{"id":34453,"date":"2021-09-08T13:00:57","date_gmt":"2021-09-08T13:00:57","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34453"},"modified":"2025-09-08T03:28:15","modified_gmt":"2025-09-08T03:28:15","slug":"gleichmaessig-beschleunigte-geradlinige-bewegung-mrua","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/gleichmaessig-beschleunigte-geradlinige-bewegung-mrua\/","title":{"rendered":"Gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigte geradlinige Bewegung (MRUA)"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigte geradlinige Bewegung (MRUA)<\/h1>\n<p>    <em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\n    In dieser Vorlesung werden wir das Konzept der gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigten geradlinigen Bewegung (MRUA) behandeln. Es wird erkl\u00e4rt, wie diese Bewegungsart eine konstante Beschleunigung auf einer Geraden beinhaltet und durch Integration erhaltene Gleichungen modelliert wird.<\/em><\/p>\n<p>    <strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\n    Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Das Konzept<\/strong> der gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigten geradlinigen Bewegung (MRUA) und ihre Merkmale zu verstehen.<\/li>\n<li><strong>Die Gleichungen<\/strong> des Weges f\u00fcr die MRUA aus der konstanten Beschleunigung abzuleiten.<\/li>\n<li><strong>Die Gleichungen<\/strong> der MRUA anzuwenden, um Bewegungsprobleme in einer Dimension zu analysieren und zu l\u00f6sen.<\/li>\n<li><strong>Die Anfangsbedingungen<\/strong> und Konstanten in den Gleichungen der MRUA zu interpretieren.<\/li>\n<\/ol>\n<p>    <strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n    <a href=\"#1\">Was ist die gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigte geradlinige Bewegung?<\/a><br \/>\n    <a href=\"#2\">Die MRUA und der Fall des freien Falls<\/a><br \/>\n    <a href=\"#3\">\u00dcbungen zur geradlinigen und gleichm\u00e4\u00dfigen Bewegung<\/a><br \/>\n    <\/center><\/p>\n<p>    <center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/P21bsNFF9Fw\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Was ist die gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigte geradlinige Bewegung?<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=P21bsNFF9Fw&amp;t=143s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Die gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigte geradlinige Bewegung<\/strong><\/a>, kurz MRUA, ist eine Bewegungsart, die wir implizit bereits untersucht haben. Dies wird deutlich, wenn wir betrachten, wie sie aus den Weggleichungen modelliert wird. F\u00fcr eine kurze Beschreibung: Die MRUA ist eine Bewegung, bei der die Beschleunigung konstant ist \u2013 sowohl in der Gr\u00f6\u00dfe als auch in der Richtung \u2013 und die sich entlang einer Geraden, das hei\u00dft eindimensional, vollzieht.<\/p>\n<h3>Gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigte geradlinige Bewegung aus den Weggleichungen<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=P21bsNFF9Fw&amp;t=395s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Die Herleitung der MRUA<\/strong><\/a> ist ein direktes Abbild der Arbeit, die wir bei der Herleitung der Weggleichungen durch Integration in fr\u00fcheren Vorlesungen durchgef\u00fchrt haben. Da die MRUA eine Bewegung mit konstanter und eindimensionaler Beschleunigung ist, gen\u00fcgt es, die Ableitungen auf einer einzigen Koordinatenachse vorzunehmen; wenn wir auf der Achse <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span> argumentieren, erhalten wir Folgendes:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rcl}\n\na_x(t) &amp; =&amp; a_{0x} \\\\ \\\\\n\nv_x(t) &amp; =&amp;  \\int a_{0x}dt = a_{0x}t + v_{0x} \\\\ \\\\\n\nx(t) &amp; =&amp; \\displaystyle \\int v_{x}(t)dt = \\frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hier sind <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_{0x}, v_{0x}<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> allesamt Konstanten, wobei die letzten beiden Integrationskonstanten darstellen. Damit haben wir ein vollst\u00e4ndiges Modell der gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigten geradlinigen Bewegung entlang der Richtung der Achse <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span><\/span>. Das Vorgehen f\u00fcr jede andere Achse ist v\u00f6llig analog.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Die MRUA und der Fall des freien Falls<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=P21bsNFF9Fw&amp;t=512s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Einer der repr\u00e4sentativsten F\u00e4lle<\/strong><\/a> der MRUA ist der freie Fall. Dies ist eine gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigte geradlinige Bewegung, die vertikal verl\u00e4uft und durch die Erdbeschleunigung verursacht wird. Ihr Modell anhand der Weggleichungen lautet wie folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rcl}\n\na_y(t) &amp; =&amp;  -g \\\\ \\\\\n\nv_y(t) &amp; =&amp;  -gt + v_{0y} \\\\ \\\\\n\ny(t) &amp; =&amp; \\displaystyle - \\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t+ y_0\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hier