81[m\/s^2].<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}_{peso}=m\\vec{g} = -mg\\hat{y}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das, was wir als \u201edas Gewicht\u201c eines K\u00f6rpers verstehen, ist in Wirklichkeit der Betrag dieser Gewichtskraft, die wir gerade gesehen haben.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{peso}=\\|\\vec{F}_{peso}\\|= mg<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir einen Block auf eine horizontale Ebene legen, erscheint ein Aktions-Reaktions-Paar: dies sind die Gewichtskraft und die Normalkraft. Diese Kr\u00e4fte sind gleich gro\u00df, aber entgegengesetzt gerichtet, sodass die Vektorsumme der Kr\u00e4fte auf den K\u00f6rper null ist und folglich sein Bewegungszustand im Laufe der Zeit konstant bleibt.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-ylYcrS1tJbw\/YVfZYBYCPjI\/AAAAAAAAFlU\/0mOIkMhF-Hwrysc_WB5o7MLvrQtxQJu2QCLcBGAsYHQ\/s0\/reposo-plano-horizontal.PNG\" width=\"497\" height=\"280\" alt=\"K\u00f6rper auf einer horizontalen Ebene\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-ylYcrS1tJbw\/YVfZYBYCPjI\/AAAAAAAAFlU\/0mOIkMhF-Hwrysc_WB5o7MLvrQtxQJu2QCLcBGAsYHQ\/s0\/reposo-plano-horizontal.PNG\" width=\"497\" height=\"280\" alt=\"K\u00f6rper auf einer horizontalen Ebene\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<h4>Gleiten auf einer horizontalen Ebene<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=DuO-cvLNzwQ&amp;t=343s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Stellen wir uns nun vor, dass der Block an ein Seil gebunden wird<\/strong><\/a> und wir ihn ziehen, wie im folgenden Freik\u00f6rperdiagramm dargestellt:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-a2GB2RJ7vTY\/YVgEny43ZkI\/AAAAAAAAFlk\/uZ9_XQ3JwVMiiWjZDNC5Y4ePVZ9GH1bngCLcBGAsYHQ\/s0\/fuerza-cuerpo-en-plano-horizontal.PNG\" width=\"793\" height=\"386\" alt=\"Kraftdiagramm f\u00fcr ein Objekt auf einer horizontalen Ebene\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-a2GB2RJ7vTY\/YVgEny43ZkI\/AAAAAAAAFlk\/uZ9_XQ3JwVMiiWjZDNC5Y4ePVZ9GH1bngCLcBGAsYHQ\/s0\/fuerza-cuerpo-en-plano-horizontal.PNG\" width=\"793\" height=\"386\" alt=\"Kraftdiagramm f\u00fcr ein Objekt auf einer horizontalen Ebene\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hier beobachten wir das Auftreten von zwei Aktions-Reaktions-Paaren: einerseits die Paare, die mit den Gewichtskr\u00e4ften und Normalkr\u00e4ften der K\u00f6rper verbunden sind; es gibt ein drittes Aktions-Reaktions-Paar, das mit den Enden des Seils verbunden ist, mit dem das Subjekt den Block zieht; und schlie\u00dflich ein Paar, das mit der ausge\u00fcbten Kraft <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\vec{F}_1<\/span><\/span> und der Reibungskraft <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}_{roce},<\/span><\/span> verbunden ist, mit einem Maximalwert von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu\\|\\vec{F}_\\textnormal{normal}\\|.<\/span><\/span><\/p>\n<h5>Reibungskoeffizient und Reibungskr\u00e4fte<\/h5>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=DuO-cvLNzwQ&amp;t=458s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Hier ist <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu<\/span> der Reibungskoeffizient,<\/strong><\/a> der den Widerstand gegen das Gleiten zwischen zwei Oberfl\u00e4chen ausdr\u00fcckt; der Reibungskoeffizient hat zwei Versionen: eine kinetische (<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu_c<\/span><\/span>) und eine statische (<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu_e<\/span><\/span>). Die statische Reibung tritt auf, wenn der K\u00f6rper in Ruhe bleibt, w\u00e4hrend die kinetische Reibung auftritt, sobald der K\u00f6rper zu gleiten beginnt.