{"id":34417,"date":"2022-04-28T13:00:13","date_gmt":"2022-04-28T13:00:13","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34417"},"modified":"2025-09-08T00:18:14","modified_gmt":"2025-09-08T00:18:14","slug":"was-ist-eine-gewoehnliche-differentialgleichung-edo","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/was-ist-eine-gewoehnliche-differentialgleichung-edo\/","title":{"rendered":"Was ist eine gew\u00f6hnliche Differentialgleichung (EDO)?"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Was ist eine gew\u00f6hnliche Differentialgleichung (EDO)?<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><\/br>In dieser Vorlesung werden gew\u00f6hnliche Differentialgleichungen (EDO) k-ter Ordnung untersucht, beginnend mit ihrer Definition und ihrer Darstellung in normaler und allgemeiner Form. Mithilfe von Konzepten wie der Jakobischen Matrix und dem Satz von der impliziten Funktion werden die Grundlagen gelegt, um die L\u00f6sungen dieser Gleichungen und die damit verbundenen Eigenschaften, wie den Definitionsbereich und explizite sowie implizite L\u00f6sungen, zu verstehen.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><strong>LERNZIELE<\/strong><\/p>\n<p>Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Sich zu erinnern<\/strong> an die Definition und die grundlegenden Eigenschaften einer gew\u00f6hnlichen Differentialgleichung (EDO).<\/li>\n<li><strong>Zu erkl\u00e4ren<\/strong> die Beziehung zwischen einer EDO und ihren m\u00f6glichen L\u00f6sungen.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#LaEcuacionDiferencialOrdinariaDeOrdenK\"><strong>Die gew\u00f6hnliche Differentialgleichung (EDO) k-ter Ordnung<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#TeoremaDeLaFuncionImplicita\">Satz von der impliziten Funktion<\/a><br \/>\n<a href=\"#LaSolucionDeUnaEcuacionDiferencialOrdinaria\"><strong>Die L\u00f6sung einer gew\u00f6hnlichen Differentialgleichung<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#CuidadoConElDominioDeDefinicionDeLasSoluciones\">Achtung auf den Definitionsbereich der L\u00f6sungen<\/a><br \/>\n<a href=\"#SolucionExtendidaYSolucionMaximal\">Erweiterte L\u00f6sung und maximale L\u00f6sung<\/a><br \/>\n<a href=\"#SolucionExplicitaYSolucionImplicita\">Explizite und implizite L\u00f6sung<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/zE29azRIKng\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>Mit dem bisher Gesehenen haben wir eine ziemlich klare Vorstellung davon, was eine Differentialgleichung ist und welche vielf\u00e4ltigen Anwendungen sie haben kann. Wir halten nun inne, um einige Definitionen und Eigenschaften zu studieren, mit dem Ziel, eine solide gemeinsame Grundlage f\u00fcr die Fortsetzung dieses Studiums zu schaffen.<\/p>\n<p><a name=\"LaEcuacionDiferencialOrdinariaDeOrdenK\"><\/a><\/p>\n<h3>Die EDO k-ter Ordnung<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zE29azRIKng&#038;t=163s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Eine gew\u00f6hnliche Differentialgleichung (EDO)<\/span><\/strong><\/a> ist eine Gleichung, in der eine unabh\u00e4ngige Variable <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span>, eine Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span><\/span> und einige ihrer gew\u00f6hnlichen Ableitungen vorkommen. Die gew\u00f6hnlichen Ableitungen erster Ordnung von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span><\/span> werden mit Symbolen wie <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\frac{dy(x)}{dx}<\/span><\/span> oder <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y&#039;(x)<\/span><\/span> bezeichnet, die der zweiten Ordnung als <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\frac{d^2y(x)}{dx^2}<\/span><\/span> oder <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y&#039;&#039;(x)<\/span><\/span>, und im Allgemeinen die der Ordnung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> als <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\frac{d^ny(x)}{dx^n}<\/span><\/span> oder <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^{(n)}(x)<\/span><\/span>. Das Supremum der Werte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span>, f\u00fcr die <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^{(k)}(x)<\/span><\/span> in der Gleichung erscheint, nennen wir <strong>Ordnung der Gleichung<\/strong>. Auf diese Weise ist die <strong>allgemeine Form einer EDO der Ordnung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/strong>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F\\left(x,y(x),y&#039;(x), \\cdots, y^{(k)}(x)\\right)=0.