ist die Erdbeschleunigung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g=9,81[m\/s^2]<\/span>. Typisch f\u00fcr den freien Fall ist, dass er zun\u00e4chst aus der Ruhe (<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_{0y}=0<\/span><\/span>) und mit einer Anfangsh\u00f6he <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y_0=h<\/span><\/span> beginnt, sodass sich die Gleichungen reduzieren zu<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rcl}\n\na_y(t) &amp; =&amp; -g \\\\ \\\\\n\nv_y(t) &amp; =&amp; -gt \\\\ \\\\\n\ny(t) &amp; =&amp; \\displaystyle - \\frac{1}{2}gt^2 + h\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Unabh\u00e4ngig davon, welches Gleichungssystem man verwendet, ist es damit bereits m\u00f6glich, Informationen zu gewinnen, indem man den Gleichungen die \u201erichtigen Fragen\u201c stellt.<\/p>\n<h4>Wenn ein K\u00f6rper aus der Ruhe aus einer H\u00f6he <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h<\/span> f\u00e4llt<\/h4>\n<h5>Wie lange dauert der Fall?<\/h5>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir dies die Gleichungen fragen, dann sagen sie uns: \u201eDer K\u00f6rper ber\u00fchrt den Boden, wenn die H\u00f6he null ist\u201c, das hei\u00dft <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(t)=0.<\/span><\/span> Wenn dies geschieht, m\u00fcssen wir die Zeit in der Gleichung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{1}{2}gt^2 + h = 0.<\/span><\/span> aufl\u00f6sen. Daraus ergeben sich zwei m\u00f6gliche Ergebnisse:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle t=\\pm\\sqrt{\\frac{2h}{g}}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die negative Zeit bezieht sich auf die Vergangenheit, die positive auf die Zukunft. Da der Fall in der Zukunft stattfindet, k\u00f6nnen wir die Fallzeit definieren als<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle t_{Fall}=+\\sqrt{\\frac{2h}{g}}<\/span><\/span><\/p>\n<h6>Mit welcher Geschwindigkeit erreicht er den Boden?<\/h6>\n<p style=\"text-align: justify;\">Diese Frage k\u00f6nnen wir einfach beantworten, indem wir die Fallzeit in die Gleichung der Geschwindigkeit einsetzen. Wenn wir dies tun, erhalten wir die Fallgeschwindigkeit:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle v_{Fall} = v_y(t_{Fall})=-g\\sqrt{\\frac{2h}{g}}=-\\sqrt{\\frac{2g^2h}{g}} = -\\sqrt{2gh}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00dcbungen zur geradlinigen und gleichm\u00e4\u00dfigen Bewegung<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Ein Objekt passiert den Ursprung mit einer Anfangsgeschwindigkeit von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_0=10[km\/h]<\/span> und mit einer Beschleunigung von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a_0=\\displaystyle \\frac{20[km\/h]}{5[s]}.<\/span>\nBerechnen Sie die Position und Geschwindigkeit des Objekts zu den Zeitpunkten a) <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=5[s],<\/span> b) <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=10[s],<\/span> c) <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=15[s]<\/span> und d) <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=1[min].<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=P21bsNFF9Fw&amp;t=1329s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[L\u00d6SUNG]<\/strong><\/a><\/li>\n<li>Eine Person l\u00e4sst gleichzeitig eine Stahlkugel und einen Stein aus einer H\u00f6he von 20[m] aus der Ruhe fallen. Beide Objekte haben die gleichen Abmessungen, aber unterschiedliches Gewicht. Wie lange dauert der Fall, und mit welcher Geschwindigkeit bewegen sie sich beim Aufprall auf den Boden? Kann eines dieser Objekte schneller fallen oder mit h\u00f6herer Geschwindigkeit aufkommen? <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=P21bsNFF9Fw&amp;t=1873s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[L\u00d6SUNG]<\/strong><\/a><\/li>\n<li>Eine M\u00fcnze wird in einen Brunnen geworfen. Das Ger\u00e4usch, das anzeigt, dass die M\u00fcnze den Boden erreicht hat, ist nach 10 [s] zu h\u00f6ren. Wie tief ist der Brunnen? <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=P21bsNFF9Fw&amp;t=1972s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[L\u00d6SUNG]<\/strong><\/a><\/li>\n<li>Eine Person spuckt senkrecht in den Himmel, und nach 1.2[s] f\u00e4llt der Spucke zur\u00fcck ins Gesicht. a) Mit welcher Geschwindigkeit wurde er ausgesto\u00dfen? b) Welche H\u00f6he erreichte der Spucke? <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=P21bsNFF9Fw&amp;t=2090s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>[L\u00d6SUNG]<\/strong><\/a><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigte geradlinige Bewegung (MRUA) Zusammenfassung: In dieser Vorlesung werden wir das Konzept der gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigten geradlinigen Bewegung (MRUA) behandeln. Es wird erkl\u00e4rt, wie diese Bewegungsart eine konstante Beschleunigung auf einer Geraden beinhaltet und durch Integration erhaltene Gleichungen modelliert wird. 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Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. 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