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{lcr}\\mu = \\left\\{\\begin{array}{lll} \\mu_e &amp; ;&amp; \\textnormal{K\u00f6rper in Ruhe} \\\\ \\\\ \\mu_c &amp; ;&amp; \\textnormal{K\u00f6rper in Bewegung} \\end{array}\\right. &amp; ; &amp; \\textnormal{Wobei } \\mu_c \\leq \\mu_e\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Reibungskraft wirkt der Bewegung des K\u00f6rpers, auf den sie einwirkt, entgegen und kann (in vereinfachter Form) durch den folgenden Ausdruck modelliert werden:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n        \\vec{F}_\\textnormal{roce} ( \\vec{F}_1 ) = \\left\\{\n\n            \\begin{array}{lll}\n\n            - \\vec{F}_1 &amp; ; &amp; \\|\\vec{F}_1\\| \\leq \\mu_e \\|\\vec{F}_\\textnormal{normal}\\| \\\\ \\\\\n\n            -\\mu_c \\|\\vec{F}_\\textnormal{normal}\\|\\hat{x} &amp; ; &amp; \\mu_e \\|\\vec{F}_\\textnormal{normal}\\| \\lt \\|\\vec{F}\\|\n\n            \\end{array}\n\n    \\right.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn die ausge\u00fcbte Kraft kleiner oder gleich der maximalen statischen Reibung ist, bleibt der K\u00f6rper in relativer Ruhe zum Boden. Wenn die ausge\u00fcbte Kraft gr\u00f6\u00dfer als die statische Reibung ist, dann beginnt sich der K\u00f6rper zu bewegen und die Reibung wird kinetisch; die Nettokraft auf den K\u00f6rper ist daher: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}_{neta} = \\vec{F}_1 - \\mu_c\\|\\vec{F}_\\textnormal{normal}\\|\\hat{x},<\/span><\/span> und folglich bewegt er sich mit einer Beschleunigung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{a} = \\vec{F}_{neta}\/M<\/span><\/span>. Wenn sich der K\u00f6rper einmal in Bewegung befindet und die ausge\u00fcbte Kraft gleich der kinetischen Reibung ist, bewegt sich der K\u00f6rper mit konstanter Geschwindigkeit.<\/p>\n<h4>Gleiten auf einer schiefen Ebene<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=DuO-cvLNzwQ&amp;t=753s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn ein Objekt auf einer schiefen Ebene gleitet<\/strong><\/a> mit einem Winkel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span>, ergibt sich folgendes Kraftdiagramm:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-vMApZqsSDs0\/YVjUkV187NI\/AAAAAAAAFls\/eZ2DPO6f54AKJDtB7-y1DP3TFjIMZjT7ACLcBGAsYHQ\/s0\/diagrama%2Bde%2Bfuerzas%2Ben%2Bplano%2Binclinado.PNG\" width=\"823\" height=\"554\" alt=\"Kraftdiagramm f\u00fcr ein Gleiten auf einer schiefen Ebene\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-vMApZqsSDs0\/YVjUkV187NI\/AAAAAAAAFls\/eZ2DPO6f54AKJDtB7-y1DP3TFjIMZjT7ACLcBGAsYHQ\/s0\/diagrama%2Bde%2Bfuerzas%2Ben%2Bplano%2Binclinado.PNG\" width=\"823\" height=\"554\" alt=\"Kraftdiagramm f\u00fcr ein Gleiten auf einer schiefen Ebene\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hier wurde aus Gr\u00fcnden der Zweckm\u00e4\u00dfigkeit ein Bezugssystem so gew\u00e4hlt, dass die horizontale Koordinate mit der Gleitfl\u00e4che ausgerichtet ist. In diesem Schema wird die Gewichtskraft in zwei Komponenten zerlegt: eine parallele und eine senkrechte zur Bewegung.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Parallele Komponente:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}_{\\textnormal{peso},x}=mg\\sin(\\alpha)\\hat{x}<\/span><\/span><\/li>\n<li><strong>Senkrechte Komponente:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}_{peso,y}=-mg\\cos(\\alpha)\\hat{y}<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Reibungskraft tritt als Reaktion auf die zur Bewegung parallele Komponente der Gewichtskraft auf, und die Normalkraft als Reaktion auf die senkrechte Komponente der Gewichtskraft. Wenn die horizontale Komponente der Gewichtskraft die maximale statische Reibung \u00fcbersteigt, dann \u00e4ndert sich der Bewegungszustand des Blocks mit einer Beschleunigung<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\vec{a} = mg\\left(\\frac{\\sin(\\alpha) - \\mu_c \\cos(\\alpha)}{m}\\right)\\hat{x}<\/span><\/span><\/p>\n<h4>H\u00e4ngende Masse<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=DuO-cvLNzwQ&amp;t=1085s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Eine Masse, die an einem Seil h\u00e4ngt, das an einer Decke befestigt ist<\/strong><\/a> und die in Ruhe bleibt, hat