<\/span>\n<p>Eine EDO der Ordnung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> befindet sich in <strong>Normalform<\/strong>, wenn sie so ausgedr\u00fcckt wird, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^{(k)}(x)<\/span><\/span> aus der obigen Gleichung isoliert ist, das hei\u00dft:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^{(k)}(x) = f\\left(x,y(x),y&#039;(x), \\cdots, y^{(k-1)}(x)\\right).<\/span>\n<p>Im Allgemeinen ist die Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> eine Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R} \\longrightarrow \\mathbb{R}^n,<\/span><\/span> sodass diese und alle ihre Ableitungen, die an einem Punkt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in\\mathbb{R}<\/span><\/span> ausgewertet werden, Vektoren in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span><\/span> sind. Unter dieser Annahme ergibt sich, dass die Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span>, die die EDO der Ordnung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> beschreibt, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1+(k+1)<\/span><\/span> Variablen hat, sodass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{Dom}(F)\\subset \\mathbb{R}^{1+n(k+1)}<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{Rec}(F)\\subset \\mathbb{R}<\/span><\/span>; und analog gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{Dom}(f) = \\mathbb{R}^{1+nk}<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{Rec}(f)\\subset \\mathbb{R}^n<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Der \u00dcbergang von der allgemeinen Darstellung einer EDO der Ordnung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> zu ihrer Normalform ist dank des <strong>Satzes von der impliziten Funktion<\/strong> m\u00f6glich.<\/p>\n<p><a name=\"TeoremaDeLaFuncionImplicita\"><\/a><\/p>\n<h4>Satz von der impliziten Funktion<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zE29azRIKng&#038;t=887s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Sei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span> eine Funktion der Klasse <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{C}^1<\/span><\/span> auf einer offenen Menge <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U \\subset \\mathbb{R}^n<\/span><\/span><\/span><\/strong><\/a> mit reellen Werten. Sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a_1,\\cdots, a_n) \\in U<\/span><\/span> so, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(a_1,\\cdots, a_n) = 0<\/span><\/span> und<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial F(a_1,\\cdots, a_n)}{\\partial x_n} \\neq 0<\/span>\n<p>Dann existiert eine Umgebung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span> von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a_1, \\cdots, a_{n-1}) \\in \\mathbb{R}^{n-1}<\/span><\/span> und eine Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varphi:V \\longrightarrow \\mathbb{R}<\/span><\/span>, so dass gilt:<\/p>\n<ol>\n<li type=\"i\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V \\times \\varphi(V) \\subset U<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"i\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x_1,\\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \\leftrightarrow x_n = \\varphi(x_1,\\cdots, x_{n-1})<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"i\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varphi<\/span> ist differenzierbar und\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\dfrac{\\partial \\varphi (a_1,\\cdots, a_{n-1})}{\\partial x_i} = - \\dfrac{ \\dfrac{\\partial F (a_1,\\cdots, a_n)}{\\partial x_i} }{ \\dfrac{\\partial F (a_1,\\cdots, a_n)}{\\partial x_n} }<\/span>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h4>Beweis des Satzes von der impliziten Funktion<\/h4>\n<h5>Entwicklung aus der Jakobischen Matrix<\/h5>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zE29azRIKng&#038;t=1101s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi(x_1,\\cdots,x_{n-1}, x_n) = (x_1,\\cdots,x_{n-1}, F(x_1,\\cdots, x_n)).