folgendes Freik\u00f6rperdiagramm:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-jWSXd7lQhiw\/YVjpzr8z-pI\/AAAAAAAAFl0\/sZ955vFZz3Y-MtKXQQK8UFPRAaHhgxyPgCLcBGAsYHQ\/s0\/masa-colgante.PNG\" width=\"555\" height=\"521\" alt=\"Freik\u00f6rperdiagramm einer h\u00e4ngenden Masse\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-jWSXd7lQhiw\/YVjpzr8z-pI\/AAAAAAAAFl0\/sZ955vFZz3Y-MtKXQQK8UFPRAaHhgxyPgCLcBGAsYHQ\/s0\/masa-colgante.PNG\" width=\"555\" height=\"521\" alt=\"Freik\u00f6rperdiagramm einer h\u00e4ngenden Masse\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Eine Masse, die an einem Seil h\u00e4ngt, das an einer Decke befestigt ist und in Ruhe bleibt, hat folgendes Freik\u00f6rperdiagramm:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Am Seil wirken ein Kraftpaar, das wir \u201eSpannungen\u201c nennen; wenn das Seil als unelastisch angenommen wird, sind diese Kr\u00e4fte gleich gro\u00df und entgegengesetzt. Auf den Block wirkt ebenfalls ein Kraftpaar: das Gewicht und die Seilspannung. Wenn der Block h\u00e4ngend in Ruhe bleibt, dann sind Gewicht und Spannung entgegengesetzt und von gleicher Gr\u00f6\u00dfe. Es gibt eine vierte Kraft, die hier nicht gezeigt wird, n\u00e4mlich die, die das Seil an der Decke befestigt; das Zusammenspiel dieser vier Kr\u00e4fte bildet zwei Aktions-Reaktions-Paare.<\/p>\n<h4>Bewegung des einfachen Pendels<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=DuO-cvLNzwQ&amp;t=1158s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Eine Masse, die an einem unelastischen Seil h\u00e4ngt, das an einer Decke befestigt ist und<\/strong><\/a> um eine Gleichgewichtslage schwingt, wird aufgrund ihres Eigengewichts als einfaches Pendel bezeichnet. Unten sehen wir sein Freik\u00f6rperdiagramm.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-KEfWZhZZNl8\/YVkYdDhxLcI\/AAAAAAAAFl8\/CXQTZSVYbxIDw9G_JaVtV9VaG-ruwqHewCLcBGAsYHQ\/s0\/pendulo%2Bsimple.PNG\" width=\"366\" height=\"452\" alt=\"Freik\u00f6rperdiagramm des einfachen Pendels\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-KEfWZhZZNl8\/YVkYdDhxLcI\/AAAAAAAAFl8\/CXQTZSVYbxIDw9G_JaVtV9VaG-ruwqHewCLcBGAsYHQ\/s0\/pendulo%2Bsimple.PNG\" width=\"366\" height=\"452\" alt=\"Freik\u00f6rperdiagramm des einfachen Pendels\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Da das Seil unelastisch ist, gilt, dass die radiale Beschleunigung null ist und folglich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_{p,\\parallel} + T = ma_{\\parallel}(t) = 0<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">F\u00fcr die Komponente senkrecht zum Seil hingegen gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_{p,\\bot}=-mg\\sin(\\theta) = ma_{\\bot}(t)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aus diesem letzten Ausdruck l\u00e4sst sich eine Differentialgleichung ableiten, mit der wir die Winkelposition <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span> des einfachen Pendels in der Zeit modellieren k\u00f6nnen.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d^2\\theta(t)}{dt^2} + \\frac{g}{l}\\sin(\\theta) = 0<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Herleitung dieser Gleichung und die Schlussfolgerungen, die wir daraus ziehen k\u00f6nnen, werden wir jedoch sp\u00e4ter im Detail betrachten.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>L\u00f6sung von Problemen mit den Newtonschen Gesetzen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Verwenden Sie die Newtonschen Gesetze, um die folgenden Probleme zu l\u00f6sen:<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Ein Block von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">15[kg]<\/span> wird auf eine horizontale Fl\u00e4che gelegt. Zwischen dem Block und der Fl\u00e4che wirken eine statische Reibung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu_e=0,55<\/span><\/span> und eine kinetische Reibung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu_c=0,31<\/span><\/span>.