<\/span><\/span><\/span><\/strong><\/a> Wenn wir ihre Jakobische Matrix berechnen, die im Folgenden gezeigt wird:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left( \\dfrac{\\partial \\psi(x_1,\\cdots, x_n)}{\\partial(x_1,\\cdots, x_n)} \\right) = \\left( \\begin{array}{cccc}\n\n1 &amp; 0 &amp;  \\cdots &amp; 0 \\\\\n\n0 &amp; 1 &amp;  \\cdots &amp; \\vdots \\\\\n\n\\vdots &amp;\\vdots &amp; \\ddots  &amp; \\vdots  \\\\\n\n\\displaystyle \\dfrac{\\partial F(x_1, \\cdots, x_n)}{\\partial x_1} &amp; \\dfrac{\\partial F(x_1, \\cdots, x_n)}{\\partial x_2} &amp; \\cdots  &amp; \\dfrac{\\partial F(x_1, \\cdots, x_n)}{\\partial x_n}\n\n\\end{array}\\right), <\/span>\n<p>sehen wir, dass ihre Determinante an <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a_1,\\cdots, a_n)<\/span><\/span> ungleich null ist, gerade weil, wie zu Beginn festgestellt, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\partial F(a_1,\\cdots, a_n)\/\\partial x_n \\neq 0.<\/span><\/span> Daraus k\u00f6nnen wir schlie\u00dfen, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi<\/span> eine Inverse auf einer offenen Menge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">W<\/span> besitzt, die <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a_1,\\cdots, a_n)<\/span><\/span> enth\u00e4lt.<\/p>\n<h5>Entwicklung der L\u00f6sung<\/h5>\n<p>Betrachten wir nun eine Menge<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tilde{V}=\\psi(W)\\ni \\psi(a_1,\\cdots,a_{n}) = (a_1,\\cdots,a_{n-1},F(a_1,\\cdots,a_{n}))=(a_1,\\cdots,a_{n-1},0).<\/span>\n<p>Ausgehend davon k\u00f6nnen wir eine weitere Menge definieren<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V=\\{(x_1,\\cdots,x_{n-1}) \\;|\\; (x_1,\\cdots,x_{n-1},0)\\in \\tilde{V}\\}\\ni (a_1,\\cdots,a_{n-1})<\/span>\n<p>Die Menge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span> ist folglich eine offene Menge, die <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a_1,\\cdots,a_{n-1})\\in\\mathbb{R}^{n-1}<\/span><\/span> enth\u00e4lt.<\/p>\n<p>Au\u00dferdem existiert, da <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi<\/span> eine Inverse besitzt (in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">W<\/span>), ein eindeutiges <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(y_1,\\cdots,y_n)\\in W<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi(y_1,\\cdots,y_n) = (x_1,\\cdots,x_{n-1},0).<\/span><\/span> Das bedeutet:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} y_1 &amp;= x_1 \\\\ \\\\ \\vdots &amp; \\vdots \\\\ \\\\ y_{n-1} &amp;= x_{n-1} \\\\ \\\\ F(x_1,\\cdots,x_{n-1},y_n) &amp;= 0 \\end{array}<\/span>\n<p>So k\u00f6nnen wir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varphi(x_1,\\cdots,x_{n-1}) = y_n<\/span><\/span> definieren, sodass gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi^{-1}(x_1,\\cdots,x_{n-1},0) = (x_1,\\cdots,x_{n-1},\\varphi(x_1,\\cdots,x_{n-1}))<\/span>\n<p>und<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x_1,\\cdots,x_{n-1},\\varphi(x_1,\\cdots,x_{n-1})) = 0<\/span>\n<p>Daraus folgt, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varphi(V)\\ni a_n<\/span><\/span>, und folglich <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V\\times\\varphi(V) \\subset U<\/span><\/span>, und au\u00dferdem:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x_1,\\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \\leftrightarrow x_n = \\varphi(x_1,\\cdots,x_{n-1})<\/span>\n<h5>Differenzierbarkeit<\/h5>\n<p>Schlie\u00dflich f\u00fchrt die Differenzierbarkeit von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi<\/span> zur Differenzierbarkeit von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi^{-1}<\/span><\/span>, was wiederum zur Differenzierbarkeit von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varphi<\/span> auf <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span> f\u00fchrt. Unter dieser Voraussetzung k\u00f6nnen wir eine Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> durch die Beziehung definieren:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(x_1, \\cdots,x_{n-1}) = F(x_1,\\cdots,x_{n-1},\\varphi(x_1,\\cdots,x_{n-1})) = 0<\/span>\n<p>Und dann gilt unter Verwendung der Kettenregel:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial g}{\\partial x_i} = \\frac{\\partial F}{\\partial x_i} + \\frac{\\partial F}{\\partial x_n}\\frac{\\partial \\varphi }{\\partial x_i} = 0,<\/span>\n<p>wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i=1,\\cdots, n-1.<\/span><\/span> Aus dieser letzten Gleichung ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{\\partial \\varphi(a_1,\\cdots,a_{n-1})}{\\partial x_i} = - \\dfrac{\\dfrac{\\partial F(a_1,\\cdots,a_{n})}{\\partial x_i}}{\\dfrac{\\partial F(a_1,\\cdots,a_{n})}{\\partial x_n}}<\/span>\n<p>Und damit ist alles bewiesen, was gezeigt werden sollte \u25a0<\/p>\n<p><a name=\"LaSolucionDeUnaEcuacionDiferencialOrdinaria\"><\/a><\/p>\n<h3>Die L\u00f6sung einer gew\u00f6hnlichen Differentialgleichung<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zE29azRIKng&#038;t=2249s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Betrachten wir eine EDO in Normalform<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^{(n)} = f(x,y(x),y^\\prime(x),\\cdots,y^{(n-1)(x)})<\/span>\n<p>Dann hei\u00dft eine Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varphi : I_\\phi \\longmapsto \\mathbb{R}^n,<\/span><\/span> wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_\\phi<\/span><\/span> ein Intervall von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span><\/span> ist, <strong>eine L\u00f6sung der EDO<\/strong>, wenn gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\forall x \\in I_\\phi \\right) \\left(\\varphi^{(n)}(x) = f(x,\\varphi(x),\\varphi^\\prime(x),\\cdots,\\varphi^{(n-1)(x)}\\right)<\/span>\n<p><a name=\"CuidadoConElDominioDeDefinicionDeLasSoluciones\"><\/a><\/p>\n<h4>Achtung auf den Definitionsbereich der L\u00f6sungen<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zE29azRIKng&#038;t=2387s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">An dieser Stelle ist es notwendig<\/span><\/strong><\/a>, die Bedeutung der expliziten Angabe des Definitionsbereichs der L\u00f6sung der Differentialgleichung zu betonen. Zum Beispiel ist der Definitionsbereich der Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi<\/span><\/span>, von der wir im vorherigen Absatz gesprochen haben, das Intervall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_\\phi.<\/span><\/span> Dies ist wichtig, weil ein h\u00e4ufiger Fehler bei der Arbeit mit Differentialgleichungen darin besteht, zwei L\u00f6sungen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_1<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_2<\/span><\/span> als gleich zu betrachten, nur weil <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\forall x \\in I_{\\phi_1}\\cap I_{\\phi_2}\\right)\\left(\\phi_1(x) = \\phi_2(x)\\right),<\/span><\/span> obwohl <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{\\phi_1}\\neq I_{\\phi_2}.<\/span><\/span> Um diesen Punkt zu verdeutlichen, untersuchen wir die Differentialgleichung:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^\\prime = -y^2.<\/span>\n<p>Eine m\u00f6gliche L\u00f6sung f\u00fcr diese EDO ist die Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_1 : ]0,+\\infty[ \\longrightarrow \\mathbb{R}^+\\setminus\\{0\\}<\/span><\/span>, definiert durch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_1(x)=1\/x,<\/span><\/span> weil <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_1^{\\prime} = -1\/x^2 = -\\psi_1^2<\/span><\/span> f\u00fcr jedes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in]0,+\\infty[.<\/span><\/span> Aber mit ein wenig algebraischem Spiel kann man von dieser zu einer v\u00f6llig anderen L\u00f6sung \u00fcbergehen, wenn man nicht auf die Details achtet. Zum Beispiel ist klar, dass:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{1}{x} = \\frac{1}{1 - (1-x)},<\/span>\n<p>und die rechte Seite dieser Gleichung ist das Ergebnis der geometrischen Reihe:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty} (1-x)^n = \\frac{1}{1 - (1-x)}<\/span>\n<p>So k\u00f6nnte ein unge\u00fcbtes Auge in diesen arkanen K\u00fcnsten versucht sein zu denken, dass die Funktionen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_1<\/span><\/span><br \/>\n und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_2 = \\sum_{n=0}^{+\\infty} (1-x)^n <\/span><\/span> uns dieselbe L\u00f6sung f\u00fcr die Differentialgleichung vom Anfang liefern, da sie tats\u00e4chlich in ihren Ergebnissen \u00fcbereinstimmen; jedoch wird dabei \u00fcbersehen, dass diese geometrische Reihe nur g\u00fcltig ist, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|1-x| \\lt 1<\/span><\/span>, das hei\u00dft, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in]0,2[)<\/span><\/span>. Aber es gibt noch mehr: Da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]0,2[\\subset]0,+\\infty[<\/span><\/span>, gilt auch, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_1<\/span><\/span> eine Erweiterung von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_2<\/span><\/span> darstellt, weil dort, wo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_2<\/span><\/span> g\u00fcltig ist, auch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_1<\/span><\/span> g\u00fcltig ist \u2013 und dar\u00fcber hinaus.