\n<ol>\n<li type=\"a\">Welche minimale Kraft ist erforderlich, damit sich der Block in Bewegung setzt?<\/li>\n<li type=\"a\">Berechnen Sie die Beschleunigung des Blocks, wenn er sich aufgrund der im vorherigen Punkt berechneten Kraft in Bewegung setzt.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li>Ein Block von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">12[kg]<\/span><\/span> wird auf eine neigbare Ebene gelegt. Wenn der statische Reibungskoeffizient <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu_e=0,03<\/span><\/span> betr\u00e4gt, bestimmen Sie den maximalen Neigungswinkel, bei dem der Block in Ruhe bleibt.<\/li>\n<li>Ein Block von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">75[kg]<\/span> bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit eine um <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">30^o<\/span><\/span> gegen die Horizontale geneigte Ebene hinauf, aufgrund einer horizontal auf ihn ausge\u00fcbten Kraft. Wenn zwischen dem Block und der Oberfl\u00e4che der Ebene ein kinetischer Reibungskoeffizient von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu_c=0,21<\/span><\/span> besteht, bestimmen Sie die Gr\u00f6\u00dfe dieser angewandten Kraft.<\/li>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/kQaZdNm-iDQ\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<li>Betrachten Sie zwei Massen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m_1<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m_2<\/span><\/span>, die durch ein unelastisches und masseloses Seil verbunden sind, das \u00fcber eine Rolle l\u00e4uft, wie in der Abbildung gezeigt. Berechnen Sie die Beschleunigung beider Massen.<\/li>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEg6YZ3Pc3UlsxceJu3isovO7by4X1DHEtV-82DhHMl7FLepZDp8YQt4DAGxlQGSCemJE1Ai-SS4OdSMoJUc66U2cEKTuSbCbM_MhX-8jTElj2kwGK589fba-JoIcF9fDw_v36cKBD9OPrPJ6ZaXp4tKhK7qvNftjVQDoIyQDgGUlKXHLj_T3LOgT-rNyw\" width=\"298\" height=\"345\" alt=\"ATWOOD-MASCHINE\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEg6YZ3Pc3UlsxceJu3isovO7by4X1DHEtV-82DhHMl7FLepZDp8YQt4DAGxlQGSCemJE1Ai-SS4OdSMoJUc66U2cEKTuSbCbM_MhX-8jTElj2kwGK589fba-JoIcF9fDw_v36cKBD9OPrPJ6ZaXp4tKhK7qvNftjVQDoIyQDgGUlKXHLj_T3LOgT-rNyw\" width=\"298\" height=\"345\" alt=\"ATWOOD-MASCHINE\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<li>Ein flexibles Seil der Masse <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M<\/span> h\u00e4ngt zwischen zwei W\u00e4nden und bildet an den Befestigungspunkten einen Winkel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span>. Berechnen Sie die Seilspannung am tiefsten Punkt.<\/li>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEh3rmFCklJ9Z7Hb6M5Nb_lREohLFKZNhujGlrx1m8aUKGvr4RnoB0w3H2wQj1VHo6or-UgVj7_CtuBiL-mIs17CGJT4FF9gVPXPEKR34_6sRLW50L8q8bb5vby23Lby4xLzX92nfDvUnWnJsxtuTzehTRw-N3NJq9R91n-UFXzCgksrGooUWFGX8D1VLA\" width=\"343\" height=\"281\" alt=\"H\u00e4ngendes Seil\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEh3rmFCklJ9Z7Hb6M5Nb_lREohLFKZNhujGlrx1m8aUKGvr4RnoB0w3H2wQj1VHo6or-UgVj7_CtuBiL-mIs17CGJT4FF9gVPXPEKR34_6sRLW50L8q8bb5vby23Lby4xLzX92nfDvUnWnJsxtuTzehTRw-N3NJq9R91n-UFXzCgksrGooUWFGX8D1VLA\" width=\"343\" height=\"281\" alt=\"H\u00e4ngendes Seil\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<li>Ein K\u00f6rper der Masse <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span> bewegt sich auf der Ebene <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x,y<\/span> auf einem Kreis mit Radius <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R<\/span> und konstanter Winkelgeschwindigkeit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\omega<\/span>. Berechnen Sie die auf die Masse wirkende Kraft.<\/li>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/D3fnVM-HKJ4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Newtonschen Gesetze Zusammenfassung: Diese Vorlesung behandelt die Newtonschen Gesetze und ihre Rolle in der Dynamik der K\u00f6rper. 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