<\/p>\n<p><a name=\"SolucionExtendidaYSolucionMaximal\"><\/a><\/p>\n<h4>Erweiterte L\u00f6sung und maximale L\u00f6sung<\/h4>\n<p>Betrachten wir zwei Funktionen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_1<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_2<\/span><\/span>, die auf den Intervallen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{\\phi_1}<\/span><\/span> bzw. <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{\\phi_2}<\/span><\/span> definiert sind und L\u00f6sungen einer Differentialgleichung darstellen. Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{\\phi_1}\\subset I_{\\phi_2},<\/span><\/span> dann sagt man, dass die L\u00f6sung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_2<\/span><\/span> die L\u00f6sung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_1<\/span><\/span> erweitert oder dass die L\u00f6sung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_2<\/span><\/span> allgemeiner ist als die L\u00f6sung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_1<\/span><\/span>. Eine L\u00f6sung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi<\/span> wird als \u201emaximal\u201c bezeichnet, wenn es keine andere L\u00f6sung gibt, die sie in nichttrivialer Weise erweitert.<\/p>\n<p><a name=\"SolucionExplicitaYSolucionImplicita\"><\/a><\/p>\n<h4>Explizite L\u00f6sung und implizite L\u00f6sung<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zE29azRIKng&#038;t=2649s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Eine Funktion<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi<\/span> wird als L\u00f6sung der EDO der Ordnung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> (in Normalform geschrieben) betrachtet<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^{(n)}(x)=f(x,y(x),y^\\prime(x),\\cdots,y^{(n-1)}(x)),<\/span>\n<p> innerhalb eines Intervalls <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span>, wenn<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x\\in I)\\left(\\phi^{n}(x) = f(x,\\phi(x),\\phi^\\prime(x),\\cdots,\\phi^{(n-1)}(x))\\right)<\/span>\n<p>Das, was wir bereits einige Abs\u00e4tze zuvor \u00fcberpr\u00fcft haben, ist das, was als <strong>explizite L\u00f6sung der Differentialgleichung im Intervall <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span><\/strong> bekannt ist. Wie der Name schon andeutet, gibt es auch eine implizite Form, die L\u00f6sungen zu definieren. Es wird gesagt, dass eine Beziehung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Phi(x,y)=0<\/span><\/span> eine <strong>implizite L\u00f6sung der Differentialgleichung in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span><\/strong> ist, wenn sie zwei oder mehr implizite L\u00f6sungen in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span> definiert.<\/p>\n<h3>Schlussfolgerung<\/h3>\n<p>In dieser Vorlesung haben wir den Begriff der gew\u00f6hnlichen Differentialgleichung in einer strengen, aber zug\u00e4nglichen Weise zerlegt und die formalen Grundlagen geschaffen, die es uns erm\u00f6glichen, nicht nur eine EDO zu erkennen, sondern auch die Logik hinter ihren L\u00f6sungen zu verstehen. Dank des Satzes von der impliziten Funktion war es m\u00f6glich, den \u00dcbergang zwischen ihrer allgemeinen Form und ihrer Normalform klar zu begr\u00fcnden, was eine entscheidende technische F\u00e4higkeit darstellt, um konkrete Probleme anzugehen.<\/p>\n<p>Dar\u00fcber hinaus haben wir die verschiedenen M\u00f6glichkeiten, wie eine L\u00f6sung verstanden werden kann, pr\u00e4zise unterschieden: als explizite oder implizite L\u00f6sung, als erweiterte oder maximale L\u00f6sung, und wir haben die \u2014 oft untersch\u00e4tzte \u2014 Bedeutung hervorgehoben, ihren Definitionsbereich angemessen anzugeben. Diese Unterscheidungen sind nicht nur formaler Natur: sie sind operativ. Ihre Missachtung kann, wie wir gesehen haben, zu schwerwiegenden konzeptionellen Fehlern bei der Interpretation der erhaltenen Ergebnisse f\u00fchren.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Was ist eine gew\u00f6hnliche Differentialgleichung (EDO)? Zusammenfassung:In dieser Vorlesung werden gew\u00f6hnliche Differentialgleichungen (EDO) k-ter Ordnung untersucht, beginnend mit ihrer Definition und ihrer Darstellung in normaler und allgemeiner Form. 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